книги / Основы автоматики
..pdf
|
|
X*(t) = H t ) 2 |
bit-nT.) |
|
(13.28) |
||
|
|
|
л=о |
u |
|
|
|
Функция |
6 ( |
t - n TQ) равна |
нулю везде, |
кроне |
иоментов |
||
времени t =пТ0 . Поэтому выражение |
(13.28) |
можно записать |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
X*lt)=2 Х(ПТ. )6ипТ), |
(13.29) |
||||
|
|
|
п=о |
и |
0 |
|
|
где х ( пТд |
) - |
значения функции |
х ( t ) в моменты времени t = |
||||
л Т0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование по Лапласу девой и правой частей выражения |
|||||||
(13.29) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
лТ |
|
|
|
L{x*(t)} = |
Х*(/»= 2 х(пТ0) е " ар |
(13.30) |
||||
Иэ уравнения (13.30) видно, что |
* |
представляет оо- |
|||||
X (р) |
|||||||
бой бесконечный ряд по е |
с которым, конечно, трудно опе |
||||||
рировать. Поэтому имеет |
смысл сделать подстановку |
|
|||||
|
|
|
z = e pT° |
|
|
(13.31) |
|
и уравнение |
(13.30) записать в виде |
|
|
|
|||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
X(nT0)zn |
|
(13.32) |
||
Математическая операция, определяемая уравнением (13.32), известна в литературе под названием z -преобразования, факти чески же г -преобразование представляет ообой один из вариан тов преобразования Лапласа для непрерывных функций
оо
Х(р) =j x(t)e~pt i t
о
Действительно, если в выражении (13.33) произвести заме
ну t =пТд , |
а интеграл заменить бесконечней |
суммой, |
полу |
||
чим выражение о точностью до постоянного множителя Т |
, сов |
||||
падающее о (13.32). Позтому |
|
|
|||
|
llm |
Г |
X (z) = llm Т. X* (ер7°) « X(р) |
(13.34) |
|
|
'„-о |
0 |
Т<Г° |
|
|
Свойотва |
z -преобразования определятся его |
теоремами, |
|||
которые, естественно, вытекают из теорем преобразования Лаплаоа. Приведем важнейшее из них.
|
1. Теорема линейности |
|
|
|
|
|
|
|
Z {ai(t)} = a X (z ); |
(13 |
.35) |
||
|
z [ a x f (f)+ b 22U)} = aX ?(z)+bX2 (z), |
(13 |
.36) |
|||
где |
Z - символ операции |
z -преобразования; |
|
|
||
а и Ь - постоянные величины. |
|
|
|
|||
|
Соотношения (13.35) |
и (13.36) оледуют из определения |
|
|||
г -преобразования. |
|
|
|
|
|
|
|
2. Теорема о конечном значении |
|
|
|
||
|
Цш х(лТ )= Urn ^ |
X (z) |
(13.37) |
|||
|
П -ш |
“ |
В — I |
£ |
|
|
аналогична одноименной теореме преобразования Лаплаоа |
|
|||||
|
llm x ( t) = llm рХ Ip) |
(13.38) |
||||
p—o'
исовпадает с ней в пределе при TQ-*■0 .
3. |
Теорема об умножении в комплексной облаоти (теорема |
||||
свертывания) |
|
|
|
|
|
Z |
h? o XI [(n- /<)To]X2 ^ 7'o) • = X,(Z)X2 (Z), |
(13.39) |
|||
также аналогична |
одноименной теореме |
преобразования |
Лаплаоа |
||
|
L |
^ x ^ t - D x ^ d i |
- |
X, {р)Хг (р) |
|
|
|
О |
j |
|
|
и переходит |
в нее в пределе при |
TQ |
0 . |
|
|
3. Импульсные системы и их передаточные Згтнкпии
Импульоная оистема представляет собой соединение и»1ПУЛЬ0_ ного элемента и некоторой непрерывной чаоти сиотеыы, оботояцей иа усилительных, исполнительных и других алементов. Об*1480 иеж~ ду импульоным алементон и непрерывной чаотьв вклответов 1ак называемый экстраполирующий элемент (экотраполятор), в вадачУ
x*(t) |
£,(Ъ) |
/ < |
" \ \ |
/\
/\
V |
1 |
- |
г |
Т0 2Т0 ЗТд 4Т0 |
5Т0 Ь о |
Тд 2Т0 ЗТд кТ0 |
5Тв Ь |
Рис.13.16.Сигнал на выходе экотраполятора нулевого порядка
которого входит восстановить соответствующий непрерывный сиг нал из последовательности коротких импульсов. Простейшим и наи более распространенным типом экотраполятора являетоя экстраполятор нулевого порядка (фиксатор), запоминающий амплитуду по ступившего на него импульса до прихода следующего импульса (рис.13.16). В дальнейшем мы будем рассматривать именно этот тип экотраполятора.
