книги / Основы автоматики
..pdfгде С. и D. - коэффициенты Фурье.
В тех случаях, когда отатнчеокая характеристика нелиней ного звена симметрична относительно начала координат, постоян
ная |
ооотавляющая Сд = О. В настоящем параграфе предполагается, |
|
что |
это уоловие |
выполняется. |
|
Остановимся |
более подробно на выражении (12 .38). Из этого |
выражения оледует, что оигнал на выходе нелинейного звена пред ставляет ообой оумму гармоничеоких составляющих, частоты ко
торых равны |
частоте и) входного |
сигнала (12 .35), удвоенной |
частоте 2(и |
, утроенной чаототе |
3<о и т .д . В основе метода |
гармонического баланса лежит предположение о том, что первая
гармоника, имеющая чаототу входного сигнала |
ш |
, будет суще |
|||
ственно преобладать над воеми высшими гармониками. |
Иными сло |
||||
вами, предполагается, что высшие гармоники, имеющие чаототу |
|||||
2о) , |
Зю и т . д . , оказывают незначительное |
влияние |
на динами |
||
ку |
замкнутой нелинейной системы. Это предположение основывает |
||||
ся |
на |
следующих двух предпосылках. |
|
|
|
|
I . |
Амплитуды выоших гармоник ( Сг , |
Ъг , |
С3 , Ъ3 и т .д .) |
|
обычно (но не воегда) существенно меньше амплитуд основной гар моники ( С( я ^ ) . В частности, это видно на примере рно.1225, где амплитуда первой гармоники значительно выше амплитуд треть
ей, пятой |
и т .д . гармоник |
(они находятся в соотношении I ; i ; i |
|
и т . д . ) . |
|
3 |
5 |
2. |
Линейная чаоть |
сиотемы обычно хорошо пропускает |
сигна |
лы низкой частоты и подавляет (т . е . пропускает оо значительным ослаблением) сигналы высоких чаотот. Это овойство линейной
части системы называется |
с в о й с т в о м |
ф и л ь т р а . |
С учетом этих двух предпосылок оигнал на выходе нелиней |
||
ного звена при отсутствии |
постоянной составляющей может быть |
|
приближенно представлен в виде |
|
|
у= С( sin ш t + D( cos си t |
(12.39) |
|
Заметим еще раз, что высшие гармоники в этом выражении от брошены отнюдь не только потому, что они, как правило, налы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход гармо
нического оигнала в общем олучае на выходе обязательно появля-
отоя высшие гармоники (ом.рис.12.23). Но если за нелинейным звеном оледует линейная часть оистемы, обладающая свойством фильтра, то зги высшие гармоники будут подавлены линейной частьо. Поэтому в выражении (12.39) высшие гармоники отброше ны как бы "авансом" в раочете на благоприятные овойотва линей ной части системы.
Коэффициенты С( и DJ , как ухе отмечалооь, предотавли ст собой коэффициенты Фурье и определяются известными форму-
|
= |
F(asiru|;, au)cosi}OsLnij>flf(|) |
, |
ij> = u jt |
|
(12.40) |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.41) |
|
|
| |
F(aslnij), a u cosijj) cosij)dij», |
ф = ш£ |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(12.35) и (12.36) |
||
|
Воли принять во внимание, что |
из |
равенотв |
||||||||
|
|
|
|
sin ш i = — |
coswi - |
рх |
|
|
|||
|
|
|
|
аш 9 |
|
|
|||||
то выражение |
(12.39) можно запиоать в |
виде |
|
|
|||||||
|
|
|
|
</ = |
С, |
|
|
|
|
|
(12.42) |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = q(a)x + |
|
рх |
, |
|
|
(12.43) |
|
где |
|
С, |
q (а) = |
, |
D, |
|
|
|
|
||
<jf(a) = ^ - , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, при выполнении указанных выше уоловий не |
||||||||||
линейное уравнение (12.34) заменяется уравнением |
(12 .43)«ана |
||||||||||
логичным линейному. Эта операция называется |
г а р м о н и |
||||||||||
ч е с к о й |
л и н е а р и з а ц и е й , |
а коэффициенты q (а) |
|||||||||
и |
(jf1( а ) |
- |
к о э ф ф и ц и е н т а м и |
г а р м о н и ч е |
|||||||
с к о й |
л и н е а р и з а ц и и . |
Гармоническая линеаризация |
|||||||||
нелинейности отличаетоя от обычной линеаризации |
(см.§ 2.2) |
||||||||||
тем, что |
коэффициенты |
q я |
q1 изменяются о изменением часто |
||||||||
ты ш и амплитуды а |
процессов, протекающих в |
замкнутой си |
|||||||||
стеме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К гармонически линеаризованным нелинейным автоматическим |
||||||||||
сиотемам могут |
быть применены методы исследования, овойотвен- |
||||||||||
ные теории линейных автоматических оистеы. В чаотнооти, со гласно уравнение (12.43) можно получить приближенную переда точную функцию нелинейного звена
и |
a'la) |
(12.44) |
WH(/>,a)=J- = ? ( a H ^ r /> |
||
и приближенную частотную передаточную функцию
WH(j,«u,a)=9 (a)+(/g ,(a). |
(12.45) |
Чаототная передаточная функция (12.45) определяет ампли туду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена, воли на его вход подаетоя гармоническое воздействие.
