книги / Основы автоматики

зовый портрет системы представляет собой семейство парабол, но обращенных вершинами влево.

Таким образом, мы получили полный фазовый портрет нелиней­ ной системы. По виду фазовых траекторий можно уже судить и о характере переходного процесса. Пуоть, например, в момент вре­ мени < = 0 if (0) = О, Q (0) = QQ (точка I на фазовой плоокооти).

включается исполнительный элемент и к спутнику прикладывается стабилизирующий момент М = Мд. Изображающая точка при этом переходит на параболу 2-3. В точке 3 управляющее воздействие снимается и движение происходит по прямой 3-4 и т.д .

Как видно из рис.12.I I , изображающая точка, как и в олучае линейного закона, движется по замкнутому контуру. Это озна­ чает, что в системе уотанавливаютоя периодические колебания,

£

е

Рис.12.12. Фазовые траектории к примеру 12.I при использовании двухпозиционного релейного исполнительного уотройотва

но не синусоидальные, а более сложной формы. На это указывает форма цикла: он значительно отличается от эллипса.

рактеристика отличается от прежней тем, что моменты переключе­

соответствует верхней половине фазовой плоскости) реле пере­

плоскости полно выделить только две облаоти (для наглядности граница их показана штриховкой). В области I Ф( cj> , Q ) = +1 и фазовый портрет будет предотавлять собой семейство парабол, описываемых уравнением (12 .I I ) . В области П Ф( if , Q ) = - I и семейство парабол описывается уравнением (12.15). Прооледим эа движением изображающей точки на фазовой плоскооти. Как вид­ но из рис.12.12, она будет постепенно удаляться от начала ко­ ординат по кривой спиралевидной формы. Таким образом, при ис­ пользовании двухпоаиционного по­ ляризованного реле в системе

преимуществе трехпозиционного реле по сравнению с двухпозици­ онным с точки зрения вида пере­ ходного процесса. Но у него еоть и еще одно преимущество: при за­ коне управления, изображенном на рис.12.I ,а есть участки, где ис­

полнительные элементы выключены и рабочее тело (топливо или сжатый газ) не расходуется. Поэтому мы вновь обратимся к уси­ лителю на трехпозиционном поляризованном реле, одновременно принимая меры по улучшению процесса управления. Вначале наме­ тим пути решения згой задачи. Предположим, что нам удалось каким-то образом изменить расположение линий переключения (рис.12.11) так, как показано на рис.12.13. Тогда изображающая точка будет двигаться по кривой 1 - 2 - 3 ..., постепенно прибли­ жаясь к началу координат, т . е . в системе будет существовать затухающий колебательный процесс. Для изменения положения ли­ ний переключения будем подавать на вход релейного уонлителя дополнительный оигнал, пропорциональный угловой скорости вра­ щения спутника Q . Тогда суммарный сигнал на входе реле будет равен (рио.12.14,а)

где Т - коэффициент пропорциональности.

При наличии дополнительного сигнала реле будет срабатывать либо раньше, либо позже в зависимости от знака скорооти Q .

рий видно, что мы получили устойчивую оиотему о затухающим колебательным процессом. Процесс заканчивается в любой точке отрезка оои абсцисс - b < i f < + b .

Рис.12.14. Фазовый портрет системы к примеру 12.I

Из рассмотренных примеров видно, что фазовая плоскооть при исследовании нелинейных систем дает очень наглядное пред­ ставление о протекающих в них процессах и позволяет наметить конкретные пути по улучшению их качества.

§ 12.4. МЕТОД В.М.ПОПОВА

I . Понятие об абсолютной устойчивости

В § 12.2 были отмечены особенности нелинейных систем. В отличие от линейной системы нелинейная может иметь несколько положений равновесия: равновеоное состояние о постоянным зна­ чением регулируемой величины, равновесное состояние с периода-

ческим изменением управляемой величины при отсутствии внешних воздействий (автоколебания) и др. При этом управляемая вели­ чина может стремитьоя к положение равновесия (равновесное по­ ложение уотойчиво) при бесконечно малых на­ чальных отклонениях (устойчивость в малом), при конечных отклонениях (устойчивость в большом) и при неограниченных отклонениях (устойчивость в целом). В дальнейшем будет рассматриваться устойчивость равновеоного положения в целом.

Пуоть сиотема может быть представлена в виде, показанном на рис.12.15. В этой

охеме имеется безынерционный нелинейный элемент с характери­ стикой

то говорят, что система устой­ чива абсолютно. Следовательно,

при выполнении уоловий абсолютной устойчивости можно гаранти­ ровать устойчивость равновесного состояния, не имея точных не­ линейных зависимостей, а зная только диапазон их изменения.Это и обусловливает практичную ценнооть понятия абсолютной устой­ чивости.

Здесь логично поставить вопрос: не сводится ли задача ис­ следования абсолютной устойчивости нелинейной системы к задаче исследования линейной системы, т .е . будет ли система уотойчива

Введем обозначения:

W*(juj) = U*(u>) + jV*(tu);

Используя выражения (12.22) и (12 .23), неравенство (12.21) можно переписать в виде

Критический случай

дает в координатах V* и V* уравнение прямой линии (ее^назы­ вают прямой Попова), которая каоаетоя характеристики W (]ш)

Рио.12.18. Годографы "W\juj) неустойчивой нелинейной системы

устойчивости для системы, имеющей устойчивую линейную часть и безынерционный нелинейный элемент, характеристика которого ле­

что абсолютная уотойчивооть иохот быть достигнута при умень­ шении к.

Рио.12.19. Рулевой привод:

I - усилитель; 2 - рулевая машина; 3 - звено обратной овязи Преобразованная частотная характеристика линейной чаоти

чаотью. Критерий абсолютной устойчивости распространяется и на эти системы.

Пуоть передаточная функция линейной части имеет один ну­ левой полюс. Тогда для абсолютной устойчивости, кроне приведен­ ного уоловия, требуется, чтобы

Пример 12.3. Структурная схема системы стабилизации вра­ щательного движения баллистической ракеты изображена на рио.12.21. Управляемой величиной являетоя угол вращения Lf ,

Рис.12.21. Структурная охема системы угловой стабилизации баллистической ракеты:

I - ракета; 2 - измерительные и усилительно-преобразовательные устройства; 3 - рулевой привод

через 6 обозначен угол отклонения рулевых органов. Для упро­ щения выкладок рулевой привод представлен системой первого по­ рядка. Нелинейность F ( I ) обусловлена скоростной характеристи­ кой рулевой машины. Требуется определить, какие ограничения накладывает на параметры регулятора и привода уоловие абсолют­ ной устойчивости.

Вначале составим выражение для передаточной функции линей­ ной части и проверим выполнение уоловий (12,29). На основании рис.12.21 имеем

<юо

При условии положительности первого слагаемого левой части

неравенства (12.32) имеем

к , к , У + Т , Т ги - )

(12.33)

Поскольку правая часть неравенства (12.33) имеет конечное значение, то существует такое Л , которое обеспечивает неравен­ ство (12.32) при любом положительном kQ. Следовательно, при соблюдении (12.31) абсолютная устойчивость будет обеспечена

§ 12.5. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Рассматриваемый в этом параграфе метод является мощным средством для приближенного определения автоколебаний и устой­ чивости нелинейных автоматических систем любого порядка. Осно­ вы метода были разработаны Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым и