книги / Основы автоматики
..pdfлить амплитуду А |
и чаототу Q Периодического реиения в |
|
замкнутой нелинейной системе. Если хе в результате ремеля |
||
уравнелй (12.66) |
мы |
не получим положительных вещественных |
значений для А |
и Q |
, то в нелинейной оистеме нет периодиче |
ского решения и автоколебания отсутствуют.
Предположим, что в результате репеля уравнений (12.66) мы нашли амплитуду А и чаототу Q периодического ревеню
• X = A s in Q t |
(12.67) |
Однако это решение не обязательно соответствует автоколебалл. Автоколебаля - ню устойчивые периодичеоле колеб ан и . Для определеля устойчивости найденного периоди ческого ревеню (12.67) поотупл следующим образом. Дадим найденной из уравнелй (12.66)
амплитуде А положительное приращеле ДА и найдем выражения
X (0 ,А + ДД);
Y (С1, А+ Д А)
(12.68)
При атом кривая Михайлова, которая при выполнении условий (12.66) проходла черев начало коордлат (рис.12.26), отклонится от
него в положение I и л 2. Согласно критерию Михайлова для ли нейных систем (см.§ 9.3) положение I ооответотвует устойчивой
сиотеме. |
Колебания в этом случае будут затухать и амплитуда |
|
А + Д А |
возвратится к своему прежнему значению А . Если же |
|
при положительном приращении амплитуды ДА |
кривая Михайло |
|
ва отклонится в положение 2, то система отанет неуотойчивой и амплитуда будет продолжать расти. Следовательно, д л устойчи вости непериодического режима необходимо, чтобы кривая Михай лова отклонялась в положение I при положительном приращении
амплитуды |
ДА > 0 |
и в |
положение 2 при отрицательном прира |
|
щении амплитуды |
ДА ^ 0 |
. Иными словами, периодичеокое реше |
||
ние устойчиво и |
А |
и Q |
являются амплитудой и частотой авто- |
|
колебаний, |
если |
|
|
|
|
|
|
Х ( а , Д + Д Д ) < 0 / |
|
X ( а , А - Д А ) > 0 ,
или
Y (Q,/l +ДД) >0 ,
У(С2,Д-Д/1)<0 . |
(12.70) |
|
Пример 12,4. Исследуем устойчивость состояния равновеоия электромеханической следящей системы с релейным усилителен,
Рис.12.27. Схема оистемы к примеру 12.4
схема которой изображена на рио.12.27. На схеме обозначено: ДР - датчик угла рассогласования, HI - рабочий механизм, Р - редуктор, Д - двигатель, ТГ - тахогенератор, У - усилитель, РУ - релейный уоилитель (нелинейное звено). Б этом примере мы ограничимся случаем, когда местная обратная овязь по напряже нно тахогенератора отсутствует ( итг = 0). Структурная схема
Рис.12.28. Структурная схема системы к примеру 12.4
системы изображена на рио.12.28 |
. Численные |
значения |
параметров |
|||
системы: k, = I |
в/град =57,3 в/рад;к2=2,5; |
к3=5,73 |
рад/в*оек; |
|||
= 0,001; |
Г |
= Тг = 0,05 |
сек. Параметры |
нелинейного звена |
||
(рис.12.29): |
Ь |
= 0,25 в |
С = |
ПО в . |
|
|
Согласно структурной охеме передаточная функция линейной чаоти оиотемы
|
|
|
WJI(Р)= p(Ttp+f){Tzp+1) |
» |
(12.71) |
|
где к = |
к |
|
к3 к^ = 0,82 1/сек |
- коэффициент передачи |
||
линейной части |
системы. |
|
|
|
||
Передаточная |
функция нелинейного |
эвена |
(12.44) |
в данном |
||
олучае имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
I----- n |
WH(p,a)=<jf(a), |
(12.72) |
где q (а) = |
у / - -^г |
(см .табл.12.2). |
|
Характеристический |
полином гармонически линеаризованной |
||
замкнутой системы, ооответствупций характеристическому уравне нию (12 .65), имеет вид
J}(pt a) = r(r2p3 +(rf+r2)p4p+/«?(a). |
(12.73) |
Для отыокавия периодического решения подставим в полином р = j ш , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их
нулю: |
|
|
|
X(со,а) = к ^(а)-(Г, + Т2)и)г =0 ; |
|
||
У(ш,а)= |
|
(12.74) |
|
Тг ш2 ) = 0 . |
|
||
Из второго уравнения (12.74) сразу определяем частоту пе |
|||
риодического решения |
|
|
|
Q = _1___ |
/ |
= 20 1/сек . |
(12.75) |
] / т ^ |
1/005* |
|
|
Подставим это значение в первое уравнение (12.74) и найдем |
|||
выражение, связывающее амплитуду периодического решения |
а = А |
||
с параметрами системы |
|
т, +т2 |
|
д ( Д ) = _4С. |
|
(12.76) |
|
|
kT,Tz |
||
ЯД |
|
|
|
или после подстановки числовых значений
4-??0 ЯД
|
|
Решение 810го уравнения дает два значе |
|||||
из |
|
ния амплитуды: |
Af = 0,25? в , |
Д2= 2,86 в. |
|||
|
Исследуем устойчивость найденных пери |
||||||
-b |
|
одических решений для переменной на входе |
|||||
|
нелинейного эвена: |
|
|
||||
Т о |
г |
|
иг = |
0 , 2 |
5 |
7 s i201n |
|
|
|
|
az = 2,86 sin 201 |
(12.77) |
|||
|
|
|
|
||||
Рис.12.29.Сгатиче- |
Для этого дадим амплитуде Л, |
некоторое |
|||||
релейного^силителя положительное |
приращение ДЛ, |
, например |
|||||
к примеру 12.4 |
ДА( |
= 0,003 |
в , |
и |
вычислим по первому из |
||
|
|
уравнений (12.74) |
|
X ( Q , Д7 + ДД{ ) , при |
|||
этом мнимая часть Y ( ш , а ) не зависит от амплитуды. В ре |
|||||||
зультате получим |
|
|
|
|
|
|
|
X |
( Q , Л, + Д А , ) = |
0,82 ^ ( 0 , 2 6 ) - 0 , / - 2 0 2= / 0 7 > 0 . |
|||||
Аналогично, |
приняв |
ДД2 = 0,04 в , |
получим |
|
|||
X(Q,A2+ д д 2) = 0,82 2 ( 2 , 9 ) - О,/2 |
20Z = -0,05<0 |
||||||
В соответствии с условием (12.69) первое из периодических решений (12 .77), имеющее амплитуду Д7= 0,257, является не устойчивым, а второе - уотойчивым. Таким образом, в оиотеме устанавливаются автоколебания о амплитудой Д2= 2,86 в и часто той Q= 20 1/оек.
