книги / Основы автоматики
..pdfгде |
коэффициенты |
Al t Д2 |
|
Ап определяются через коэф |
|
фициенты о 0 , |
о ; |
an_j |
, |
а п и степень устойчивости h . |
|
|
Введение |
новой переменной |
2 |
соответствует омещению мни |
|
мой оси на плоскости р влево |
на величину h (рис.Ю .19,в).При |
||||
этом |
один или пара |
корней попадают на мнимую ось. |
|||
К новому уравнению применяют критерий устойчивости Михай |
|||||
лова |
или Гурвица. |
|
|
|
|
Если критерий устойчивости выполняется, то степень устой чивости в оиотеые меньше заданной h .
Напомним, что нахождению сиотемы на апериодической границе
устойчивости |
соответствует равенство нулю свободного члена |
|
характериотичеокого полинома при |
положительноотн определите |
|
лей Гурвица |
А, , Д 2, . . . , Д п_ , |
. Колебательной границе устой |
чивости соответствует равенство нулю предпоследнего определи теля Гурвица Д л .,при положительности определителей Гурвица
А, • Д 2 |
А „_г и положительном свободном члене характе |
ристического полинома. |
|
Определить, |
удовлетворяет ли система заданной отепени |
устойчивости можно и с помощью критерия устойчивости Найквиста. Для этого в передаточной функции разомкнутой сиотемы W(p) от переменной р переходят к переменной 2 = р + h . Для пере даточной функции W (—h + ъ ) строят амплитудно-фазовую харак
теристику, изменяя |
новую переменную ъ в пределах от j-О до |
|
+ ^оо . Если построенная таким |
образом а.ф .х . удовлетворяет кри |
|
терию устойчивости |
Найквиота, |
то отепень устойчивости в систе |
ме больше заданной h ; если не удовлетворяет, то меньше за данной h ; еоли а.ф .х . соответствует границе устойчивости, то степень устойчивости равна заданной. Особенно просто решается задача выбора параметров САУ, удовлетворяющей заданной степе ни устойчивости при использовании логарифмических чаототных характеристик. Покажем это на примере.
Пример 10.10. Передаточная функция разомкнутой оистемы
W (P )= р{Щр){ц+тгр)
Т{ = 0,1 сек, |
Тг - |
0,04 |
сек. Определить коэффициент передачи |
|
разомкнутой системы к , |
при котором степень устойчивости была |
|||
бы не |
меньше |
h = 2 |
*/сек. |
|
Р е ш е н и е . |
Выражение для а.ф .х . h разомкнутой системы |
|||
имеет |
вид |
|
|
|
hO - hT ,) ( j - h T 2)
W (-/?+jco) =
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
hTz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(1-hTt){l-hT2f l ^ 7 |
’ |
T>= j r |
^ |
= 0>125cet<-> |
|||
|
71 = T~7zr~ —0,4-35с е к • |
T1- |
j - |
= 0,5сек. |
|||||
|
|
i~ пТг |
|
|
|
|
п |
|
|
Фазовая характеристика |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ф /,(а})= |
|
Ч>0 ( Ш) + % |
М |
+ V2(c*>)» |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if>o( a ,) = - /8 0 ° + a rc tg co r'j |
<f>(tt>)=-arctgcoT/; |
<p2(co)= -arctga}7^ . |
|||||||
Характеристики <p0 (u>) |
, ф7(O J) и фг (оо) |
отроим о помощью |
|||||||
шаблона. Характеристику |
|
(со) |
получаем графическим ояохениен |
||||||
характеристик ф0(со) * ф,(СО) |
и ф ^(со) |
(рис. 10.20,а ) . |
|||||||
Вид а.ф .х . системы, имеющей заданную степень уотойчивооти, |
|||||||||
показан на рис.10 .20,б. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Замкнутая система будет иметь степень устойчивости не ни |
|||||||||
ке заданной, если |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
при |
Lh (со) э=0 |
|
Ц>ь (со)=*-180°; |
|
||||
б) |
при |
ф „ ( о ) = -180° |
Lh i O ) ^ 0 . |
К, соответствующий |
|||||
Если система будет иметь коэффициент |
|||||||||
л .а .х .^ |
, |
показанным на |
рио.10.20 (графики |
