книги / Основы автоматики
..pdfчаототной характеристики р а з о и к |
|
||
н у |
т о Й |
сиотемы. |
|
|
На основании рассмотренных в §82 |
|
|
чаототных характеристик сиысл ампли- |
|
||
тудно-фаэовой характеристики разомк |
|
||
нутой оистемы можно объяснить следуо- |
Рис.9.9. Автоматиче |
||
щим |
образом |
(рис.9 .9 ). Представим се |
ская система в разомк |
бе автоматическую систему в разомкну |
нутом ооотоянии |
||
|
том ооотоянии в виде звена, передаточная функция которого W(pJ соглаоно выражению (8.3) равна
W ( p ) = В ( Р ) |
Ь0 р |
+ Ь1р |
+••• + о |
(9.30) |
|
С(р) |
С0 р п+ ct p n~'+ |
+ с, |
|
||
р = J.oo |
ч Р |
|
|
|
|
При подстановке |
получим |
ч а с т о т н у ю |
п е - |
||
е д а т о ч н у ю |
ф у н к ц и ю |
р а з о м к н у т о й |
|||
и о т е м ы |
|
|
|
|
|
W ( j c о)= |
|
|
U(o o ) + j - v ( c o ) . |
(9.31) |
Подадим на вход ввена извне гармонический сигнал x = X mslncoi. Тогда на выходе звена в установившемся режиме также получим гармонический сигнал у = Ymsln(co £ + ) , амплитуда у т
и фаза <р которого в общем случае за висят от частоты входного оигнала со . Модуль частотной передаточной функ ции представляет собой отношение ам плитуд выходной и входной величин
|
|
|
Ym |
|
|
|
А ( с о ) = |w ( j - c o ) | = |
|
|
|
|
а аргумент - |
одвиг фаз: |
|
Рис •Э.Ю.Амплитудно- |
(р (со ) = а т ^ Ш Ц с о ) |
|
||
фаэовая |
характериотт |
|
||
разомкнутой системы |
|
|
|
|
Если изменять частоту |
входного сигнала от 0 до оо , |
вектор |
||
|
своим концом опишет на комплексной плоскости кривую |
|||
(рц с.9 .10), которая называется а м п л и т у д н о-ф а |
з о- |
|||
в о й |
х а р а к т е р и с т и к о й |
р а з о м к н у т о й |
||
с || с г |
е м ы. |
|
|
|
I . Общая формулировка критерия Найквиста
Теорема, Для устойчивости замкнутой автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристи
ка разомкнутой системы охватывала точку |
о координатами ( - I , j O ) |
на угол 151 против чаоовой стрелки, где |
I - число корней ха |
рактеристического уравнения разомкнутой оиотемы, имеющих поло жительные вещественные чаоти*
Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точ ку ( -1 , j O ) , замкнутая система находитоя на колебательной гра нице устойчивости.
Для доказательства введем в рассмотрение вспомогательную функцию
|
С(р)+в(р) |
D(p) |
W, ( р ) = /+ W ( p ) = |
С(р) |
(9.32) |
|
С(р) |
где W ( р ) - передаточная функция разомкнутой системы, опре деляемая выражением (9 .30). Числитель вспомогательной функции 7} ( р ) представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель С( р) - характеристический полином ра зомкнутой системы.
Найдем комплекс
2QrU>)
W , Q c o ) = CQco) |
(9.33) |
и определим угол поворота вектора W?( j со) |
при изменении от 0 |
до оо : |
|
=<Р, - <Р* *
где и суг ~ соответственно углы поворота векторов В(^со)и CQcv).