Нодуль частотной передаточной функции
Лн(ш ,а)Н У н( ^ , а ) | - - у Й 1Т ^ Г |
(12.46) |
определяет отномение амплитуды первой гармоники на выходе не линейного звена в амплитуде гармонического оигнала на его вхо де, а фаза
ц>н(ш ,а) = a rg WH(;u>,a) = arctg-|j£j- |
( 1 2 . 4 7 ) |
||
- фазовый одвиг |
первой гармоники по |
отношению к фазе |
входного |
гармоничеокого |
оигнала. |
|
|
Как видно из выражений (12.46) |
и ([2.47), амплитуда Дн(ш,а) |
||
и фаза vj*H(.ио, а) |
нелинейного звена |
завиоят в общем случае не |
|
только от частоты, но и от амплитуды входного гармоничеокого |
|||
оигнала, в чем и состоит существенное отличие гармонически ли неаризованных нелинейных оистеы от линейных.
2. |
Примеры определения коаМициентов гармонической |
|
линеаризации нелинейных звеньев |
Найдем козффициенты гармонической линеаризации у ( а ) и |
|
(jf ( а ) |
некоторых нелинейных звеньев по формулам (12.40),(12.41) |
и (12.42). В дальнейшем эти коэффициенты будут попользованы при решении конкретных задач.
Рассмотрим вначале нелинейное звено с релейной характери стикой, изображенной на рио.12.23. Если входной гармонический
Коэффициенты гарыоничеокой линеаризации для 8вена о идеаль ной релейной характеристикой получайся нэ выражений (12.52) как чаотный олучай при b = 0:
? ( а ) = 1 о " ’ ? ' W = 0 |
(12.53) |
Из выражений (12.52) и (12.53) видно, что для расомотренных нелинейностей коэффициенты гарыоничеокой линеаризации (Ца) не завиоят от чаототы ш , а коэффициенты q ' ( a ) = 0. Это - общее овойотво воех нелинейных звеньев, характеристики которых однозначны (не имеют петель гиотерезиоа) и оиыыетричны отно сительно начала координат (рис.12Л ,а , 12 .2).
R io.12.24.Сигнал на выходе релейного эвена о петлей гистерезиса
Из раоонотренных примеров легко видеть оиыол гарыоничеокой линеаризации простейших нелинейных звеньев, не инеицих петель гиотерезиоа.
В результате гарыоничеокой линеаризации нелинейное урав нение (12.34) заменяется выражением
у= (Цй)х , |
(12.54) |
которое аналогично уравнению линейного идеального безынерцион ного звена (сы.§ 7 .3 ). Отличие здесь ооотоит в том, что козффы-
циент передачи звена q ( а ) зависит от амплитуды сигнала на входе. Таким образом, нелинейная отатическая характеристика заменяется приближенной линейной, наклон которой изменяется о изменением амплитуды а (пунктирная прямая на рис.12.23,а ).
В релейном звене о петлей гиотерезиса (рио.12.24,а) пере ключения при а>Ь происходят в точках I , 2 и т . д . , в ко торых
ti= arct.g— , ^ я + агсЦ-Ь- ,
(12.55)
Поступая так же, как и в предыдуцем олучае, найдем:
? И , = й |
( ] |
I |
= |
\ f |
- F |
(12.56) |
|
|
1% |
51 |
\ |
|
|
|
|
л а |
y 0 |
c o s i p d +■| |
ccos(jidi|,) = - |
~ r |
, |
( a > 6 ) . |
( ^ .5 7 ) |
| |
/ |
л а |
|
|
|
||
Таким образом, релейное звено с петлей гистерезиса пооле гармонической линеаризации опиоывается уравнением
|
+ |
. |
<К .58) |
т . е . может быть представлено в виде |
параллельного |
соединения |
|
аналога идеального безынерционного звена с коэффициентом пе |
|||
редачи |
q{a) и идеального дифференцирующего звена |
(рио.12.24,6), |
|
что соответствует введению производной. Ввиду того, что коэф |
|||
фициент |
<jr'(ct)<0 [ см .(12.57)3 , эта |
производная |
являетоя от |
рицательной, т .е . оогласно выражению (12.47) нелинейное звено |
|
вносит отставание |
по фазе. При этоы коэффициент передачи д(а) |
и коэффициент при |
производной у 1(а) изменяются с изменением |
амплитуды колебаний входной величины. |
|
В то же время можно ооздать специальные нелинейные |
ввенья |
с опережающей петлей гистерезиса, у которых коэффициент |
q\a)>О, |
что соответствует введению положительной производной. Такие |
|
звенья создают опережение по фазе и поэтому могут быть |
пополь |
зованы для стабилизации автоматических оиотеы. |
|