книги / Основы автоматики
..pdfY,(0) |
( |
|
|
Kq0 |
|
|
|
_ |
K9o |
r P , t _ |
+ |
|
< /(*)= |
|
|
|
Ы Р Г Р г ) |
|
Th ( h - P ,) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
t _______W-5_______ |
|
, |
|
|
|
W 5 |
|
|||||
+ (-//,2)[ft02(-//,2j + /] |
6 |
+ |
{-в8,в)\0,02{-88,&)+1\е |
|
||||||||
|
= 5 ( / - 1,15e |
+ Ot 15e |
|
j гр а д . |
|
|||||||
Пример 10.8. |
Решить пример 10.7 |
для |
К = 10 сек- 1 . Т - |
|
||||||||
а 0,1 сек. Корни полинома |
У3(р) = Трг+р^к=0,1р+р+10 равны |
|||||||||||
р1г= - f |
± j-Л = |
(-5 ± |
} |
8,66) |
W . |
|
|
|
||||
’ Р е ш е н и е . |
Для |
определения |
у (£ ) |
воспользуемся форму |
||||||||
лами (10.40) |
и |
|
(10.41): |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(t) |
|
= 1 + 2 |
|
if |
|
е Jtcos(coi4-<p |
|
||||
|
|
ГЯ, (Л "Яг) |
|
|||||||||
_ |
180° |
|
|
|
|
|
|
|
||||
>> = 100 град/оек; |
|
|
|
|
||||||||
где со» |
or |
|
|
|
|
|
||||||
К |
|
-0 |
|
к |
|
|
|
К |
|
10 |
|
|
Ш - Р г ) |
—с |
т(-х+}ь)лгь |
7Ууг+ Л2' Л |
0,Ы5г+8,66г 3,66=1,15 |
||||||||
|
|
|||||||||||
» - a r3 - w « |
- a r ’ ч |
к |
т |
= - (м в - « " * Ф - |
||||||||
- |
90° = - 2 7 0 ° + a rc tg у |
= - |
270°+б0°=- 210°. |
|
||||||||
Окончательно получаем |
|
|
= 1+t,1Scos(wt - 251°) e S t - |
1-1,15eSt s i n |
( со £ + 6 0 ° ) . |
2. Теоремы о начальном |
и конечном |
значениях |
Теоремы о начальном и конечном значениях позволяют просто определять начальное и конечное значения выходной координаты
звена или сиотемы. |
|
|
|
Т е о р е м а о |
н а ч а л ь н о м |
з н а ч е н и и . |
|
Вели оушеотвует предел |
l l m |
у ( £ ), то |
|
|
t — о |
. . |
(10.46) |
U m y(t) = l i m p Y ( Я7 • |
|||
* — о |
Um p — 00 |
|
|
Рис.10.14. Вещественный полно:
а) расположение одного вещественного полюса; б) переходная функция при одном вещественном полюое
Оценим влияние на переходную функцию сиотемы расположения полюсов и нулей передаточной функции замкнутой оистемы Ф ( р ) .
6 |
дальнейшем для |
простоты |
будем считать, что Ф (0) = I . |
||
О д и н в е щ е с т в е н н ы й |
п о л н о (рио.Ю .14,а). |
||||
В этом |
случае |
1 |
_ |
1 |
ol |
|
|
||||
|
1+ Тр |
~ |
т(р-р,) |
р +°1 |
|
|
|
|
|
|
(10.50) |
|
Pi = ~ |
= - |
|
f * |
|
Переходная функция такой оистемы оовпадает с переходной функцией апериодического эвена 1-го порядка о коэффициентом пе
редачи, равным единице (рис.10.14,б):^ |
|
|
|
H ( t ) = 1- e ~ r |
(10.51) |
Время переходного процеооа в оиотеме тем больше, чем ближе |
||
расположен полюс р; к мнимой оси. |
|
|
Д в а |
к о м п л е к о н о-с о п р я ж е н н ы х |
п о |
л ю с а |
(рио.10.15). При этом |
|
1+г ътр + т г р г |
~ T2( p - Pl) ( p - p 2) ’ |
|
|
|
V i |
У |
yj-DC) |
К 2 = - |
|
|
|
± i |
“Г |
|
|
Переходная |
функция такой |
оиотемы оовпадает о переходной |
|
функцией колебательного звена о коэффициентом передачи, равным
Рис.10.15. Два комплексно-сопряженных полюса:
арасположение двух конплексно-оопряженных полюоов;
б) переходная функция при двух комплексно-сопряженных
полисах
единице. Для ее нахождения воспольауеися формулой (10.42)
|
|
о |
|
H{t) —1 |
Т г \{~ |
г е |
co s (At+q>) = |
|
| (“ Г +У* ) [ - у + j А- (- f - ^Л)]| |
|
|
|
- t t |
|
|
= 7+ |
c o s ( A t + tf) = 1-e y*(cosA t + |
sin A t ) .(10.53; |
|
РД0 |
> |
_ |
|
^а Г Ч ( - Г +^ [ - У + р - ( - | Г + <ёА)]
,5Г
(10 -и ) Как и в предыдущем случае, время переходного процесса в
оиотеие тем больше, чем ближе полюоы расположены к мнимой оои. Наибольвее значение переходная функция достигает при
t = m |
4Л- = |
Л Т |
(10.55) |
|
1/й П р |
||||
|
||||
|
|
|
||
Перерегулирование в |
системе |
равно |
|
|
&о/о _ |
1+6 |
1 |
я Ь |
|
ю оЪ -е*1^ . wo°/0. |
||||
н уст |
|
1 |
(10.56) |
|
|
|
|
Переходная функция такой системы равна оумые переходной функции колебательного звена и производной от переходной функ ции колебательного эвена, умноженной на “с :
H,(t)= |
cosM+j-sin A t)+ ^ = j e l l n At ,(Ю .58) |
|
где H i t ) - переходная |
функция колебательного звена (7 .69). |
|
Добавление к Н i t ) |
функции Ъ Н1i t ) |
положительной вплоть |
