стационарных систем, называемых приводимыми,которые допускает точное преобразование в стационарные системы путем замены пе ременной. К таким оиотемам, например, относятся оистеиы о пе риодическими коэффициентами. Однако большинство реальных си стем не могут быть "стационаризованы" точно. Приближенная стационаризация может быть произведена методом замороженных реак ций, сущнооть которого состоит в оледуклцем.
Выше было показано, что любую нестационарную сиотему можно структурно представить в виде совокупности безынерционных не стационарных и простейших стационарных звеньев (интегрирующих и дифференцирующих). Следовательно, если удастся для безынер ционного нестационарного звена типа ( I3 . I) подобрать соответ ствующий приближенный стационарный эквивалент, то задача при ближенной стационаризации системы будет решена.
Для стационарной системы передаточная функция есть отно шение изображения выходной величины и изображению входной ве
личины.
Поступим аналогично и в олучае
нестационарного эвена.
Для этой цели выберем некоторый входной
сигнал х* (t - 0 )
который
назовем типовым.
X* ( t - 0 ) , составим
Задаваясь типовым входным сигналом
выражение
У*(р,0)
_ Lt{k{t) x *(t)|
(13.15)
Wlp.0)=
Lt{x *W}
I
X > )
"
где
- символ прямого
преобразования Лапласа по аргумен-
ту
t.
i
выражение (13.15) дает переда
В
олучае к (t ) = const
точную функцию или просто коэффициент передачи. В случае пе ременности к ( t ) выражение (13.15) определяет некоторую экви валентную передаточную функцию (ЭПФ). В отличие от обычной пе редаточной функции ЭПФ зависит от вида входного сигнала и по этому не является полной характеристикой исходного нестацио нарного звена.
Покажем это на простом примере. Возьмем k(t) = kQ+ kt ( t ) . По формуле (13.15) получим
йХ\р)
I , (п у к ,<)!*«)}
,
Чр
(13.16)
W(p.0) =
= к - к .
Для получения выражения (13.16) использовано известное свойство преобразования Лапласа:
Lt
dF(p)
1 jT ~
При изменении
X*lt)
выражение
для W(p,0) ,
определяемое
формулой
(13.16),
будет
изменяться.
Пуоть I * =
тогда
Если
взять х
=
, то
W (/?, 0 ) = /<0 +
. Ана
логично можно составить выражение для ЭПФ в случае подачи вход ного сигнала в момент tr . При этом преобразование Лапласа нужно брать по аргументу 1= t - t n .
Тогда можно написать:
LT{K(tr,t)x(T)}
(13.17)
W{p,tr) =
Lx {®(Т)}
При k(t) = /<0+k( t и x * ( t - t r)= H t - t r ) формула
(13.20)
дает следующее выражение:
w i p . v i - k . + i , ,
Итак, применяя описанную процедуру, можно безынерционное нестационарное звено привести к стационарному в окрестности рассматриваемого момента времени t . Передаточная функция за-г меняющего стационарного эвена определяется по формуле (13.15).
Очевидно, что использование полученной эквивалентной пере даточной функции для определения процесоа в замкнутой системе будет давать абсолютно правильный результат только в том слу чае, когда на вход нестационарного звена в замкнутой системе при заданных возмущениях и начальных уоловиях будет поступать именно тот сигнал, который выбирается в качестве типового (входного) при определении ЭПФ.
Действительно, пусть нестационарное звено с коэффициентом передачи к U) = kQ+ kf t в окрестности t p = 0 заменено на стационарное с передаточной функцией
W (p ,0 ) =
Воли на вход нестационарного звена в замкнутой системе будет поступать ступенчатый сигнал
Теперь определим реакции нестационарного и заменяющего
стационарного звеньев на входную величину X s t е'**
, имею
щую изображение
Х(р) =
1
На выходе
нестационарного
звена
(р+0О
-а
I/(t , 0) = (й01 + kj t ‘
(13.21)
Изображение сигнала на выходе заменяющего стационарного
звена
V„,(p.O> = W(p.O) и р ) = ( к 0*к, j ' )
(13.22)
Изображению (13.22)
соответствует
оригинал
,-«it ^ . /- Ц+сЖе ■it
(13.23)
V
t i 0 ) =
,<° t e '
+ к
Сравнение выражений (13.21) и (13.23) показывает, что ис пользование ЭПФ дает ошибку в определении выходного оигнала. Для иллюстрации величины ошибки Д у = у - у на рис.13.7
изображен график иэиенения
Л</
при указанных таи же параметрах
нестационарного звена и входного оигнала.