В |
предыдущем параграфе было показано, что в уотойчивой замк |
|
нутой |
системе угол поворота вектора 27Q.со) |
. Если |
в характеристическом уравнении разомкнутой системы С ( р ) - 0
имеется |
I |
корней о положительной вещественной частью, а |
осталь |
|||||
ные ( п |
- |
I ) |
корней |
имеют отрицательные вещественные |
чаоти, |
|||
то согласно выражению (9.27) |
ср2 = п у |
- 1 3 X |
. Поэтому раз- |
|||||
нооть углов |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ч> = |
<р,- |
= Л у |
- ( n | |
- £Si) = |
131. |
(9.37) |
Это означает, что в устойчивой замкнутой системе при измене нии со от 0 до со векторШ;(|со)дол»ен повернуться вокруг начала координат на угол 25Г против часовой отрелки. Но частот ная передаточная функция W (j-co) согласно выражению (9.32) отличаетоя от вспомогательной функции W,( j-co) на - I . Поадому
в устойчивой замкнутой системе вектор W (j-a) ) |
при изменении |
||
СО |
от |
0 до оо должен повернуться вокруг точки |
-1 ,^ 0 на угол |
|
против часовой отрелки. Иными словами, амплитудно-фазо |
||
вая |
характеристика разомкнутой оиотемы должна охватить точку |
||
( - I , j O |
) яа угол LSL против чаоовой отрелки. Это и требова |
||
лось |
доказать. |
|
|
|
Чиоло корней о положительной вещественной частью в харак |
||
теристическом уравнении разомкнутой системы I |
может быть |
определено либо непосредственно (если это уравнение представ
лено в |
виде сомножителей первого или второго порядка), |
либо |
||||
о помощью критерия Михайлова |
(см.пример 9 .6 ). |
|
|
|||
Пример 9.7. |
Исследуем устойчивость оистемы, |
передаточная |
||||
функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид |
|
|||||
|
|
_ |
к |
( 1 + %р) _ |
|
(9.35) |
|
|
|
- " ■ V P * |
|
|
|
Характеристическое уравнение разомкнутой системы |
|
|||||
|
|
С ( р ) = т о' р г - 1 = 0 |
|
|
||
имеет два корня. Один из них |
р, = - ■=■ лежит в |
левой |
полу- |
|||
плоскости корней, |
а фугой |
|
рг = + j/- ~0в правой |
полуплоскости, |
||
т .е . |
1 = 1. |
|
|
0 |
|
|
Частотная передаточная |
функция |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(9.36) |
Модуль ее
к]/1 + Ъ2сог
А ( ы ) = W (j- u ))
Т0г сог
и фаза
ф ( си) = - 160°+ a r c t ^ оо'с
|
|
|
|
|
Примерный вид амплитУД- |
||
|
|
|
|
|
но-фазовой |
характеристик^ |
|
|
|
к |
|
|
разомкнутой системы изобра |
||
ш=0 |
-J |
= п |
п |
гг |
жен на рис.9 .I I . |
||
По виду |
этой характери |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
стики можно заключить, ч*° |
||
|
|
|
|
|
годограф I |
соответствует |
|
|
|
|
|
|
уотойчивой |
замкнутой систе |
|
Рис.9 .1 1 .Амплитудно-фазовые |
ме, так как он охватывав* |
||||||
точку ( - I , j O ) против 4800- |
|||||||
характеристики к |
примеру |
9.7 |
ВОЙ стрелки |
на угол Л (£ = 1) |
|||
|
|
|
|
|
|||
годограф 2 - |
неустойчивой сиотеме, |
а годограф 3 - системе, на |
ходящейся на колебательной границе устойчивости. Для этого про стого примера можно сразу же записать уоловие устойчивости замкнутой системы: к > 7.
Из этого примера видно, что неустойчивость разомкнутой си стемы не означает еще, что и замкнутая система неустойчива.За мыкание системы придает ей новые качественные свойотва.
|
|
2. Чаотная Формулировка |
критерия Найквиота |
|||
|
В олучае уотойчивооти разомкнутой системы (что бывает очень |
|||||
часто) |
I = 0, |
и критерий Найквиота можно оформулировать так: |
||||
|
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, |
|||||
чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой систецн |
||||||
н е |
о х в а т ы в а л а |
точку ( - I . j - O ). |
|
|||
|
Эта формулировка критерия Найквиста вытекает из общей как |
|||||
частный |
случай |
при 1 = 0, |
так как охват точки (-1 , jO |
) на |
||
угол 0*ЗГ фактически означает неохват ее. |
|
|||||
|
Пример 9 .8 . |
Исследуем устойчивость замкнутой оиотемы.еочи |
||||
передаточная функция разомкнутой оиотемы |
|
|||||
|
|
|
0 |
+ т,р){1 |
. |
(9.37) |
|
|
|
+тгр)(}+т3р) |
|
||
|
Все три корня характеристического уравнения разомкнутой |
|||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
с ( р ) |
= (1+Т,р){1+ Тг р ) ( И - Т 3р ) = 0 |
|
вещественные и отрицательные, т . е . 1 = 0. Поэтому можно приме нить частную формулировку критерия Найквиота.
