книги / Основы автоматики
..pdfРис.12.34.Преобразованная отруктурная схема к примеру 12.6
Пуоть коэффициент передачи тахогенератораА5=10~2в ,оек/рад.
Тогда
-г
|
|
|
|
/О |
|
|
|
|
|
|
|
|
г = 57,3-0,001 |
= 0,175 сек. |
|
|
|||
|
Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы, |
||||||||
ооответотвущая передаточной функции (12 .88), |
и годограф - Z (а) |
||||||||
нелинейного звена |
изображены на |
|
|
|
|
||||
рио.12.35. Как видно из этого |
|
|
llm |
|
|||||
риоунка, |
введение |
ыеотной |
отри |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
цательной обратной |
связи |
приве |
|
-0,0/ |
|
|
|||
ло |
к подавление автоколебаний |
|
0 |
Яе |
|||||
в |
оистеме. |
|
|
|
-Z (a f |
(11=00 |
|||
|
Второй путь улучшения |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
свойств |
нелинейных автоматиче |
* |
/ / |
|
|
||||
ских систем овязан о изменением |
-0,0/ |
|
|||||||
статической характеристики |
нели- |
/ |
K Q *) |
|
|
||||
нейного |
звена. Установлено, |
на |
|
|
|
|
|||
пример, |
что в большинстве слу- |
Рис.12 .35^Годог^а^ы к |
при |
||||||
паев увеличение ширины зоны не чувствительности приводит к уменьшение амплитуды автоколебаний
или к полному подавление их. В частности, |
это |
видно не |
|||
рис.12.31, |
где при увеличении ширины зоны нечувствительности |
||||
Ь годограф |
нелинейного звена одвигаетоя |
влево. С другой ото- |
|||
роны, |
нелинейные звенья, статические |
характеристики которых |
|||
имеет |
петли |
гистерезиса (коэффициент |
ц'(й) |
< 0 |
), способствует |
возникновение автоколебаний.Покажем это на конкретном примере. Пример 12.7. Пусть в следящей системе, структурная схема
которой изображена на рис.12.34, вместо релейного звена о зо ной нечувствительности используетоя релейное звено с петлей гистерезиса (рис.12.36,а ) . Параметры Ь и с релейной харак теристики оставим прежними ( !) = 0,25 в , с = НО в ). Согласно
Рис.12.36. Статическая характеристика уоилителя и годографы к примеру 12.7
табл.12.2 для релейной характеристики с петлей гиотеревиса ча стотная передаточная функция нелинейного звена (12.45) может быть записана в виде
|
|
|
|
(12.89) |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(И .7 5 ) |
Годограф |
- Z ( а ) |
и амплитудно-фазовая характеристика линей |
||
ной части |
сиотемы |
(ри с.12.36,б) имепт общую точку |
пересечения |
|
при Q = |
100 I /сек |
и |
0,73 в , т . е . в замкнутой |
нелинейной |
сиотеме вновь возникают автоколебания. |
|
|||
Наоборот, нелинейные гвенья о опережающими петлями гисте |
||||
резиса ( q (й) > 0 |
) способствуют подавлению автоколебаний. |
|||
Г л а в а ХШ
ОСОБЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 13 .I . АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ I . Примеры звеньев о переменными параметрами
Ранее рассматривались стационарные сиотемы, или системы, описываемые дифференциальными уравнениями с постоянными во вре мени коэффициентами. В реальных сиотемах параметры изменяются со временем; математичеоки это выражается в том, что дифферен циальные уравнения процессов в системах содержат переменные ко эффициенты. Такие системы называют нестационарными. Приведем
примеры нестационарных звеньев. |
|
|
|
Б е з ы н е р ц и о н н о е |
н е с т а ц и о н а р н о е |
||
з в е н о . |
Зависимость выходного сигнала от входного для |
та |
|
кого звена |
имеет вид |
|
|
|
y = k(t)x |
(13 |
.1) |
Уравнением (13 .I) может описыватьоя усилитель с переменным коэффициентом передачи. Переменность может вводиться специаль но или быть обусловлена естественными факторами. Например, в случае модулятора к ( t ) изменяется периодически:
|
|
k[t) = knslnu) £ |
(13.2) |
|
|
|
и |
м |
|
Входным оигналом х |
являетоя |
напряжение u gx , |
выходным сиг |
|
налом у - |
напряжение |
u6wx . |
Чаотота выходного |
напряжения |
определяется |
чаототой |
модуляции |
шм . |
|
Естественные факторы, приводящие к изменению козффициента передачи усилителя, связаны с изменением характеристик элемен тов усилителя (электронных ламп, полупроводниковых ламп, дрос селей, конденсаторов и т . д . ) .
