Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Основы автоматики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4832 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Модно показать, что выражение для ошибки останется таким

же (10 .I I)	при любой расположении интегрирующего эвена в пря
ной цепи контура управления.
При отсутствии возмущающегро воздействия отношение окорооти
движения у	= д°	к ошибке	—2— = к	называется добротно
стью оиотены по скорости.			х Усгп
Пример 10.5.		Электромеханическая		следящая	оистема (см.
рио.1.11).	В установившемся режиме движения с				постоянной ско

ростью напряжение на исполнительном двигателе пропорционально

окорости вращения двигателя	ф =	. Но напряжение
на двигателе пропорционально	углу рассогласования $ . Поэтому
чем больше скорость вращения	командной оои,	тем больше рассо

гласование между исполнительной и командной осями:

Ъ =ZL

уст к

В реальных системах из-за нелинейной зависимости ф^= f(Ug) закон изменения скоростной ошибки от скорости вращения отличаетоя от линейного.

3. Движение по гармоническому закону

В этом режиме задающее или возмущающее воздействие изме няется по гармоническому закону

9	= gmsin U)gt i	(10.12)
f	= fm s in oof t .	(10.13)

Будем считать, что и задающее воздействие и сигнал помехи действуют на входе системы (рис.10.9).

Вначале рассмотрим случай, когда к системе приложено лишь задающее воздействие

g = g m s i n c o g t .

(10.14)

Точность системы оценивают по амплитуде ошибки

Для уменьшения ошибки параметры оистемы выбирают такими, чтобы выполнялось неравенотво

		'+ W (v c d j)			»	/	(10.16)
Уоловив (10.16) выполняется,			еоли				(10.17)
		I W Q c o g) I » ; .					(10.17)
		I W Q c o g) I » ; .
При соблюдении неравенства (10.17)
\|/ +	W ( ^ o D g ) \| ~			\| w ( ^ c O g ) \| .			(10.18)
С учетом выражения		(10.18)	точность системы можно опре
делять по оледупцей приближенной формуле:
		------ ------- г 9 „				•	(10.19)
		\|W(^COj)\|
		Для того чтобы точность САУ бы
		ла не хуже заданной, должно выпол
		няться	неравенотво
		\| w	0	“	s	) \|Ят'	(10.20)
						ь/л
Рис.10.9.САУ с сигналом		Неравенотво				(10.21)	выполняет
помехи на входе		ся, еоли л .а .х . разомкнутой системы
на чаототе сОд проходит выше точки А				(рис.10.10) о координатами
со = со		( c o g ) = 2 0 t g \| w O c O g )					(10.21)
8»
Из формулы (10.21)	и рио.10.10 видно,					что для увеличения
точнооти работы САУ общий коэффициент					передачи разомкнутой

системы К необходимо увеличивать.

Рассмотрим теперь случай, когда на входе оистемы действу ет оигнал помехи (см ., например, фотоэлектрическую следящую систему, показанную на рис.8.10 и 8 .I I ) . При задающем воздей ствии, равном нулю, должна равняться нулю и выходная коорди ната сиотемы у . Поэтому выходной сигнал системы от действия

помехи f = f s i n e Of t	являетоя ошибкой системы. Амплитуда
х т= Уг	СО = 00 4 fm =	/+W (^a)#) \|‘т	(Ю.22)

Рио.10.10. К ошибкам САУ от гармоничеоких воздействий

Обычно частота помехи ю? лежит правее частоты среза ра зомкнутой системы cof > со Ср(см.рис.10.Ю ), и в районе часто ты сол

« 1 .

(10.23)

При выполнении неравенства (10.23) амплитуду ошибки можно находить по приближенной формуле

fт .

(10.24)

Для того чтобы ошибка системы не превосходила заданную ут, должно выполняться неравенство

W Q c o f ) I ^

(W .25)

Неравенство (10.25) выполняется, если л .а .х . разомкнутой системы проходит ниже точки Б (рис.10.10) с координатами

со=со	f	, L (cof ) = 2 0 t g — •	(10.26)
	f	а х т

Из рис.10.10 видно, что для увеличения точности оиотеш полооу пропускания разомкнутой системы (частоту среза разомк нутой системы С О необходимо уменьшать.

Уменьшение полосы пропускания разомкнутой системы (умень шениесо ), как будет показано в § 10.6, приводит к уменьшению быстродействия системы.

§ 1 0 .3 . ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САУ ПО ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

Качество САУ по переходной характеристике (рис.10 .II) оце нивают обычно по величине перерегулирования е°/о и времени пе реходного процесоа i p .

