книги / Основы автоматики

где А ( со ) - модуль чаототной передаточной функции разомк­ нутой оистемы.

Для поотроения л.ф .х. вычисляется аргумент чаототной пере­

неокольких конкретных примерах.

Пример 9t l2 . Пусть передаточная функция разомкнутой сиотемы

Для построения асимптотической л .а .х . на стандартной сет­ ке (рио.9.16) нанооим вертикальные прямые при оопрягапцих ча­

Этому выражению ооответствует прямая о отрицательным наклоном

ооответствует постоянной времени, находящейся в числителе(9.50),

стоянные времени Tj и Т2 , соответствующие оопрягающим частотам

тангенсоиду. Поэтому достаточно построить лишь одну такую за­

щей сопрягающей частоте фазовый сдвиг был равен +45° (знак за­ висит от знака слагаемого).

В чиолителе или знаменателе передаточных функций разомк­ нутых оиотем управления самолетами, ракетами и т.Д . часто встре­ чаются члены типа 1+ 2\~Тр+ Тгр 2, 7-2^.7/> + 7 р г(£ < 1),1+ Т2рг, которые не раскладываются на оомножители первого порядка. По­

40 дб/дек вверх или вниг в завиоимссти от меота постоянной вре­ мени Т. Кроме того, при построении л .а .х . оледует обязательно

Рио.9 .17 .Л .а.х . и л.ф .х. сиотемы, содержащей колебательное звено

мах (они иногда называются условно устойчивыми) фаза может до­ стигать значения -180° и при модулях, больших единицы, но толь­

ко четное число рае (точки Bj и Cj на рис.9 .1 8 ).Л .а.х . и л .ф .х ., соответствующие этиы амплитудно-фазовым характеристикам, пока­ заны на рио.9.19. Сопоотавляя эти кривые, можно дать следующую чаотнуо формулировку критерия Найквиота ( 1 = 0 ) применитель­ но к логарифмическим частотным характеристикам.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,

рио.9.16, замкнутая система уотойчива, а на рис.9 .17 - неустой­ чива. Коли характеристическое уравнение разомкнутой системы С ( р ) = 0 имеет корни с положительной вещественной частью

( I ¥ 0) или больше двух нулевых корней, требования к л. э. х.

и л .ф .х . можно сформулировать на основании вида амплитудно-фа­ зовой характеристики. Для приуера на рис.9.20 построены л .а .х .

и л.ф .х. соответствующие амплитудно-фазовой характеристике (рис.9 .13). Сравнивая эти характеристики, можно сказать, что в случае рис.9 .20,а закинутая система уотойчива, а в случае рио.9.20,6 - неустойчива.

Отсутствие единой формулировки критерия Найквиста при ис­ пользовании логарифмических частотных характеристик является недостатком этого опоооба определения устойчивости. Но про­ стота построения л .а .х . и л.ф .х. и большие возможности, ко­ торые открывает их применение для оценки качеотва и оинтеза автоматических оистем, вполне окупают этот недостаток.

Рис.9.20. Л .а.х. и л.ф.х.системы, неустойчивой в разомкнутся! состоянии

Пример 9.13. Определим устойчивость замкнутой системы угловой стабилизации нейтральной ракеты при учете одного тона упругих колебаний корпуса.

Передаточная функция разомкнутой оиотемы

к р + г р ) ji + ' t o p 2 )

В характеристическом уравнении разомкнутой оистемы

с ( р) - р 2 {l + TQ р г )= О

отсутствуют корни с положительной вещественной частью ( I = 0). Поэтому применяем приведенную выше формулировку критерия Найк­ виста для логарифмических частотных характеристик^ первом

Для определения устойчивости воспользуемся логарифмически­ ми частотными характеристиками.

Частотная передаточная функция разомкнутой сиотемы, л .а .х .

Из выражений (9.58) и (9.59) видно, что добавление в пря­ мую цепь управления звена чистого запаздывания с передаточной

~ Т ~ с0зг‘С = _ 31 * (9*60)

Из последнего неравенства находим условие устойчивости

При отсутствии в системе эвена чистого запаздывания систе­ ма была устойчивой при любых положительных значениях коэффи­ циента передачи разомкнутой системы.

Из условия (9.63) видно, что введение в систему звена чис­ того запаздывания может сделать неустойчивой даже систему.имею­ щую характеристическое уравнение 1-го порядка.

Достоинства критерия Найквиста по сравнению с критериями Гурвица и Михайлова соотоят в следующем:

а) сравнительная простота исследования устойчивости замк­ нутых систем высокого порядка;

б) возможность использования экспериментально снятых амп­ литудно-фазовых характеристик разомкнутой системы в целом или отдельных ее звеньев;

в) по виду амплитудно-фазовых или логарифмических частот­ ных характеристик разомкнутой системы одновременно с исследо­ ваниями устойчивости можно определить и качественные показа­ тели замкнутой автоматической системы (см.главу X).

Однако при исследовании устойчивости систем невысокого порядка, а также систем, параметры которых заданы численно, удобнее пользоваться критериями Гурвица или Михайлова. Кроме того, с помощью критерия Найквиста нельзя исследовать устой­ чивость разомкнутых систем.

§ 9.6. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ

При проектировании той или иной автоматической системы часто возникает необходимость исследовать влияние ее парамет­ ров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т . е . областей таких значений парамет­ ров, при которых система оказывается устойчивой.

Для построения границ областей устойчивости используются условия, вытекающие из критериев Гурвица, Михайлова и Найквис­ та (для замкнутых сиотем). Критерий Гурвица удобно использовать для систем, описываемых уравнениями не выше четвертого порядка, критерий Михайлова и Найквиста - для уравнений любого порядка. Однако для сложных систем предпочтение отдается критерию Ми­ хайлова, так как с его помощью границы устойчивости опреде­ ляются более просто.

Области устойчивости могут строиться в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров. Мы рассмотрим построе­ ние областей устойчивости в плоскости двух параметров (так де­ лается наиболее часто) на конкретном примере.

Пример 9.15. С помощью критерия Михайлова построим об­ ласть устойчивости для системы угловой стабилизации ракеты.

Передаточная функция разомкнутой системы

Согласно критерии Михайлова, на колебательной границе устойчивости вещественная и мнимая части характеристического комплекса одновременно обращаются в нуль, т. е .

Рис.9.24. Область устойчивости к примеру 9.15

По данным этой таблицы строим кривую на плоскости Н1и К ; примерный вид которой показан на рио.9.24 (кривая I ) . Уравне­ ние, определяющее апериодическую границу устойчивости, полу­ чается приравниванием нулю свободного члена полинома (9 .65):

К, = I.

Это есть уравнение прямой (прямая 2 на рис.9 .24). Так сформи­ ровалась область устойчивости. Чтобы удостовериться в этом, необходимо внутри предполагаемой области уотойчивооти выбрать одну точку и, получив чиоленные значения параметров К, и Нг, соответствующие этой точке, применить какой-либо критерий устой­ чивости. Если система окажется устойчивой для выбранной точки, то и воя очерченная область есть область устойчивости.