Для определения передаточной функции экотраполятора на его вход подадим единичную импульсную функцию х* ( t ) = 6 ( f ) . В результате на выходе образуется прямоугольный импульс длитель ностью TQ (рис.13 .16,б ), который можно представить в виде сум мы двух ступенчатых функций:
x , ( t ) = H t ) - l ( t - T 0). |
(13.41) |
||
Преобразование Лапласа от входной величины |
|
||
Х*(р) = i.{6(f )| = I |
(13.42) |
||
и от выходной (13.41) |
|
|
|
X, (p) = L[l(t)-nt-T0)J |
(13.43) |
||
Передаточная функция экстраполятора |
|
||
ш |
1-е' V |
(13.44) |
|
У,(/»>- Х > |
Р |
||
|
|||
Передаточную функцию экстраполятора (13.44) в дальнейшем будем относить к передаточной функции непрерывной части си стемы.
Импульсные системы бывают разомкнутыми и замкнутыми. Не которые наиболее распространенные варианты отруктурных схем приведены в табл.13.2.
|
Определим выходную величину |
у ( t ) разомкнутой импульсной |
||||||||
системы |
(табл.1 3 .2 ,1 ). Несмотря |
на то, |
что |
t /(f |
) |
- |
непрерыв |
|||
ная функция времени, мы будем определять только ее дискрет |
||||||||||
ные значения в моменты времени |
t = О, Г0, 2Тд1.. |
, |
т . е . |
функ- |
||||||
Цию |
у ( п Т о ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На вход непрерывной части оиотеыы с передаточной функцией |
|||||||||
W (p |
) поступает последовательность импульсов, |
площади кото |
||||||||
рых соответственно равны х ( 0 ) , |
х(Тд), |
x (2 7 fl) . . . |
Реакция |
|||||||
непрерывной части сиотемы на один из этих импульсов легко |
опре |
|||||||||
деляется |
с помощью функции веса |
(си.§ |
7 .2 ). Так, |
реакция |
на |
|||||
отдельно |
взятый импульс, поступающий |
в |
момент |
t |
= 0, равна |
|||||
|
|
ylt) = X(0) u>(t) |
, |
|
|
|
|
|
||
где |
w(t |
) - функция веса непрерывной части |
системы. |
|
||||||
Реакция |
на отдельно взятий |
импульс, |
поступающий в момент |
|
t = Тд , равна |
|
|
|
|
|
y U- T 0)=XlT0) w( t - T0). |
.46) |
||
|
|
|
(13 |
|
Поэтому при |
подаче на вход непрерывной части системы последо |
|||
вательности |
импульсов выходная |
величина |
у (nTQ ) может |
быть |
получена суммированием |
реакций системы на отдельные импульсы |
от момента времени t ь |
0 до момента времени t s nTg(рис.13 .17). |
Согласно рио.13.17 |
|
i/(0) = 1(0) |
ш (0); |
у[Т0)=х{0)ъ)Я0) + х Я 0)\О(0)
y(2To)=x№ w aT0)+x(T0)wao)+x(ZTo)w(0)
или в общем случае
у(л Т0)= 2 х (ктв) ш [(п- к) |
(13.47) |
Определим z -преобразование от левой и правой частей вы ражения (13.47), используя для этой цели теорему об умножении в комплексной области:
|
|
Y(Z) = X(Z)W(Z), |
(13.48) |
||
где X(z)= Zjxctjj |
, Y(z) = Z{(jit)) |
|
|
||
Функция W ( Z ) по аналогии с непрерывными системами назы |
|||||
вается |
и м п у л ь с н о й |
п е р е д а т о ч н о й |
ф у н к |
||
ц и е й |
р а з о м к н у т о й |
с и с т е м ы . |
|
||
Из |
основного |
соотношения |
(13.48) можно найти импульсные |
||
передаточные функции для различных структурных схем импульс ных систем, приведенных в табл.13.2. Из этой таблицы, в част ности, следует, что импульсная передаточная функция последо вательно соединенных непрерывных звеньев, не разделенных им пульсным элементом (табл.1 3 .2 ,2 ), не равна произведении им пульсных передаточных функций отдельных звеньев, а равна z -пре образованию от произведения их обычных передаточных функций.