I |
и 2 ), то степень |
||||
устойчивости замкнутой сиотемы будет |
равна |
h = 2 I /оек . При |
|||||||
этом коэффициент передачи разомкнутой системы равен соответ ственно
|
K = K = h(l ~hTt) (l~hTz)= 1,47 |
х/сек; |
|
К —Кг= (1-ЬТ2)Т,Ш*г = 13,2 |
1/оек. |
При К = К1 ближайшим к мнимой оои будет |
вещественный ко |
|
рень |
Pj =- h =-2 х/сек . При К = К г ближайшими к мнимой оси |
|
будет |
пара комплеконо-сопряхенных корней |
|
Р,,2 = -Л |
±}со* = |
("" 2 - } 12) 1/сек. |
Еоли коэффициент |
передачи |
К ,^ К Кг, то степень устойчи |
вости системы больше |
заданной |
h ~ 2 */оек. Если К < K j или |
К > Кг , то степень |
устойчивости системы меньше заданной. |
|
При К - К, колебательность системы равна нулю. При К= Кг |
||
|
со’ |
/2 |
колебательность ц = — = |
= б |
|
Из рассмотренного примера видно, что при больших значениях коэффициента передачи ближайшими к мнимой оси плоокооти корней оказнваштоя комплексно-сопряженные корни. Козффицнент передачи разомкнутой системы К приходитоя выбирать большим для уменьше ния ошибок сиотемы в установившихся режимах. Поэтому в САУ обыч но ближайшими к мнимой оси полюсами, в основном определяющими динамические свойотва сиотемы, являютоя комплексно-оопряженные корни.
Ив примера 10.10 видно также, что чрезмерное уменьшение коэффициента передачи разомкнутой оиотемы нежелательно. Оно приводит к уменьшению быстродействия, система становится вялой.
§ 10.6. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА САУ
Практически любой сигнал, действующий на САУ, может быть представлен в виде конечной или бесконечной сумм гармонических функций (гармоник).
Если оигнал периодический, то он может быть разложен в ряд Фурье и представлен в виде конечной или бесконечной суммы гар моник о периодом основной (первой) гармоники, равным периоду оигнала. Непериодический сигнал может быть представлен в виде бесконечной оуымы гармоник с периодом основной гармоники, стре мящимся к бесконечности.
Изучив прохождение гармонических оигналов черев САУ в диа пазоне частот от нуля до бесконечности, можно составить пред ставление о реакции системы на входной сигнал.
В главе УП было показано, что реакция звена или системы на гармонический оигнал определяется очень просто. Это обстоятель ство позволяет математический аппарат исследования качества САУ сделать проотыы и использовать для ее расчета методы, доступные для инженеров, владеющих математической подготовкой в объеме программы технических вузов.
Наибольшее применение нашли следующие частотные оценки ка чества САУ: показатель колебательности, полоса пропускания, ча стота среза, запао устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.
П о к а з а т е л е м |
к о л е б а т е л ь н о с т и |
II |
||
называется отношение наибольшего значения |
модуля |
частот |
||
ной передаточной функции |
замкнутой системы |
|Ф Ц с о |
)| |
|
к значению модуля частотной |
передаточной функции при частоте |
|
||
со = 0: |
|
|
|
|
|
1ф (м |
>)1 |
(10.66) |
|
I Ф ( ^ |
0 ) |
|
|
I |
||
где (Opчастота, |
при которой функция |
достигает наи |
|
большего 8начения |
(рис.10.21). |
|
|
Рио.10.21. К определению показателя колебательности
Покажеи зависимость динамических свойотв САУ от величины показателя колебательности. Для этого найдем овя8Ь между вели чиной показателя колебательности и расположением полюсов и ну лей передаточной функции замкнутой оистемы.
В § 10.5 было показано, что динамические свойства системы в основном определяются двумя-тремя полюсами и одним-двумя ну лями передаточной функции замкнутой системы.