•Чг!
ЧаототНай'передаточная фуйкций О' 1<И
• •/ |
, |
М |
, |
Г?-’и |
1 |
W 0 0 3 ) - ( } + ^ |
|
7y )(;/+ j(JO Т2) {I tj. CO Т3) |
* |
Модуль ее
к
А (оо) =
^ T S ' H F r f ? ' ) (/> Гз'со»)
и фаза
^ (uo) = - a r c t g o o 7 | - a r c со7^-arctgco7"3 .
Так как при изменении чаототы со от 0 до оо модуль А(со) монотонно уменьшается от А (0)= к до А ( <х>) = 0, а фаза
(со~) монотонно изменяется от ц>(0) = 0 до ц>(со) = -270°, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой оистемы имеет
Рис.9.12. Амплитудно-фазовые характеристики к примеру 9.8
вид Ьдной из Трех кривых, изображенных на рис.9.12. Характе ристика I соответствует устойчивой замкнутой системе, характе ристика 2 - неустойчивой, а характеристика 3 - замййутой си стеме, находящейся на колебательной границе устойчивости.
3.Особые случаи применения критерия Найквиста
Врассмотренных примерах мы умышленно не> касались -примене ния критерия Найквиста для случаев,когда характеристическое
уравнение разомкнутой оиотемы С( р ) = 0 имеет нулевые или чиото мнимые сопряженные корни. И хотя ни общая, ни частная формулировки критерия Найквиота при атом не меняпгоя, приме' нение этого критерия имеет свои особенности, связанные о осо бенностями амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой ои ' стены. Рассмотрим эти оообеннооти.
I . Пуоть характеристическое уравнение разомкнутой оиотемы С ( р ) = 0 имеет один нулевой корень р7= 0, а все остальные корни имеют положительные или отрицательные вещественные ча°ти.
Передаточная функция разомкнутой системы (9.30) в этом оЯУ-
чае может быть аапиоана в виде: |
. |
|
|
|||||
|
6 |
/77 |
/77-7 |
в(р) |
' |
|||
|
оР |
+Ь,р |
+••• + о,„ |
|||||
|
/ |
П-1 |
Л-2 |
- |
\ |
рс,(Р) |
(9.38) |
|
|
р(сор |
+С,р + - + cn_t) |
|
|||||
Чаототная |
передаточная |
функция |
|
|
|
|||
|
|
|
W (j . c o ) |
|
BQo>) |
|
(9.39) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как видно |
из выражения |
(9 .3 9 ), |
особенность амплитудно |
фаговой |
характеристики разомкнутой |
системы |
в этом случае со |
||
стоит |
в |
том, |
что при со — 0 модуль А (а))— |
и характеристика |
|
имеет |
разрыв |
непрерывности в точке |
со = 0. |
Поэтому при слож |
|
ном очертании годографа W ( j-СО) не воегда |
оказывается возмож |
||||
ным оудить об охвате или неохвате |
точки (-1 , j -О ). |
Для получения определенности поотупим следующим образом (доказательство мы опускаем). Проведем дугу бесконечно боль шого радиуоа о центром в начале координат, начиная от положи тельной или отрицательной вещественной полуоои по часовой стрел ке до пересечения с "хвоотом" амплитудно-фазовой характеристи
ки, так, чтобы раствор дуги отремилоя к |
(см.пример 9 .9 ). |
При этом точка, соответствующая частоте |
со а о, расположится |
на положительной или отрицательной вещественной полуоои. общая или чаотная формулировка критерия Найквиота теперь применяется к амплитудно-фазовой характеристике, дополненной Дугой беско нечно большого радиуоа.