Другим примером звена (I3 . I) является зависимость управляю щего момента МБ газоструйных рулей баллиотичеоких ракет от угла отклонения рулей б
м6 = к6 6 |
(13.3) |
Коэффициент пропорциональности |
существенно завиоит от |
скорооти газового потока, которая меняется оо временем. Сле
довательно, |
также будет изменяться оо временем. |
|
||
Н е с т а ц и о н а р н о е |
з в е н о |
п е р в о г о |
|
|
п о р я д к а . |
Зависимость выходного сигнала |
от входного для |
||
такого звена имеет вид |
|
|
|
|
|
~ + a0(t)y = k(t)x . |
(13 |
.4) |
|
Уравнением типа (13.4) может быть описана рулевая машина. Обозначим через б угол поворота вала рулевой машины, через
iрн-управляющий ток, тогда
^ - + аш(()8 = |
(13.5) |
Козффициеит аш называют коэффициентом шарнирного момента. Он определяет величину нагрузки (противодействующего момента), которая возникает при отклонении рулей в газовом потоке и обу словлена давлением газового потока на поверхность рулей. Ко
эффициент аш завиоит |
от скорости газового потока и, |
следова |
||||
тельно, |
также |
завиоит |
от времени. Коэффициенты аш и к 6 связа |
|||
ны между |
собой просто: аш пропорционален оиле Y |
(от |
нее же |
|||
8авиоит |
/<6 ) |
и расстоянию между центром приложения |
этой силы |
|||
и осью вращения рулей (меотом крепления). |
|
|
||||
Н е с т а ц и о н а р н о е |
з в е н о 2-го |
порядка. |
||||
Зависимость выходного сигнала от входного для такого звена име ет вид:
d2у |
du |
|
^ e |
+atU)d t +a°U)y =ki t ) x - |
(I3 *6) |
Уравнением типа (13.6) может быть опиоано угловое движение баллиотичеокой ракеты. Нели буквой ф обозначить отклонение угла рыскания от программного значения, а буквой 8 - управляю щую координату (угол отклонения газовых рулей), то можно напи сать (см. § 2 .2 ):
|
dz<ji |
+ а^и)«|1 = шб |
(1 |
3.7) |
|
dt |
|
||
Коэффициент |
называют коэффициентом статической |
устой |
||
чивости. Он зависит от взаимного расположения центра давления и центра масс, которое изменяется в процессе полета. Следова-
Рио.13.1. Структурная схема. |
Рис.13.2. Структурная схема, |
соответствующая уравнению |
соответствующая уравнению (13.6) |
U3.4)
Сранее введенным параметром /<g он связан простым ооотнооением
к&= b J ,
где J - момент инерции ракеты относительно оси у Уравнением типа (13.6) цожет быть также приближенно опи-
оана система стабилизации движения центра масс баллистической ракеты (боковое движение):
где |
z - |
отклонение центра масс от программной |
траектории; |
|
a ( ,a0- |
переменные коэффициенты, зависящие от |
характеристик |
|
|
ракеты и параметров автомата стабилизации; |
|
|
f z - |
возмущение. |
|
|
Рассмотренное деление нестационарных звеньев |
в зависимости |
|
от порядка описывающего дифференциального уравнения имеет услов ный характер, так как звено любого порядка можно структурно предотавить в виде совокупности простейших звеньев: безынер ционных, интегрирующих и дифференцирующих. На рис.13.1 и 13.2 изображены структурные схемы, соответствующие уравнениям (13.4)
и (13 .6). В эти схемы входят интегрирующие и безынерДй°нные нестационарные звенья. Таким же образом в любой нестайионаР“ ной системе можно всегда выделить нестационарные звенья толь ко одного типа - типа (13Л ) . Это обстоятельство используется в дальнейшем при анализе систем с переменными параметраии*
2. Анализ нестационарных оистем
Приведенные выше примеры позволяют проиллюстрировать сле дующие качественные отличия нестационарных систем от стационарных.