Перерегулирование

	6%	У т	У уст	(10.27)
	6%		• 100 % .	(10.27)
			У уст
где	ут- максимальное		значение выходной координаты;

Ууст~У(°°)~ установившееся значение выходной координаты.

В реальных САУ величина перерегулирования обычно не пре вышает б в/А= (10 ♦ 50)%.

Время переходного процесса определяет быстродействие САУ.

Время переходного процесса	это время		от момента подачи скачка
		до момента t p,		начиная	о ко
		торого для всех		t — t n вы
		полняется неравенство
		\| y	« b V " \| - AW		I0-28)
		где	ДУуСт~ допустимое		откло
		нение выходной координаты САУ
		от установившегося значения.
			Величина Д	обычно при
Рис.Ю .Ц.Переходная характе		нимается равной		0,05 или 0,01.
ристика			Иногда в оценку качества

включают и число колебаний выходной координаты относительно
установившегося положения	за	время t n .

Достоинством оценки динамических свойств по переходной характеристике являетоя наглядность, недостатками - трудность построения переходной характеристики и трудность решения задач анализа и синтеза для САУ, имеющих характеристическое уравнение высокого порядка.

Отметим, что в настоящее время использование вычислитель ных машин позволяет сравнительно быстро построить переходный процесс даже в системе, движение которой описывается дифферен циальными уравнениями высокого порядка.

§ 10.4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДСЫ

Для определения переходного процесса в САУ необходимо лю бым способом решить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

В теории автоматического управления для построения пере ходного процесса наиболее широкое применение нашел операцион

ный метод,	о- нованный на применении преобразования Лапласа.
В атом	параграфе мы ограничимся формальным изложением опе
рационного	метода решения линейных дифференциальных уравне

ний при нулевых начальных условиях1 '.

Пусть имеется сиотема дифференциальных уравнений, описы вающая движение САУ:

d j_		п-1			d y		.	* и Ъ
d j_	d	у	+ • •		d y		.	* и Ъ
Q° d t n4 d t n ~ 7			+ • •				° п У -	n
Q° d t n4 d t n ~ 7			• + a ° - < d t +				° п У -	n
			d m 12	+		-	d z		(10.29)
		+ 6 ,	— -f	+	• • • + Ъ			+	(10.29)
		+ 6 ,	m - J			m-■i d t		+
d l i			d t
d l i		d 1Чъ	+ .			d z
0 d t 1	С --------= -		+ .				c i - 9 - У '
0 d t 1		d t l	" + ci-i d t				c i - 9 - У '
где			у,	г	- независимые переменные (напри-
						мер,	управляемая величина			и
			a (	t	) -	управляющее воздействие;
			a (	t	) -	известная функция времени				(на
ao, ’' ' ,a m b 0,...,b m,C0,...,cl-						пример, задающее воздействие);
ao, ’' ' ,a m b 0,...,b m,C0,...,cl-						постоянные		коэффициенты.
От обыкновенной формы записи дифференциальных уравнений
перейдем к		операторной форме:
a 0 p n Y +		а . р Yп ~'+ - " + a n - i p Y + o n Y = bZ+0 p m

+ bj pm 72+ •••+ bm-,p 2 + bm Z;

(10.30)

c0p l Z + C,pl 7Z+'-- + ct_j Z+ ct = G - Y

^ Для овладения операционным методом решения дифферен циальных уравнений рекомендуем книгу Г.Д ё ч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа,физматгиз,I960.

или

(а0рП+ а,рп1+ • • •

ct„-,P+ on)Y = (b0p m+

+ Ь,рт + • • • + Ьт. , р +

Ьт) 2

(Ю .31)

(соР1+с/Р1

ci -iP+cL)Z = G - Y .

Формально формы эапиои уравнений

(10.30) и (10.31)

совпа

дают с записью системы уравнений (10.29)

изображениях по

Лапласу при нулевых начальных уоловиях,

еоли через

Y ,

Z , G

обозначить

изображение по Лаплаоу переменных у , z , у-

Напомним,

что

изображение

по Лапласу какой-либо функции

( t

)

равно

F ( p )

= J

f ( t ) e

Ptd t ,

(10.32)

где

комплексная

переменная.

Последнюю формулу мы привели лишь для удовлетворения любо

знательности читателей. В дальнейшем мы ее использовать не

будем.

Для нахождения изображения по Лапласу искомой координаты

(например,

координаты

у )

достаточно

любым способом решить

систему линейных алгебраических уравнений (10.31)

относитель

но искомой координаты

(конечно, это справедливо лишь при нуле

вых начальных условиях).