При наличии в характеристическом уравнении разомкнутой оиотемы двух, трех и более нулевых корней поступаем точно так
же, но раствор |
дуги увеличиваем до Я ,3 ^ - и т .д . |
Пример 9 .9 . |
Последуем уотойчивооть замкнутой оиотеми,еоли |
передаточная функция разомкнутой оиотемы
W(P,% T^)
В характеристической уравнении разомкнутой системы
С(р) = р ( - 1 + Т р ) = 0
имеетоя один нулевой корень |
/)f = 0 и один вещественный положи |
|||
тельный корень |
р2= + у |
» |
т .е . |
1 = 1. Поэтому необходимо при |
менять общую формулировку критерия Найквиста. |
||||
Частотная |
передаточная |
функция |
||
|
|
|
к ( l + j o o z ) |
|
|
W 0<4>) = j - c o ( - l + j & T ) |
|||
Модуль ее |
|
|
|
|
|
A(OJ) = |
k ] / i + |
||
|
ы]/1+сог Тг |
|||
|
|
|
||
и фаза |
|
|
|
|
<4^(со) = —90°+ arc tcj соТ - ( 180°- агсЦ со Г ) = - 2 70°+ |
||||
|
+ а гс tg o o t + |
arc tcj со Т |
||
При изменении со от |
0 до оо |
модуль монотонно уменьшается |
от бесконечности до нуля, а фаза монотонно изменяется от -270 до -90°. Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики изо бражен на рис.9.13. Характеристика, изображенная на рис.9.13,а, соответствует случаю устойчивости замкнутой системы» так как амплитудно-фазовая характеристика охватывает точку (-1 , ^0 )
на угол 01 |
против часовой стрелки ( |
l = I ) . |
Это можно проверить |
||||
следующим |
образом. От точки |
I , где |
со = |
0, |
до |
точки |
3 угол по |
ворота вектора W(j-co) равен |
нулю, |
а от |
точки |
3 до |
начала ко |
ординат, где со = оо , этот угол равен +180°. Характеристика,
изображенная на рис.9 .13,б соответствует |
неустойчивой замкну |
|
той системе, так |
как точка ( - I , j O ) охватывается на угол 3 i ,но |
|
по часовой отрелка. |
|
|
Пример 9.10. |
Йсоледуем устойчивость |
следящей системы,пе |
редаточная функция которой |
|
ш
л
p ( ’ t W ( T+T* p )
Так как в характеристической уравнении разомкнутой системы отсутствуй»"корнй cJ поябжитёльной:вещественной' частью, приме няем частную формулировку критерия Найквиота.
Примерный вид амплитудно-фазовой |
характеристики в олучае |
||||||||||
устойчивости замкнутой сиотемы изображен на рио.9.14. |
|
|
|||||||||
|
2. Пусть передаточная |
функция разомкнутой оиотемы включа |
|||||||||
ет |
в |
себя консервативное |
эвено, |
что |
соответствует наличию в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристическом уравнении |
|||
|
|
|
, V |
|
|
|
|
разомкнутой оистемы пары чисто |
|||
|
|
|
|
|
|
ш=0 U |
мнимых оопряженных корней. |
||||
- |
/ |
/ |
О |
|
|
|
Передаточная функция |
(9.33) |
|||
|
\ А |
° {JJ-оо |
|
|
|
7 I " |
|
||||
|
|
|
|
в этом олучае может быть запи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
сана в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W( p) = |
|
|
|
ч> / |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
, |
||
|
|
|
/ |
/ |
|
|
ь0рт+ь,рт- 1 - + |
ьт |
|||
Ы |
|
|
|
/ |
|
|
|
||||
* к |
|
С |
|
|
|
|
(р*«о)(сУ ’+ л У ’+-• •+ с'„-г) |
||||
. |
!. |
"TV |
, |
|
|
* |
|
|
|
|
|
г |
т |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.9 .14,Амплнтудно-фнзовая |
_ |
'В(р) |
|
|
|||||||
характеристика к примеру 9.10 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(р г+оз1):С2{р) |
(9.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-Наличие тлкщх'^веньев типично ддз передаточных функций |
||||||||||