Пусть передаточная функция замкнутой оиотемы |
имеет лишь |
||
два комплексно-сопряженных полюса. |
|
||
ф ( р ) = |
1________ |
(10.67) |
|
1+2$Тр + Т2рг |
|||
|
|
||
В § 10.5 была выведена формула для определения величины |
|||
перерегулирования |
|
|
|
б |
VF1? |
(10.56) |
|
100 °/о |
|
||
Для сиотемы с передаточной функцией (10.67) резонаноная чаотота
/_ 2 Ь2 |
(10.68) |
сор = Ц р 1 - . |
Подставляя (10.68) в выражение для |
М |
\ф(1и>)I |
|
- —г г — гг* полу410* |
|||
|
|
|Ф Ц о ;| |
|
М = -------- |
—, • |
|
|
l ^ V T ^ |
|
|
|
Величина перерегулирования и показатель колебательности м |
|||
завиоят лишь от коэффициента демпфирования |
i; |
. Поэтому можно |
|
найти зависимость 6 0,°- f (Л7). График |
в 0,°= |
f (М) показан |
|
на рио.10.22. Приближенно |
|
|
|
6 °/о *= 4-5Л7-4-0. |
|
(10.69) |
|
Рио.10.22. Зависимость перерегулирования и времени переходного процесса от показателя колебательности
|
В § 10.5 было показано, что добавление в числитель переда |
||||||
точной функции |
(10.67) |
оомножителя (I |
+Z р) (нуля |
) |
|||
увеличивает |
перерегулирование е ° /о. Нетрудно показать, |
что при |
|||||
этом возрастает |
и показатель колебательности системы м . |
||||||
|
В § Ю .5 |
также |
показано, что |
добавление |
в |
знамена |
|
тель |
передаточной функции (10.67) сомножителя (I |
+ Ttp ) (полю- |
|||||
оа |
р3 = - у |
) уменьшает перерегулирование. Можно показать,что |
|||||
при этой уменьшается и показатель колебательности системы М . Для определения перерегулирования можно пользоваться графиком,
изображенным на рис.10.22, и формулой |
(10,69) и при добавления |
||
в передаточную функцию (10.67) со |
|
||
множителей I+Zp и 1+ TjP . |
|
||
Таким образом, о помочью пока |
|
||
зателя колебательности можно оцени |
ЛЛХ. |
||
вать перерегулирование системы. |
|||
Аналогичным образом можно пока |
|
||
зать, что быстродействие |
оистеиы |
|
|
можно определить по величине пока |
|
||
зателя колебательности |
и резонанс |
|
|
ной чаототе СОр. Для систем, пока |
Рис.10.23. К определению |
||
затель колебательности |
которых ле |
частоты ореза разомкнутой |
|
жит в диапазоне 1,1 ♦ 2, время пе |
системы |
||
|
|||
реходного процесса |
|
|
|
|
, |
__ 7,5И-5 |
(10.70) |
|
|
СОг |
|
|
|
|
|
Резонаноная чаотота примерно равна частоте среза разомк |
|||
нутой системы ср . Поэтому |
|
||
t |
|
а. 7,5М-3 |
(10.71) |
п°^ср
Частота среза разомкнутой системы определяется иэ уоловия (рис.10.23)
L(coc ) = 20lg|W(jcoc)| = /. |
(10.72) |
Чем больше чаотота ореза разомкнутой системы С0с , тем в большем диапазоне чаотот эта система "пропускает" гармониче ские колебания, тем меньше время переходного процесса.
Частоту среза разомкнутой системы (полосу пропускания ра зомкнутой системы) нельзя выбирать чрезмерно большой, так как при увеличении полосы пропускания увеличивается ошибка систе мы от сигнала помехи (ом.стр. ).
На простом примере покажем определение времени переход ного процесоа и перерегулирования по частотным характеристикам системы.
Пример 10.I I . Передаточная функция разомкнутой системы
Такую передаточную функцию имеет, например, электромеханиче ская следящая система при пренебрежении постоянной времени уоилителя.
Пусть К = 20 */оек, |
Т = 0,1 сек. |
|
Аоимптотичеокая л .а .х . |
и л.ф .х. разомкнутой системы приве |
|
дены на рио.10.24,а. Из рисунка видно, что чаотота |
орева разомк |
|
нутой системы соСр= 14,3 */оек, запао по фазе р ,= |
40°. |
|
Л.ф.х. каоаетоя запретной области, построенной для М = 1,5 . Поэтому показатель колебательности оиотемы М = 1,5 .
Перерегулирование и время переходного процесоа определим по формулам (10.69) и (10.71):
в ° /0 = 45*1,5 - 40 = 27,5%,
t = 7»5 ,1 «5 ~ 1 = 0,57 сек.
п14,3
На рив.Ю .24,6 построена переходная функция замкнутой си стемы. По ней определяем, что действительное время переходного процесоа я перерегулирования равны соответственно t n= 0 ,беек.