В рассматриваемом

случае

т , т-1

• + Ьт1р + Ьт___________ __

Ъ0р

+Ь,р

Ч р)=

„ П-1

(°оР

а1р

+ -

an-lP^n)(CoPt+C/

+’ " + С1-,Р+С,)+(ЬоРГ "+Ьт) а(Р)'

В соответствии

определением,

данным

в главе

УШ,

У(Р)

= ф ( р )

&(Р)

Ш* /7“J

ь0р

+Ь,Р

+ • • • »

Ът _,р + Ът

■+апр+° n ) ( c j +

+ c i ) + { Ьо р т+ *

С,Р 1~1+ " - +сг^ Р

Ьт)

(10.33)

где Ф ( р ) - передаточная функция оистемы.
Поэтому формулу (10.33) можно переписать	так:
Y = Ф ( p ) G .	(10.34)

Итак, для нахождения изображения выходной координаты си стемы или эвена достаточно передаточную функцию умножить на изображение входной координаты.

Изображение координаты системы зависит от закона ее изме нения. В табл.10 .I приведены выражения изображений по Лапласу для некоторых функций времени

		Т а б л и ц а	Ю Л
	Функция	Изображение по Лапласу
	Функция	функции
		функции
X	X ( t ) = 6 ( t )

6 -функция (единичная им пульс-

ная ф у н к ц и я . функция Диоака)

X	* (* ) = /m
С туп ен чатая	функция			с
X	x ( t ) = t		•/[*]
Линейная функция
X
Экопонента	Г 4444^	-------
X	x ( t )	= s in
	A	A	r	\	,
	v r	- X T	-	W	1
Синуооида
X	x ( t ) = c o s S U - f lt l

\A ,

Косинусоида

\ 7 \ У ~

J _

Рг

P + Q

Рг + ft*

p V f t *

Изображение произведения функции на постоянную величину равно произведению этой постоянной на изображение функции. На

пример, изображение		I [£]	равно		, а	изображение	А • / [ t ]
равно	j- .
Для нахождения		переходного		процесса		необходимо	от изобра
жения	по Лапласу коэффициента			у	перейти к функции времени,
т .е .	от у перейти к	у ( t ) .	Этот		переход обычно выполняют,ис-

пользуя теорему разложения.

I . Теорема разложения

Если изображение но Лапласу координаты у равно отношению двух полиномов

	у =	у ( р ) , Ш	c0(p-pf)(p-pz)...(p -p n)
		Y2(P)	c0(p-pf)(p-pz)...(p -p n)
и полином знаменателя не имеет нулевых и кратных корней, то
		у , ы		л *	(10.36)
		y ( t ) = Y .			(10.36)
		к—1 у > . )
ИЛИ
Q U h y .				_____ е* ‘ (10.37)
где Ь0 и	С0 -	коэффициенты при старших членах полиномов
	\{р) и \ (р)\
	рк- корни полинома Y2(р)\
	у к-	корни полинома YrfpJ;
	п -	число корней	полинома Уг (р).
Чаото	полином знаменателя выражения (10.35) имеет один ну

левой корень и не имеет кратных корней. В этом случае У(р)пред ставляют в следувцем виде:

=	Y> (^	=	Ь°	( Р - Ят) , (10.38)
Y Р ~	Р у з(Р>		Р c o { p - P j ) ( P ~ P z ) - ' - ( P ' Рг>)
где YЛр ) -		полином, не		имещий нулевых корней.
Тогда

, Ш - Ш	+ у	- М	М е	PIT*
				(10.39)
Y3(o;	L	р" Y3V „ )
	*=<	• к l 3	'гк;

ИЛИ

UI t ) - Y»(°) ^	.Put
	Ь0 ( рк- д , ) ( р к - Я г ) . . Л р к -<1т) e

	Y3(0) kT 0Pkco(PkP,ЗД~(	)(Дг/U)•••	(I0*40)
b и C0 -	коэффициенты при старите членах полиномов Y( (/>) иY (р);
0	корни полинома Y,(/>);		3
р^- корни полинома Y3 ( р )>’
п -	число корней полинома	Y3 (p).
Формулами (10 .36), (10.37),		(10.39) и (10.40)	можно поль
зоваться	и при вещественных и при комплексных корнях знамена
теля (10.35). Определение составляющих переходного			процесса,

соответствующих комплексным корням, представляет некоторые труд ности вычислительного порядка. Для облегчения вычислительной * работы составляющие переходного процесса, соответствующие ком-