В этом можно убедитьоя на простом примере.
Пример 13.3. Пусть в импульсной системе (табл.13.2,2)
Так как экотраполятор являетоя непрерывным элементом и вклю чается между импульсным элементом и непрерывной яаотью оиотемы, то согласно рис.13.16, табл.13.2,2 и выражении (13.44) импульоная передаточная функция разомкнутой системы
w(z>=z {w5 (/))W(^)| = |
P |
W (p) |
(13.49) |
|
|
|
Но по определению z -преобразования ePT0 = Z . Поэтому
(13.50)
Пример 13.4. Определить импульсные передаточные функции системы (табл.13.2,5) с экстраполятором, еоли ^(р) = ~ .
Согласно выражению (13.50) и табл.13.2,2 получим импульс ную передаточную функцию разомкнутой сиотемн
W(z) = z Z f w 4>j - r z |
кТ0 |
(13.51) |
г-1 |
Импульоная передаточная функция замкнутой оиотемы равна (ом.табл.13.2,5)
л . , - |
W(z> = |
кТ° |
(13.52) |
Ф12) |
/+W (Z) |
Ъ + кТ0-14 |
|
4. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛТ.ОНМТ систем
Рассмотрим замкнутую импульсную систему (табл .13 .2,5), для которой
|
Ф(Н)= |
V(z) _ |
В(z) |
(13.53) |
|
|
/+W(z) |
Dll) ’ |
|||
где W( Е ) = |
6(Е) |
- импульоная передаточная функция разомк- |
|||
нутой оиотемы, |
от |
|
|
|
|
z = е |
. |
|
|
|
|
Как извеотно (см.главу IX), для уотойчивооти линейной |
|||||
автоматической |
системы необходимо и достаточно, |
чтобы вое |
|||
корни характеристического уравнения (9 .7) р , pz , , рп имели отрицательные вецеотвеннне чаоти.
Однако при проверке выполнения уоловий устойчивости с поыоцьв критерия Гурвица или критерия Михайлова вотречаютоя труд ности, связанные о тем, что характеристическое уравнение им пульсной системы являетоя трансцендентным от р . Исследова ние устойчивости упрощаетоя, еоли рассматривать раополохение
корней уравнения |
не |
в плоокооти р |
(как это делалось в гла |
||
ве IX ), а в плоскости Z . Для этого отобразим левую полуплос |
|||||
кость р (рио.13.18) |
на плоскооть z |
, |
учитывая, |
что г =ерТ° . |
|
На мнимой оси р |
-плоскости р =усо |
и, следовательно, |
|||
|
2= е'ШТ°= COBU)T0+^BLn(uT0 |
(13.54) |
|||
При изменении |
о |
от 0 до 4 ^ |
ъ изменяется |
вдоль окруж- |
|
|
|
'о |
|
|
|
ности единичного радиуса (рис.13.18). Таким обраэом, мнимая ось плоокооти р отобрахаетоя в окрухнооть единичного радиуоа
Рис.13.18. |
Отобрахение |
плоскости р на плоскости |
z и ь} |
|
на плоокооти |
Z , а |
левая |
полуплоокооть р - в круг |
единичного |
радиуса на плоокостн |
Z . |
Поэтому для уотойчивооти |
замкнутой |
|
омстемы необходимо и достаточно, чтобы вое корни характери стического уравнения импульсной оистемы D ( Z ) = 0 z;,z2.......Zn лежали внутри круга единичного радиуса плоскости z .
Но проверка расположения корней внутри круга единичного радиуоа не может быть произведена с помощью известных нам кри териев Гурвица и Михайлова. Применяемый иногда для этой цели критерий Шур-Кона слишком сложен даже применительно к систе мам невысокого порядка. Поэтому мы вновь отобразим круг еди ничного радиуса, плоскости Z на левую половину некоторой вспо
могательной плоокооти ш (рис.13.18) с помощью преобразования, иэвеотного в математике под названием билинейного: