книги / Основы автоматики
..pdf7 = ^ * V
1 - w
Характеристическое уравнение D( z ) = 0 при этой преобра зуется в уравнение
|
2?(Ш) = С(ш)+8( w) = 0 |
(13.56) |
|
которое в отличие |
от уравнения 27(z ) = 0 при г |
= е^Г° уже |
|
не является трансцендентный. |
|
|
|
Найдем условия устойчивости для оиотеи первого и второго |
|||
порядка. |
|
|
|
С и с т е м а |
п е р в о г о |
п о р я д к а |
|
i?(z) = a0z + af = о
Произведем подстановку (13.55). Получим
D(w) = (a0- a f)w+(a0+af) = 0
Согласно критерию Гурвица для устойчивости замкнутой им пульсной оиотемы первого порядка должны выполняться уоловмя
|
v « , * » • ! |
. |
(15-57) |
|
С и с т е м а |
в т о р о г о |
п о р я д к а |
|
|
i?(z) = a0z2 + afz + a2= 0.
Для этого уравнения аналогичным образом получаютоя три уоловия уотойчивооти
a0+ a ( + a 2 |
=*0 ; |
|
ao - a 2 |
> 0 ; |
(13.58) |
ao ” a, + Q2 > 0 • ,
Пример 13.5. Исследуем устойчивость замкнутой оистемы, им
пульсная передаточная |
функция которой |
|
|
W(z)=^f |
(15.59) |
Характеристическое |
уравнение замкнутой оистемы |
|
D(z) = z+hT0~l = 0. |
|
|
|
Я |
Т |
(13.74) |
|
( г п - 1 ) у < - ^ < п ж , п= /,2,3, .. . |
||
Уоловия (13.72), (13.73) и (13.74) и являются условиями |
|||
уотойчивости |
системы. Нетрудно убедиться, что при выполнении |
||
этих уоловий |
коэффициенты |
а{ и а3 всегда будут больше нуля. |
|
Рис.13.20. Области уотойчивости к примеру 13.6
Области устойчивости изображены на рис.13.20. Таким образом, оистема, неустойчивая при непрерывном управлении, стала устой чивой при импульсном управлении.
2. Замечательной особенностью импульсных систем является возможность существования в них процессов конечной длительно сти, что недостижимо в линейных непрерывных сиотемах.
Пример 13.7. Пусть импульоная передаточная функция разомк
нутой системы (13.51)
к т в
W(Z) = -----f - z-1
Определим переходную характеристику замкнутой сиотеыы. Для замкнутой системы выходная величина
При оценке точности импульсных оиотем удобно пользоваться твореной о конечной значении (13.37).
Пример 13.8. Найдем установившуюся ошибку в замкнутой им пульсной оиотеме, раоомотренной в примере 13.5, еоли вадащее воздействие изменяется по закону
g(t) —I t . |
(13.78) |
Найдем импульсную передаточную функцию замкнутой сиотемы по ошибке
ф (2) = |
~ ^ |
= ---- ------- |
= — ^----- |
(13.79) |
I 1 |
G(z) |
/ + WlE) |
z +kT0- f |
|
Для функции (13.78) |
согласно таблице |
|
||
Glz)=Z{y(t)} = Z{2i}=
Тогда
|
X(z) = Ф |
(z) ОН) = |
(i+/<T |
7Т |
(13.80) |
||
|
|
|
|
-/)(z-/) |
|
||
По теореме |
(13.37) |
о конечном |
значении |
|
|||
Um х[пТ ) = llm 2-1 х (Z) = Urn |
|
Z+K I |
, |
(13.81) |
|||
Л - » |
0 |
E—l Z. |
|
|
/ |
|
|
Для повышения качества процессов в импульоных системах применимы методы непрерывных систем (он.главу XI). Помимо зтого, используютоя и специфические методы, свойственные только импульоным системам. Ооновной из них ооотоит в ооздании спе циальных диокретных корректирующих уотройотв, реализуемых,как правило, с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ).
6. Цифровые автоматические оиогены
Типичная охема цифровой автоматической оиотемы изображена на рио.13.22. В ее состав входят:
1)непрерывная часть оиотемы (НЧ), включающая управляемый объект и другие непрерывные элементы;
2)управляющая цифровая вычислительная машина (ЦВМ);
3) преобразователи непрерывных величин в код (Н-К) и кода в непрерывные величины (К-Н), которые служат для сопряжения ИВЫ о непрерывной частью оистеыы.
Благодаря выоокой точности и универоальнооти ЦВМ широко применяются в бортовых оиотеыах управления оамолетаыи, раке
|
тный и кооыичеокиыи аппа |
|
|
ратами. |
|
|
При большом числе |
|
|
уровней преобразователей |
|
|
Н-К и К-Н (оы.§ 3.5) |
циф |
|
ровые автоматические |
ои |
Рио.13.22. Схема цифровой автома |
стеыы могут иоследовать- |
|
тической системы |
оя как обычные импульо- |
|
|
||
ные оистеыы. Широкие возможности ЦВМ по реализации сложных кор ректирующих программ позволяют обеопечить в цифровых оиотеыах такие процесса, которые недостижимы при непрерывном управлении.