5. Применение критерия Найквиста к расчету автоколебаний
При использовании критерия Найквиста колебательной границе устойчивости соответствует прохождение амплитудно-фазовой ха рактеристики разомкнутой оиотемы через точку с координатами
( -1 , j 0). Для гармонически линеаризованной оистемы при этом должно выполняться уоловие
W |
а)=-1, |
(12.78) |
где W (juj , а ) получаетоя И8 передаточной функции (12.64) в результате замены p - j u . Условие (12.78) можно записать в виде
WJ,(y u j)= - |
/ |
(12.79) |
|
WHl;w ,o) |
|||
|
|||
Уравнение (12.79) будем решать |
графически. Для атого по |
||
строим отдельно амплитудно-фазовую характеристику линейной ча сти оистемы и обратную амплитудно-фазовую характеристику нели нейного звена, взятую со знаком нинуо:
|
|
|
|
|
-Z(a,cu) = - |
I |
(12.80) |
||
|
|
|
|
|
W., |
||||
|
|
|
|
|
|
|
•н Цш,а) |
|
|
|
Во многих олучаях характеристика (12.80) не завиоит от ча |
||||||||
стоты |
со , |
т .е . |
-Z (a ,iu )= -Z ia V В |
точках пересечения |
годогра |
||||
фов Wj, (ju)) и -Z(a) (рио. 12.3 0) |
|
|
|||||||
выполняется |
равенство |
(12.79) |
|
|
|||||
и, |
следовательно, зти |
точки |
|
|
|||||
определяют |
периодические |
ре |
|
|
|||||
шения. Частота |
периодическо |
|
|
||||||
го ремения |
Q |
определяется |
ш=0 Re |
||||||
по |
отметкам |
текущей частоты |
|||||||
|
|
||||||||
на |
годографе |
|
а |
ам |
|
|
|||
плитуда периодического |
реше |
|
|
||||||
ния |
Д-по отметкам текущей ам |
|
|
||||||
плитуды на |
годографе —Z( а ) . |
|
|
||||||
Если точек |
пересечения |
не |
|
|
|||||
существует, |
то |
периодиче |
Рис.12.30.Годографы линейной части |
||||||
ское |
решение отсутствует. |
системы и нелинейного |
звена |
||||||
Для |
определения устойчивости |
|
|
||||||
периодического режима поотупим следующим образом. Дадим ампли
туде |
Д |
малое положительное |
приращение ДД |
. При этом мы сдви |
||
немся |
по годографу |
- Z( a ) |
в оторону увеличения амплитуд (для |
|||
случая, |
изображенного на рис.12.30, - вниз). При этом нодуль |
|||||
Z ( а |
) |
увеличится, |
а модуль |
WH( 4 ) |
уменьшится и равенство |
|
(12.78) заменится на |
неравенство |
|
|
|||
|
|
|
W„ (</w)WH( a ) < - / |
(12.81) |
||
т .е . характеристика |
W ( Jou |
, а ) не |
будет |
охватывать точку |
||
( - I t(/ 0 ) . Пусть в знаменателе передаточной |
функции отсутствуют |
|||||
корни с |
положительной вещественной частью. Тогда неравенство |
|||||
(12.81) |
свидетельствует об устойчивости замкнутой системы,!.е. |
|||||
процессы в ней будут затухающими. Это приведет к уменьшению
амплитуды от значения |
Д |
+ ДД до прежнего |
значения А . |
|
Поэтому для |
устойчивости периодического решения требуетоя, |
|||
чтобы амплитудно-фазовая |
характеристика |
( j u ) охватывала |
||
часть годографа |
- Z ( a |
), |
соответствующую меньшим амплитудам. |
|
Пример 12.5. Исследуем следящую систему, рассмотренную в примере 12.4, с помощью критерия Найквиота.
По передаточной функции (12.71) определяем частотную пере даточную функцию линейной части сиотемы
|
У л ^ 10) - |
</iu(/+ TI^cu)(/+T2ja>) ’ |
(12.82) |
|
|
|
|||
ее |
модульl |
|
|
|
|
lW-H |
Ш|/(/+ T)ZUJz)(/ + T2Zш 2)' |
(12.83) |
|
|
|
|||
и фазу |
|
|
|
|
|
(oD)= —S0° —arctg ш7( - |
circt^[ UJ Т^ |
(12.84) |
|
|
|
|
|
|
и |
отроим годограф WJ1( (ja) |
) (рис.12.31). Для построения годо |
||
графа - Z ( a ) находим |
/ _ |
31а2 |
|
|
|
___ |
|
||
|
W„(a) |
|
4с |
|