книги / Основы автоматики

иметь регулятор (автомат стабилизации). Запивем уравнение регу­ лятора в следующем виде:

(П .М )

S ‘ О

Системе уравнений ( I I . 41) соответствует структурная охема, показанная на рио.11.28. На основании ( I I . 41) определим овязь между ft и Уг . Эта связь может быть найдена по известной фор­ муле Крамера

то характеристический полином онотемы

вия инвариантности нельзя реализовать, еоли имеетоя только один канал передачи возмущения; в такой оиотеме уоловия инвариант­ ности будут вотупать в противоречие о условиями уотойчивооти

Одним из способов ооздания второго (дополнительного) канала являетоя так называемое регулирование по воэмущащему или управ­ ляющему воздействию.

На р и с .II.30 показана схема стабилизации, в которой наряду с регулированием по отклонению используется регулирование по возмущению f . Определим для приведенной схемы передаточную функцию по возмущению:

Она обеспечивается за очет компенсации сигналов, обусловленных

нию не изменяет характеристический полином замкнутой системы, т .е . условия инвариантности здеоь не противоречат условиям устойчивости.

Р и с .II.30. Структурная схема оиотемы стабилизации

Вернемся к рассмотренному ранее примеру. Создадим в си­ стеме стабилизации ракеты второй канал передачи возмущения. Тогда закон управления можно записать в виде

Операторы к^р) и ку(р) выбираются из уоловия обеспечения устойчивости (запаса устойчивости). Обычно эти операторы имеют вид:

У Р) * к,+ кгР

(11.49)

ку ( Р ) = к3

Оператор kf (p) выбирается из уоловия инвариантности. Сопоставляя р и с .II.29 и II 30, получим

Ур ) =

(Pz + avv) + ку(р)рV6

Как видно иэ выражения (11 .50), для реализации условий инвариантности необходимо измерять и дважды дифференцировать возмущение f2 . Неточное выполнение выражения (11.50) будет давать не полную, а частичную инвариантность. Трудности со-

стоят в тон, что измерять непосредственно возмущение невозмож­ но. Однако можно применить косвенное измерение возмущений.Раоомотрим первое уравнение сиотемы (10 .4). Из него непосредствен­ но следует, что возмущение может быть коовенно определено пу­ тем измерения уохорения р2¥ и угла Y . 6 этом случае закон управления получит оледуаций вид:

°VS °VY

Выражение (11.52) показывает, что для реализации условий инва­ риантности при косвенном измерении возмущений необходимо фор­ мировать высокие производные (до 3-го порядка) от координат Y и Уъ , что практически сделать трудно. Можно упростить задачу, добиваяоь частичной инвариантности. Например, в формуле (11.50) можно положить р = 0, тогда с учетом выражения (11.49) закон управления (11.52) получит более проотой вид:

ЩY4T

Взаключение отметим, что методы теории инвариантности це­ лесообразно применять тогда, хогда о возмущениях системы регу­ лирования нет никаких (в тон числе и статистического характе­ ра) априорных оведений. Это отличает теорию инвариантности от других разделов общей теории регулирования.

Г л а в а ХП

НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 12 .I.ВВЕДЕНИЕ

Раоомотренная в предыдущих главах теория линейных автома­ тических оиотеы основывается на предположении, что все звенья этих систем опиоываются линейными дифференциальными уравнения­ ми. Эти уравнения были получены нами в результате линеаризации исходных (реальных) дифференциальных уравнений звеньев, кото­ рые в действительности всегда являются нелинейными (см.§ 2.2). Поэтому, используя теорию линейных сиотем, мы фактически исоледовали не реальные автоматические системы, а их идеализи­ рованные прообразы - линейные модели. Такой прием дает большие преимущества в омыоле простоты решения задачи, так как опе­ рировать о линейными уравнениями несравненно проще, чем с не­ линейными.

Однако очень часто процессы в реальных оистемах существен­ но отличаются от процеооов в их линейных моделях из-за влияния различных неучтенных нелинейных факторов - люфтов, трения, зон нечувствительности, ограниченной мощности исполнительных эле­ ментов, наоыщения уоилителей и т .д . Более того, иногда спроек­ тированные с помощью линейных методов автоматические системы на деле оказываются совершенно неработоспособными.

Обычно заранее очень трудно предсказать, насколько полно линейная модель соответствует реальной сиотеме. Но можно ука­ зать олучая, когда та или иная система даже приближенно ие может быть исоледована о помощью линейных методов. Это бывает, когда в состав автоматической системы входят звенья о ярко вы­ раженными нелинейными характеристиками. Чаото такие звенья на-

зывал существенно нелинейными. Наиболее характерны в этом от­ ношении звенья релейного типа, статические характеристики ко­ торых изображены на рис. 12Л . Такими характеристиками обладал, например, релейные уоилители (ом.§ 4 .2), магнитные уоилители в релейном режиме (см.§ 4 .3), некоторые типы измерительных и исполнительных элементов и т.д.

Рис.12.I . Нелинейные статические характеристики релейного типа

Системы, содержащие существенно нелинейные звенья, описы­ в а л с я нелинейными дифференциальными уравнениями и не могут быть линеаризована методом, рассмотренным в § 2 .2 .

Рис.12.2. Кусочно-линейные статические характеристики

Часто приходится считаться и с наличием в автоматических системах нелинейных звеньев с характеристиками, отличающимися от релейных (рис.1 2 .2 ). Такие звенья часто встречался в систе­ мах. Характеристику с насыщением (рис.12 .2,а) им ел, например,

магнитные, электронные и полупроводниковые уоилители, испол­ нительные элемента о механическими упорами в крайних положениях исполнительного органа и т .д . В зависимости от диапазона измене­ ния входной величины xf звено с насыщением (ограничением) можно

рассматривать либо кал линейное (еоли в процессе работы си­ стемы всегда | х , | < Ь( ), либо как нелинейное. Звено, имеющее характеристику о зоной нечувствительности (рио .12 .2,б), на­ оборот, можно рассматривать как линейное, еоли в процесое ра­

но заранее предугадать диапазон изменения величины на входе какого-либо звена. Поэтому оиотемы, содержащие звенья с харак­ теристиками, изображенными на рис.12.2, можно исследовать как линейные лишь в первом приближении. Для получения более пол­ ной информации о процессах в таких системах их необходимо опи­ сывать нелинейными дифференциальными уравнениями.

В автоматических системах встречаются и другие типы не­ линейных характеристик, часто имеющие более сложный характер, чем изображенные на рис.12.I и 12.2. Пока мы рассматривали нелинейные звенья, которые неизбежно встречаются в тех или иных автоматических сиотенах. Но в некоторых случаях нелиней­ ные звенья вводят в системы преднамеренно о целью улучшения

Рис.12.3. Система стабилизации скорооти вращения электрического двигателя

их качественных показателей. В частности, применение нелиней­ ного управляющего устройства может привести к существенному упрощению конструкции оиотемы.

В качестве примера рассмотрим автоматическую онстему ста­ билизации скорости вращения электрического двигателя постоян­ ного тока (рис.12 .3,а ). Управляющее устройство этой сиотемы (центробежный механизм I) отрегулировано так, что при некото­ рой заданной скорооти вращения П0 контакты 2 разомкнуты и об­ катка возбуждения двигателя 3 подключена к сети через дополни­ тельное сопротивление 4. При увеличении скорооти вращения яко­ ря двигателя контакты 2 центробежного механизма замыкаются, шунтируя дополнительное сопротивление. В результате увели­ чения тока возбуждения скорооть двигателя уменьшается, контак­ ты вновь замыкаютоя и т.д. Таким образом, скорость вращения двигателя будет колебаться в некоторых пределах около задан­ ной скорооти <Г20 . В этой системе полное сопротивление обмот­ ки возбуждения еоть существенно нелинейная функция окорости вращения £3 (рис.12 .3 ,6 ). В дальнейшем мы рассмотрим другие типы нелинейных звеньев, преднамеренно вводимых в сиотеыу, и увидим, что в ряде случаев это приводит к улучшению качества процесса управления.

§12.2. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ИМЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

Отметин важнейшие особенности нелинейных систем.

I . К линейным системам применим принцип суперпозиции. Это есть одно из важнейших свойств линейных систем, благодаря ко­ торому существенно упрощается задача их исследования. Согласно этому принципу при одновременном действии на линейную систему неоколысих входных воздействий реакция системы (т . е . закон из­ менения управляемой величины или ошибки) может быть получена как оумма реакций на каждое отдельно взятое воздействие. Так, оценивая точность автоматической системы (см.§ 10.2) при одно­ временном дейотвии задающего и возмущающих воздействий, полную ошибку системы мы определяли как оуыму ошибок, вызванных от­ дельно взятыми воздействиями. Использование принципа суперпо­ зиции позволяет также определить реакцию оиотеыы на любое вход­ ное воздействие, если известна ее реакция на какое-либо ти­ повое воздействие (отупенчатое, импульсное или синусоидальное). При этом амплитуда типового воздействия несущественна. Принцип суперпозиции неприменим к нелинейным системам и это обстоятель­ ство существенно затрудняет их исследования.

амплитудах входного ступенчатого оигнала переходный процеос мо­ жет быть затухающим и раоходящимоя, колебательным и апериоди­ ческим. Устойчивость и процесоы в нелинейных сиотеыах зависят также от начальных уоловий, т . е . от соотояния оистемы в момент поступления входного оигнала. Может оказаться, например, что

"в малом" и неустойчива "в большом". С подобного рода процесса­ ми мы не встречались в линейных системах.

3. В нелинейных системах возможны устойчивые периодические колебания. Эти колебания возникают при отсутствии внешних пе­ риодических воздействий только за очет внутренних свойотв са­ мой системы и имеют определен-

условий зависит, какие из них установятся в системе. Так, при сравнительно небольших начальных уоловиях в системе могут уста-