книги / Основы автоматики

новитьояваоокочаототныеавтоколебания, а при больших началь­ ных условиях - низкочасто!ные автоколебания с большей амплидутой.

Появление автоколебаний во многих олучаях нежелательно, а иногда и совершенно недопустимо. Так, колебательный режим работы приводит к разрушению лопаток турбокомпрессоров, авто­ колебания о большой амплитудой могут привести к разрушению конструкции корпуоа самолетов и ракет, при непрерывной работе сиотем в режиме автоколебаний происходит изноо подшипников, контактных поверхностей потенциометров и реле и т .д .

Однако оуиеотвуют и такие нелинейные сиотемы, для которых режим автоколебаний является основным рабочим режимом. Примером может олужить рассмотренная выше оиотема стабилизации окорости вращения электрического двигателя (ом.рио.12.3). В этом же ре­ жиме работают различные генераторы колебаний (например, мульти­ вибраторы).

Автоколебания - это специфическая особенность нелинейных оиотем. Они невозможны в линейных системах. Незатухающие коле­ бания в линейных системах, возникающие на колебательной грани­ це уотойчизооти, не являются автоколебаниями, так как ухе сан термин "граница устойчивости" говорит о том, что малейшее изме­ нение параметров системы приводит либо к затухающему, либо расходящемуся колебательному процессу.

Нелинейные автоматические сиотемы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Лишь для небольшого числа та­ ких уравнений можно найти точные решения. Разработанные до сих пор точные и приближенные методы позволяют решать лишь неко­ торые частные задачи и не дают возможности исследовать все раз­ нообразие возникающих в нелинейных системах процессов. Пере­ числим основные из этих методов.

1. Прямой метод А.М.Ляпунова является общим методом иссле­ дования устойчивости нелинейных систем. Применение его часто вызывает трудности и поэтому в дальнейшем мы его рассматривать не будем.

2. Метод румынского ученого В.М.Попова также предназначен для исследования устойчивости. Подробно этот метод рассматри­ вается в § 12.4.

3. Метод фазовой плоскости (ом.§ 12.3) дает наглядное пред­ ставление не только об устойчивости, но и о характере процесоа в сиотеме.

4 . Метод гармонической линеаризации (си.§ 12.5) - наиболее распространеннный приближенный метод исследования нелинейных систем.

5. Метод моделирования на моделирующих установках непре­ рывного дейотвия и численного моделирования на цифровых вычи­ слительных машинах оказывает очень большую пользу как при рас­ чете нелинейных систем, так и при проверке правильности полу­ ченных аналитических результатов.

6. Для построения переходных процессов в нелинейных си­ стемах используются численные методы (например, метод припаоовывания), графические и графо-аналитичеокие методы. С развити­ ем современных моделирующих установок ценность этих методов значительно уменьшается.

§ 12.3. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Графо-аналитический метод изображения переходных процессов

выбираетоя либо управляемая величина, либо ошибка (рассогла­ сование). Графически переходный процесс изображается в виде некоторой кривой на плоскости, по оси абсцисс которой отклады­ вается независииая переменная - время t , а по оси ординат - переменная, характеризующая состояние системы (рис.12.б ,а ).

плоскооти можно откладывать и любые другие переменные, но так поступают значительно реже.

Чтобы представить, как выглядит тот или иной процесс на фазовой плоскости, обратимся к рис.12.6, где изображен затухаю­

точки М2, расположенной на оси абсцисс. Эти рассуждения можно продолжить и дальше. Таким образом, каждой точке реального переходного процесса соответствует вполне определенное положе­ ние изображающей точки М на фазовой плоскости.

Кривая, которую описывает изображающая точка на фазовой

при построении фазовых траекторий.

1. В верхней полуплоскости изображающая точка всегда дви­

и, следовательно, сама переменная должна возрастать. £ нижней

ответoraует максимуму или иинииуну оаиой переменой X . Это пра­ вило не раопроотраняетоя на фазовые траектории, которые закан­

колебания отличаются от синусоидальных, то цикл имеет вид бо­ лее оложной кривой.

На рис.12.7 и 12.8 изображены фазовые траектории, соответ­ ствующие возможным процессам в нелинейных системах (см.рис.12.4 и 1 2 .5). Здеоь мы встречаемой с двумя видами фазовых траекто­ рий, которых не было в линейных системах. Контур, к которому

Рис.12.8. Отображение переходного процесоа (рио.12.5) на фазовую плоокость

щимися, а расположенные вне его - сходящийся. Такой предель­ ный цикл соответствует устойчивый периодический колебаниям в нелинейной сиотеме, названный нами автоколебаниями. На фазовой плоскости может быть и неустойчивый предельный цикл (показав пунктиром на рис.12.7 и 12 .8,6). Такой предельный цикл соот­ ветствует неустойчивым периодическим колебаниям в сиотеме.

Это означает, что если подобрать начальные уоловия так, чтобы начальная точка процесса попала на предельный цикл, то в си­ стеме будут существовать периодические колебания. Но стоит только начальным уоловиян немного измениться, как процесс ста­ новится либо расходящимся, либо сходящимся.

Общий метод анализа нелинейных автоматических систем с помощью фазовой плоскости рассмотрим на конкретном примере.

Пример 12.I . Исследуем один из возможных вариантов авто­ матической системы стабилизации углового положения искусствен­ ного спутника Земли (ИСЗ). Эта система обычно строится по схе­ ме, изображенной на рис.1 .5 , и включает элементы, измеряющие угловое положение спутника (например, гиростабилизированную платформу), формирующий элемент (в простейшем случае - усили­ тель) и исполнительные элементы (например, газовые реактивные двигатели). Коли пренебречь влиянием внешней среды, уравнение управляемого объекта (ИСЗ) может быть записано в виде

где 0 - момент инерции спутника относительно оси вращения; Ч>- угол поворота ИСЗ (управляемая величина);

Т а б л и ц а 12.1

386

б)

Уравнение (12.6) и есть дифференциальное уравнение фаговых траекторий. При построении фазовой плоскости переыеннув if мы будем откладывать по оси абсцисс, а переменную Q - по оси ординат.

Рассмотрим влияние различных законов управления на про­ цессы в оиотеме стабилизации ИСЗ.

Рис.12.10. Фазовые траектории к примеру 12.I при использовании линейного исполнительного устройства

уравнение (12.9) еоть параметрическое уравнение эллипса. По­ этому фазовый портрет системы будет представлять ообой семейотво концентрических эллипсов (рис.12.10,б). Следовательно, в сиотеме существует периодический колебательный процесс. Так

как мы рассматриваем линейную систему, то наличие таких коле­ баний показывает, что система находится на колебательной грани­ це устойчивости. В этом можно убедиться и другим споообом, ис­ пользуя теорию линейных автоматических сиотем. При Ф( у , С2 )=

-передаточная функция разомкнутой оистемы

W (p) = А ^ 1 о _ =

РР

Характеристическое уравнение замкнутой оистемы

д{р) = рг + к,к =О

лизации ИСЗ, еоли в качестве уоилителя использовать трехпози­ ционное поляризованное реле. Характеристику реле примем такой, как на рио.12. 1 ,а .

Управление спутником в этом олучае будет осуществляться по

к объекту сразу прикладывается максимальный положительный или отрицательный момент, направленный на ликвидацию отклонения. Поэтому вою фазовую плоскость можно разбить на три области