до момента достижения H i t ) наибольиего |
значения увеличивает |
|
перерегулирование (рио.10.16,б). Перерегулирование в оиотеме
тем больше, |
чем ближе расположен к мнимой оси ноль q,,- - — • |
|||||||
Д в а |
|
к о н п л е к с н о - о о п р я ж е н н ы х |
и |
|||||
о д и н |
в е щ е с т в е н н ы й |
п о л ю с а |
(рис.10.17). |
|||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
{Тгрг+Ц;Тр+Щр+1) |
T2Tt(pz+2^YP^ ) ( p +jry |
(10.59) |
||||||
Pi,г |
|
. у7- М |
|
. |
1 |
(10.60) |
||
~ ~ ~ - к |
f |
|
Р3=~ у |
|||||
Добавление вещественного полюса уменьшает перерегулирова ние и увеличивает время переходного процесса. Действительно, используя формулу (10.40) для вычисления переходной функции, получаем
H(t)=1< |
|
-art |
|
|
|
|
S ln < |
^ |
|
Т‘Ц Ф г Ф г Р3\ |
||||
, и = л , , № |
® |
) ' |
|
|
Из сравнения формул |
(10.53) |
и (10.61) |
видно, что добавле |
|
ние вещественного отрицательного полюса уменьшает коэффициент при члене e~lr''sln(At+<f). Это снижает перерегулирование. Послед нее, кроме того, уменьшается за о чет появления в переходной функции члена
На рис.10 .17,б показаны графики переходной функции при раз личных значениях дополнительного вещественного полюоа. Из гра
фика видно, что приближение дополнительного полиса н веществен ной оои уменьшает перерегулирование и увеличивает время пере ходного процесоа. Если вещественный полюо к мнимой оои расположен ближе, чем пара комплексно-сопряженных полюсов, то переход ная функция в такой системе монотонная и перерегулирование рав но нулю.
Удаление вещественного полюса от мнимой оси уменьшает его влияние на переходную функцию сиотемы. Если вещественный полюо
Рис.10.17. Три полюоа:
а) расположение трех полюоов; б) переходная функция при трех полюсах
находится от мнимой оои в неоколько pas дальне, чем ближайшие к мнимой оси комплеконо-сопряженные полюоы, то составляющая
переходной функции |
1 |
~т, ватухает очень быотро |
|
тг ( Рз~Pi) |
на переходную функцию можно |
и поэтому влиянием такого полюса |
||
пренебречь.
Очевидно, что можно пренебречь и влиянием на переходную функцию системы комплексно-сопряженных полюсов, расположенных от мнимой оси в неоколько раэ дальше, чем ближайшие к мнимой оои вещественные или комплексно-оопряженные полюсы.
Вследствие малого влияния на переходную функцию системы по люоов, расположенных далеко от мнимой оои, о поведении системы в большинстве случаев можно судить по раоположению лишь ближай
ших к мнимой оси полюоов (одного-трех) и |
по одному-двум |
нулям. |
Это обстоятельство позволяет значительно |
упростить расчет САУ. |
|
Точное определение корней характеристического уравнения |
||
замкнутой сиотемы [полюоов Ф ( р) ] представляет большие |
труд |
|
ности. Поэтому часто динамичеокие свойотва онотемы оценивают
Боли систеиа имеет степень устойчивости не меньше h , то вое корни характеристического уравнения замкнутой системы на ходятся левее линии АВ (см .рис.10.18,а ).
Пусть ближайшим к мнимой оси будет вещественный корень. Составлящая переходного процесоа, соответствующая атому корню, определяется выражением
x h ( t ) = C h e ht
Будем считать, что процесс закончился, |
если |
|
|
- |
h t n |
|
(10.62) |
х н ( и = С, е |
" = Д С„. |
|
|
Величину Д обычно полагают равной 0,01 или 0,05. Из по следнего уравнения находим, что
При Д = 0,05
(10.65)
Если ближайшими к мнимой оси будет пара комплексно-сопря женных корней, то при А = 0,05
4. ^ 3_ |
(10.64) |
h ‘ |
|
Таким образом, при любых корнях по степени устойчивости можно судить о времени переходного процесса.
Определить степень устойчивости можно, не вычисляя корней характеристического полинома. Для зтого в характеристическом полиноме
|
Л ( р ) = а 0 р П+ |
Р П~+’*•+■ о п - , Р + а п |
|
|
переходят к |
новой переменной |
Z |
, связанной о р следующим об |
|
разом: |
р - |
Ъ - |
h . |
|
|
|
|||
При этом характеристический |
полином принимает вид |
|
||
Ц ( г - h)= |
а 0 ( г - h )h+ ctf ( ъ - h f +••• + ап_,{г-Ь)+ ап= |
|||
= а0 г п + А,-гп‘ + А гг ”‘ + •••+A„_,z + А п , |
(10*б5) |
|||