плеконо-оопряженным корням pt 1+=-&±j. Л						,	удобно вычислять по
следующим формулам:
	при наличии в знаменателе (10.35)				нулевых корней
	4 l , i * i	= 2	Y ,(ft)	е-oltc o s(x t + 4>) =
	4 l , i * i	= 2
	Ь о ( Р г Я , ) - - ' ( Р Г Ят)							(10.41)
= 2	Ь о ( Р г Я , ) - - ' ( Р Г Ят)						e^co slA t+ tf);
= 2	PMPcPi)-WcPi*,){PcPn.z)-bcPn)						e^co slA t+ tf);
	PMPcPi)-WcPi*,){PcPn.z)-bcPn)
при отсутствии в знаменателе (10.35)					нулевых корней
			Y ,(A )	~dt		.	.
	Уи 1*1	= 2	Y ,(A )	е	co s(^ t + 4>) =
			Yз(/>£)
	{Pi~4i)		{ Pi ~	Я т )			e d teos(Afc-Kp),
	Со (Рг Pi)-	Pi( - Pit) ( Рг Piz)*• • (PrPn)						(10.42)
где ip р&пвн соответственно						( Р г Я м ) . _________
	Y,(PJ		Ь о - ( р , - Я г ) " •			( Р г Я м ) . _________

'f ~ar*

r4pMPrP,)-(Pt-Pt*,)(PcPi+z)---(Pi-P")

tf = a r g	b o ( P i - 4	i ) - ( P r t m	) ________ .
tf = a r g	9 co (P t - P , ) • • • ( P i - P i + l ) { P f P l * ) - ( P r P n )

Пример 10.бт Напиоать выражение		переходной	характеристи

ки для заикнутой оиотемы, еоли передаточная функция разомкну той системы

	В(р)		=	Ь0 р т+ Ь, рт~			' +	Ь	т
	С(Р)			с0рп+ с у		1+ •		+	сп
Решение. Передаточная функция замкнутой системы
	_ Щ р)	В(р)				К(Р-Ч,)(Р-Чг)-(р-Чт)
	HW(p)~ В(р)+С(р)				В { р ) '	а0 { р - р , ) { р - р г ) - ( Р ~ Р п ) А
где д(р)~В(р)+С(р) = а0р п+о,рп +• •• + ап- характеристический											по
лином замкнутой оиотемы;						, . . . , q,n-			нули передаточной
функции замкнутой			системы		(корни	полинома		£ ( / > ) ; р,		, р г	,
рп	- полосы передаточной функции замкнутой								оиотемы	(корни по
линома В (р )].
	Изображение по Лаплаоу выходной координаты оиотемы
			Y ( р ) = Ф ( р ) 0 ( р ) ,							(Ю .Н )
где	0. ( р ) = £ °		-	изображение по Лаплаоу входной коорди-
наты:					g (P j)	G *
					g (P j)	G *
					Ш р У	р
	В устойчивой САУ J H p				) не имеет		нулевых корней. Поэтому
для	определения	у ( £ )		воспользуемся			формулой (10.40):

УИ)= В(0)	+ y-i b0(pk-4i)(Pk~4z) (Рк~ Чт) ^_____ G°.(Ю .45)
Д W	Рк(РкРЛРк-Рг)-УР*-РнЖ-Р^)-ЛРнРп)
Сомножители { р и - Ч		0 и ( Р к ~ P i	ВХ0Дящие в Формулу
(10.45),	имеют простой	геометрический	смысл. Они равны векто

ру» проведенному из соответствующих нулей и полюсов передаточ ной функции системы в р^ -й полюс (рис.10.12).

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4832 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232 Mб5Основные узлы цифровых измерительных устройств..pdf
#
12.11.20234.93 Mб1Основные элементы и узлы радиоэлектронной аппаратуры систем автоматики..pdf
#
12.11.202313.8 Mб2Основы автоматизации проектирования в строительстве..pdf
#
12.11.202313.72 Mб1Основы автоматизации производства и контрольно-измерительные приборы на предприятиях промышленности строительных материалов..pdf
#
12.11.202317.39 Mб11Основы автоматики и автоматизации производственных процессов..pdf
#
19.11.202341.15 Mб1Основы автоматики..pdf
#
19.11.202329.49 Mб0Основы адсорбционной техники..pdf
#
12.11.20233.01 Mб5Основы алгоритмизации и программирования на языке Паскаль..pdf
#
12.11.20233.13 Mб6Основы английской фонетики для будущих переводчиков..pdf
#
19.11.202376.65 Mб0Основы архитектуры зданий и сооружений..pdf
#
12.11.2023999.46 Кб3Основы архитектуры..pdf

книги / Основы автоматики

PMPcPi)-WcPi*,){PcPn.z)-bcPn)