Во-первых, в нестационарных системах как такового устано вившегося значения управляемой величины или ее ошибки не на блюдается. Предположим, что в системе (13.4) к моменту t переходные процес
сы закончились. Тогда для t >
|
|
. |
kit) |
„ |
|
|
|
|
|
|
a0U) |
|
|
|
|
|
|
Выражение |
для |
у |
показывает, |
что |
|
Рис.13.3 |
. Реакции |
даже в олучае x t>t |
= const |
управля |
|||
звена на |
импульсную |
емая величина |
у |
будет изменяться |
со |
||
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
временем.
Во-вторых, реакция нестационарной системы на входной сиг нал (задающее воздействие, возмущающее воздействие) зависит от момента подачи входного сигнала. Принято писать: x ( f - ^ ) , понимая под % момент подачи входного сигнала. Различным зна чениям ц будут соответствовать разные начальные значения ко эффициентов, поэтому и реакции будут различными. На рис.13.3 показаны возможные реакции звена (13.4) на импульсные функции
X, = 6Ц-5=,) И Х 2 = 6 ( t - ^ 2) .
В-третьих, для нестационарных систем теряет практический смысл понятие асимптотической устойчивости, т . е . устойчивости
при |
t — да . |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим уравнение |
(13 .6). Предположим, |
что козффициенты |
|||||
a0 ( t |
) и a( ( t ) изменялись |
произвольно, |
но, |
начиная |
с некото |
||
рого |
момента времени t |
= t |
. о н и |
стали |
постоянными и поло |
||
жительными. Следовательно, система |
будет |
уотойчива при |
t —°о |
||||
Поскольку рабочий период оистемы ограничен во времени и коэф фициенты задаются только для рабочего периода, то воегда можно
любую систему считать устойчивой асимптотически! полагая при t > t ( t H- конец рабочего периода) коэффициенты уравне ния системы постоянными и удовлетворяющими уоловиям устойчи вости.
Для нестационарных оистем практическое значение имеет по нятие технической устойчивости или устойчивости на конечном интервале времени. Система автоматического управления счита ется технически устойчивой (уотойчивой на интервале времени),
Рио.13.4. К определению технической устойчивости оистем
если |
управляемая величина |
у не превооходит заданной величины |
уп |
при 0 t < Т .Н а |
рио.13.4 показаны возможные графики |
изменения у . В случае а) система технически уотойчива, в слу чае б) - неустойчива. Из рио.13.4 видно, что оистема может быть одновременно уотойчива технически и неустойчива асимпто тически (кривая I ) , и наоборот - неустойчива технически и уотойчива асимптотически (кривая 3 ). Очевидно, что на техни ческую устойчивость будут оказывать влияние и начальные усло вия и возмущения. Поэтому для нестационарных систем важное значение имеют аналитические способы нахождения реакции да воз действие (возмущающее или задающее). По найденным реакциям можно оудить об устойчивости в приведенном смысле и качестве переходного процесса. Заметим, что понятие технической устой чивости имеет силу и для стационарных систем.
3. Метод замороженных коэффициентов
Для анализа систем с переменными параметрами важное значе ние имеет скорость изменения переменных коэффициентов. В зави симости от скорости изменения коэффициентов для исследования нестационарных систем могут применяться те или иные методы.