Рис.13.23. Структурная схема к примеру 13.9
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением примера циф ровой системы, в которой ЦВМ выполняет роль дискретного кор ректирующего устройства.
Пример 13.9. Рассмотрим оистеыу стабилизации углового движения летательного аппарата (ракеты, ИСЗ) с ЦВМ в контуре управления (рис.13.23). Передаточную функцию непрерывной чаоти сиотемы (объекта, измерительного, усилительного и исполнитель ного элементов) примем в виде
Импульсная передаточная функция непрерывной чаоти системы совместо о экстраполятором нулевого порядка равна
|
WH(z) |
кТ0 |
z-H |
|
- ^ ■ й - 2 |
(13.82) |
|
|
kT.о__ |
( z - /) 2 |
|
Пуоть |
|
что замкнутая импульс |
|
= I . Нетрудно убедитьоя, |
|||
ная оиотеиа с передаточной функцией (13.82) неуотойчива.
Для придания оиотеие устойчивости при помощи ЦВМ реализуем дискретное корректирующее устройство о передаточной функцией
|
J(z) = z -0,4 |
|
(13.82) |
|
z ±0,8 |
|
|
В атом олучае импульоная передаточная функция разомкнутой |
|||
оистемы |
|
|
|
|
( Z + / ) ( Z ~ 0 , 4 ) |
|
(13.83) |
W(z) = W H ( Z ) 2 ? ( Z ) = |
|
||
|
(z-/)2 (Z*0,8) |
|
|
Проверим выполнение условия устойчивости. Для атого в вы |
|||
ражение (13.83) |
произведем замену z = |
и н®йДем харак- |
|
териотичеокое уравнение замкнутой системы |
|
|
|
|
IUW) = OAw3 + 2,2wl ±0,8w + 0,6 = 0 . |
(13.84) |
|
Так как вое |
коэффициенты уравнения (13.84) |
положительны, |
|
в устойчивой системе ооглаоно критерию Гурвица должно выпол няться неравенство
2,2*0,8 > 0,4*0,6.
Неравенство выполняется. Следовательно, замкнутая система уотойчива.
§ 13.3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ
I . Системы экстремального регулирования
Системами экстремального регулирования называются системы, которые поддерживают экстремальное (минимальное или максималь ное) значение некоторой функции F , определяющей качество кон тролируемого процесоа или параметра.
Примером оиотемы экстремального регулирования может служить система регулирования расхода топлива на оамолете. Экотремаль-
ной функцией вдеоь является отношение окорости полета оаиолета
V |
к расходу топлива |
|
ф . |
На рис.13.24 |
покована зависимость |
||||||||
етой |
функции от |
окорости |
двигателя |
|
. Система автоматиче |
||||||||
ски регулирует |
окорооть двигателя |
так, |
чтобы функция |
F= -J^- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
имела максимальное |
значение. В |
атом |
|||||
|
|
|
|
|
|
олучае самолет будет иметь максималь- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ную дальность полета при заданном за |
|||||||
|
|
|
|
|
|
пасе горючего. Следовательно, контро |
|||||||
|
|
|
|
|
|
лируемым параметром здеоь является даль |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ность полета, управляемой величиной - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
скорость двигателя |
пдд. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
В общем олучае функция F может за |
||||||
Рис.13.24. График |
|
|
висеть от нескольких управляемых вели |
||||||||||
зависимости |
Р=У~ |
|
|
чин X( , х г |
, х 3 , . . . , |
х п . Условием |
|||||||
|
от л36 |
|
|
|
|
экстремума дифференцируемой функции не |
|||||||
скольких переменных F ( х г хг . . . , |
х р ) являетоя равенство нулю |
||||||||||||
в точке зкотремума |
частных производных этой |
функции: |
|
||||||||||
|
|
|
S |
l f |
- |
. o |
i L - o , . . |
dF |
|
(13.85) |
|||
|
|
|
ix, |
|
F |
dx2 |
’ |
*’ |
dXn |
|
|
||
|
Градиентом функции |
называется векторная величина |
|||||||||||
|
_ |
. . . , кп - |
единичные |
векторы |
|
|
(13' 86) |
||||||
где к( , кг , |
ооей, по которым от |
||||||||||||
считываются |
величины |
£ ( , |
х г , X, |
, . . . , |
Хп . |
|
|
||||||
|
В точке |
экстремума градиент |
равен |
нулю: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
grad F= 0. |
|
|
|
|
(13.87) |
||
|
Задача поиска зкотремума оостоит ив двух этапов: |
|
|||||||||||
|
а) определения |
градиента; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) организации движения к точке зкотремума. |
|
|||||||||||
|
Для определения градиента существует много споообов. Рас |
||||||||||||
смотрим два |
из |
них. |
|
|
|
|
F ( x / t ,г 2 , . . . , £ „ ) |
|
|||||
|
Производная по времени функция |
может |
|||||||||||
быть предотавлена в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dF |
|
dF |
dxj_ |
|
dF |
dxn |
|
||||
|
|
dt |
|
dx, |
dt |
|
dx |
dt |
|
||||