Боли заморозить коэффициент
h(t)
в момент
t -
0, к о -
хулим
Узн =
k0te -olt
Оиибка
^ з н = У-Узн = к , 1 2 е ' ^
(13.24)
График ошибки
Дt/3f(
также
показан на рис.13.7.
Из сопоставления графиков ошибок видно, что метод заморо
женных реакций
(в
данном случае
"замораживается"
реакция
на
ступенчатый сигнал -
переход
ная характеристика)
дает
луч
t
шие результаты в
смысле
точ
ности
определения выходного
АУ»’% 'У
а)
сигнала (особенно в
началь
100
OL=0J 1/сен
ной части процесоа).
Итак, в том случае, когда
сигнал
на входе
нестационарно
го звена в замкнутой системе
не будет совпадать
с выбран
ным типовым сигналом,реакция
сек
на который замораживается, за
меняющее стационарное звено
будет
давать ошибку. Приведен
Рис.13.7. Схема и графики к
ный пример нллюотрирует
пре
сравнительной
оценке методов
имущество метода замороженных
расчета САУ с
переменными
реакций перед методом замо
параметрами
роженных коэффициентов в част ном случае. Доказано, что замораживание переходной характери стики в достаточно малой окрестности t дает лучшие результа ты практически при любом виде переменного коэффициента k(t) и при любом виде входного сигнала х . Последнее особенно важно, так как фактически сигнала на входе эвена мы не знаем.
Теперь проиллюстрируем возможности метода замороженных ре акций на примерах замкнутых систем.
Пример 13 .I . Требуетоя найти переходную характеристику системы, описываемой уравнением
dZy dy
Этим уравнением в
окрестности
t r = О может быть описана
система стабилизации
центра масс
летательного аппарата.
На рис.13.8 показана схема рассматриваемой системы. Схема включает одно нестационарное звено с линейно изменяющимся ко эффициентом передачи.
Положим:
к0 = 0,0008}
/<( = 0,008 сек;
а= 15 */сек^; 6 =
= 2,33 I /сек^.
Выбирая в
качестве типового
сигнала единичную
отупенчатую функцию, находим 9ПФ нестационарного звена в окрест ности t = 0:
г , , . , , . !•,{(!5 + 2.331)Ш)} _
15/)+2,33
--------- Ц Щ
р
Рис.13.8. Структурная схема к примеру 13.I
Используя полученную ЭПФ как обычную передаточную функцию, на основании рис.13.8 получим
на вычислительной машине. Для сравнения приведен также график
переходной характеристики
полученный путем замораживания
коэффициента в момент
£Л =
0,
т . е . принималось
ktt) - а
=15.
Пример 13.2. Вернемоя к
системе*
раоомотренной ранее
[уравнение
(13.10)] и
положим
ait)= I
- I , 5 e ’,,5t .
Системе
соответствует
структурная
схема,
показанная
на
рис.13.10. Для этой оиотемы было показано, что метод замора живания коэффициентов дает неверный результат.
Если разорвать цепь в точке А (рис.13.10), то на входе нестационарного звена будет действовать ступенчатый сигнал. Примем его в качеотве типового. Определим ЭПФ нестационарного звена в окрестности t r = 0.
L ( (/ - /,5 e‘l5t)'/(t)}
-015/9+/,5
Щ Р’°' ■----------L{ Н О }
- - P IT
(1 3 -25>
Испольэуя функцию W ( р, 0 ) как обычную передаточную функцию, на основании схемы рис.13.10 получим функцию веса системы:
Для сраввеняя здесь же показан характер весовой функции Юзк (t, 0 ) , получаемый путей замораживания коэффициента.
Проанализируем овойотва ЭПФ (13.25) при t — 0 и t —<о.
W(p,0)=
(t —“ )
W(p,0) = -0,5.
р-^аоtf-0)
Следовательно, полученная передаточная функция точно отра жает овойства исходного нестационарного звена при предельных значениях времени.