Принято считать переменность параметров неоуществ^нной»0СЛ* изменение параметров не приводит к заметному изменений П0Ре~
ходного продеооа в |
замкнутой |
системе. Раоомотрим нео^ациоваР" |
|||||||
нув систему, которая |
опиоываетоя уравнением |
|
|
|
|||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
а з . 9) |
|
|
|
■ ^ + %^ ) у =Х, |
|
|
|||||
|
|
причем переменный коэффициент |
a j t ) |
||||||
|
|
имеет |
следующий вид: |
|
|
||||
|
|
а0Ш= 1 -0,15 е -I.S t |
|
|
(I3.IO ) |
||||
|
|
На рис.13.5 показана его зависи |
|||||||
|
|
мость |
от времени. |
|
|
|
|||
|
|
Определим выходной сигна* </ «если |
|||||||
|
|
на вход подана единичная импульсная |
|||||||
Рио.13.5. График изме |
функция |
б (t - 0 ) |
и |
«/№)-0 |
.Други |
||||
нения коэффициента |
|
ми словами, |
нас |
интереоует |
функция |
||||
|
|
веса |
и> |
в |
окрестности £ = |
0. |
Она мо |
||
жет быть вычислена по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
- j a 0u ,d t - \ U l s e-’M)dt |
_t |
oAl_e-t,st) |
|
||||||
yTlt,0)= wTit,0)=e |
= e |
|
|
|
= e |
e |
|
|
|
На рис.13.б изображен график 4JT(£,0). |
|
|
|
||||||
Теперь определим функцию веса, |
полагая коэффициент |
а0(О |
|||||||
постоянным, равным его значение в момент подачи входного им пульса:
|
О = a ( t l | |
=0,85 |
|
||
В этом случае |
|
|t*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
- |
aBdt |
|
|
|
|
: |
0 |
-o,BSt |
|
y3^ |
= w3H^ |
=e |
|
=e |
|
График функции |
b)3H(t,0) также |
изображен на рис.13.6. |
|||
Для получения функции u)jH(t,0) было использовано |
так на |
||||
зываемое замораживание коэффициента в |
момент £ = 0. |
Из рис.13.6 |
|||
видно, что при несущественном изменении коэффициента |
|
||||
( га время переходного процеоса он Н8меняетоя на 15% - ом. рио.13.5) способ замораживания коэффициентов оказывается эф фективным.
Замораживание коэффициентов часто используется для ана лиза и оинтеза нестационарных систем. Пуоть нестационарная си стема описывается в общем случае уравнением
А |
d"'' |
d,тx |
■+ bg(t)xA I 3 .ll) |
|
ап ^ 'Л 7Г + ап-1{t)J C r + " '+4 |
t)y=bma )t i |
|||
|
||||
Рис.1 3 .6 .Точная и приближенная функции веса
Вначале выделяются характерные с какой-либо точки зрения мо
менты времени t p , |
где замораживаются коэффициенты ао, а р . . . , а л |
и b0, b j , . . . . Ьт |
. После замораживания коэффициентов для каж |
дого выбранного момента времени t мы получим свою стационарную сиотему, которая используется в дальнейпен для анализа динами ческих свойств исходной системы.
Достоинством метода замороженных коэффициентов является то, что при его использовании задача анализа и синтеза стационар ной оистемы сводитоя к более простой и хорошо изученной задаче анализа и оинтеза отационарной системы. Однако при заморажива нии коэффициентов не учитывается влияние изменения параметров во время процессов, вызванных возмущениями или начальными усло виями, на вид этих процессов. Можно привести примеры, где из менение параметров за время действия переходных процессов на
столько существенно, что замораживание коэффициентов (парамет ров) приводит к ошибочным результатам.
Рассмотрим снова систему |
(13.9) с коэффициентом |
ао( 0 - |
||||
= 1 - 1 , 5 e~’,st |
. Пусть |
нас |
интересуют овойотва |
системы в |
||
окрестности |
= 0. Заморозим коэффициент |
a0lt) |
при tr =0 : |
|||
|
a 0U) |
= - 0,5 . |
|
|
|
|
|
|
t -0 |
|
|
|
|
Тогда уравнение (13.9) получит вид |
|
|
|
|||
|
du |
0,5у = х |
|
|
(13.12) |
|
|
|
|
|
|
||
Полагая х - |
б ( t - 0) |
, |
найдем решение |
уравнения |
(13.12), |
|
т . е . веоовую функцию системы: |
|
|
|
|||
|
|
|
=е |
|
|
(13.13) |
Найденной функции веса соответствует неустойчивая система (пе реходные процессы расходятся).
Теперь определим точное выражение для веоовой функции с
учетом изменения a (О |
со временем: |
|
|
t |
{ |
|
и f ust) |
- j a (t)d t |
- j (i-i,5e',,5t)d t |
||
Wr(i,0)=e° |
= e 0 |
- e e |
(13.14) |
Веоовой функции (13.14) соответствует устойчивая система. Следовательно, реальная система с рассматриваемым переменным коэффициентом устойчива.
Границы применимости или неприменимости метода заморожен ных коэффициентов трудно строго обосновать. Лучшим средством проверки является сравнение с точным решением*однако точное решение может быть получено лишь в отдельных олучаях. Другим средством проверки справедливости использования "заморажива ния" коэффициентов являетоя моделирование и решение на цифро вых вычислительных машинах.
4. Метод замороженных реакций
Кроме замораживания коэффициентов, существуют другие спо собы "стационаризации" нестационарных систем. Еоть класс не