систем |
управления |
самолетов и ракет, где их.появлениесвяза |
|||||||||
но |
|
|
|
|
|
|
|
*и?ис*ру*ЧИИ|прбор®^<»а и. ждд^рго |
|||
наполнителя в баках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чаототная |
передаточная функция |
|||
|
|
W ( j c o ) = |
||
|
|
|
|
(^ -С л 3 2)С гЦсО) |
Как видно |
иа выражения (9 Л 4 ), амплитудно-фазовая характе |
|||
ристика в |
точке СО = со0имеет |
разрыв непрерывности. В этой точ |
||
ке модуль |
А (со) = [W ( |
со) | |
отренитоя к беоконечноотн, а фаза |
|
делает окачок |
на -180° |
(ом.§ |
7 .3 ). Для получения непрерывной |
кривой амплитудно-фазовая характеристика дополняется полу окружностью беоконечно большого радиуса с центром в начале ко ординат по часовой стрелке, начиная от ветви, соответствующей меньшим чаототам (см.пример 9 .I I ) . Это правило приводим без доказательства.
Общая или чаотная формулировка критерия Найквиста приме няется к амплитудно-фазовой характеристике, дополненной полу окружностью бесконечно большого радиуса.
Аналогично поотупаем при наличии двух, трех и более кон
сервативных эвеньев. |
|
|
||
Пример |
9 .I I . |
Исследуем устойчивость |
замкнутой |
системы, пе |
редаточная |
функция которой в разомкнутом |
состоянии |
|
|
W |
( p ) |
___________ к______________ |
(9.45) |
|
= |
|
Р0+ Т,р) (/+ Тгр)(1+ Т0грг)
Вхарактеристическом уравнении разомкнутой оиотемы отсут ствуют корни с положительной вещественной чаотью, т .е . 1 = 0 . Поэтому применяем частную формулировку критерия Найквиста.
Чаототная передаточная функция может быть предотавлена в виде произведения двух оомножителей
W Q c o ) |
= |
|
|
1 |
(9.46) |
|||
|
|
f-T 0W |
||||||
|
|
|
jo3(l+jcoTt)(t+j.coTz) |
|
|
|||
Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая перво |
||||||||
му сомножителю, была рассмотрена в |
примере 9 .8 . Она изображена |
|||||||
на рио.9.15 пунктиром. Отметим на этой |
характеристике точку А |
|||||||
с чаототой и>0= |
. В зависимости от постоянной времени кон |
|||||||
сервативного |
звена |
Т0 эта точка может располагаться |
либо во |
|||||
втором (рис.9 .15,а ) , либо в третьем |
квадранте (рис.9 .1 5 ,б).Как |
|||||||
видно |
из |
выражения |
( 9 . 4 6 ) , влияние |
консервативного |
звена |
со |
||
стоит |
в |
том, |
что по ме'ре увеличения |
частоты от 0 до -L- модуль |
||||
Д (со) |
I |
I |
|
|
|
*о |
j |
|
= |W Q со)| будет постепенно |
увеличиваться и при со-*-у |
А ( с о ) — оо . это означает, что амплитудно-фазовая харак теристика уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой, проведенной через точку А и начало координат. Далее
характеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого
Рис.9.15. Амплитудно-фазовые характеристики к примеру 9 .II
Анализируя амплитудно-фазовые характеристики, изображенные на рис.9.15, можно сказать, что в первом случае замкнутая си стема остается устойчивой, а во втором случае появление в ра зомкнутой системе консервативного звена приводит к неустойчи вости замкнутой системы.
§ 9 .5 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Для определения устойчивости в этом случав строится не ам плитудно-фазовая характеристика, а логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л .а .х .) и логарифмическая фазовая чаототная характеристика (л .ф .х .).
Л .а.х . отроится по выражению
М .со) = 20tcj А (со) = 2 0 t^ | w (<j.u))|, (9.47)