Примеры 13.I и 13.2 иллюстрируют технику применения мето да замороженных реакций и его возможности. Ив примеров видно,
Рис.13 .I I . Графики в примеру 13.2
что замораживание реакций (на ступенчатый входной оигнал или сигнал другого вида) позволяет получить Оолее высокую точность, чем замораживание коэффициентов, особенно в начальной части процесса. Точность решения может быть увеличена путем после довательных приближений.
§ 13.2. ИМПУЛЬСНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Импульсной автоматической системой называется система, ра бота которой овязана с воздействием, передачей и преобразова нием последовательностей импульоов.
Импульсное управление применяется:
а) в системах, принцип действия которых предусматривает передачу или преобразование оигналов в форме импульоов. К ним отнооятоя, например, радиолокационные автоматические оистемы ■ системы о цифровыми вычислительными машинами;
б) в оиотемах, которые по овоей природе являютоя непрерыв ными, если импульсное управление приводит к повышению точно сти, запаса уотойчивооти, помехозащищенности или других каче ственных показателей.
I . Пропеоо квантования по времени
Квантование непрерывного оигнала по времени (прерывание) явхяетоя опоообом превращения непрерывного оигнала в последо вательность импульсов, чаще воего равноотстоящих друг от дру га . Осуществляется оно специальным устройством - и м п у л ь о - я н н э л е м е н т о м (ИЭ). Простейшим импульсным злеиентом являетоя клич (рио.13.12), замыкашщийоя периодически с периодом Тд на время Т«т0. На выходе такого импульоного
Рно.13.12. Проотейиий импульоный элемент
элемента образуется последовательность коротких импульоов, огибающая которых в точнооти соответствует квантуемому не прерывному сигналу. Интервал между двумя оооедними импульса ми Тд называется п е р и о д о м к в а н т о в а н и я (периодом прерывания).
Принципиальная схема нмпульоного элемента другого типа изображена на рис.13.13,а .
Стрелка вноокочувотвительного гальванометра Г о помощью эксцентрика Э и падающей дужки ПД периодически на короткий промежуток времени прижимается к поверхности потенциометра П.
Э & ) “
г у — — *
Illlllllllllip Н1111Ш
"W
ГГ1
Рио.13.13. Импульсный элемент
Рис.13.14.Импульсный элемент
с амплитудной модуляцией
с широтно-импульоной модуляцией
На выходе такого устройства появляется последовательность импульоов напряжения, амплитуда которых эависит от отклонения стрелки (рио.13.13,б).
6 импульоном элементе, принципиальная охема которого изо бражена па рио.13.14,а, осуществляется так называемая широт но-импульсная модуляция. Здесь падающая дужка имеет скошен ную форму, а потенциометр заменен двумя контактными пластина ми. На выходе такого элемента также обраэуетоя последова тельность равноотстоящих импульсов напряжения, но в завнонмооти от угла отклонения стрелки изменяется не амплитуда, а ширина импульоов (рис.13.14,б).
Импульоные элементы этого типа в автоматических оиотемах применяются реже и мы их в дальнейшем рассматривать не будем.
x t t )
Во многих олучаях время замкнутого оостояния импульсного элемента т мало по сравнению о постоянными времени оистомы. Поэтому реальные импульоы, имеющие конечную длительность Т , можно уоловно заменить идеальными мгновенными импульсами (см. § 7 . 2 ), площадь которых равна соответствующему значению ампли
туды непрерывной величины на входе импульоного элемен та (рио.13Л 5,б). Обозначим выходную величину импульо ного элемента (последова тельность идеальных импуль-
оов) х * (t ) . Здесь и в даль нейшем знак (* ) обозначает функцию, квантованную по времени, функция x*U) мо жет быть определена как про изведение
r
t
5Та t
То
ггв :
т
6)
*(ъ-зт„)
1.0
270 ЗТ0 ЦТ„ 5Т0 Ъ
2*(t) = x U ) f i T U) , (13.26)
'о
где х ( t ) - непрерывная функция, 6Т( t ) - последо вательности мгновенных еди ничных импульоов, т .е . им пульсов, площади которых равны единице (рис.13.15,в ). Эта последовательность может быть записана в следующей форме:
