книги / Основы автоматики
..pdfдексом, а вниз - коэффициентами с убывающий индекоои. В случае отсутствия данного коэффициента (если индекс меньше нуля или больше п ) на его меото пишется нуль.
Критерий устойчивости формулируется в виде теоремы Гурвица. Теорема. Для устойчивости системы п -го порядка необхо
димо и достаточно, чтобы при Q0 > О все п главных определи телей, полученных из квадратной матрицы коэффициентов, были положительными:
Л, = о , > 0 ;
Д г =
а , |
|
°5 |
а о |
*2 |
а* |
0 |
а 1 |
аз |
Определители получаются из матрицы (9.18) простым отчерки ванием, как это показано штриховыми линиями.
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроне нижнего, равны нулю, последний определитель выражается через предпослед ний следующим образом:
Дл = а „ Д л. 7> 0 . |
(9.19) |
Для устойчивости системы предпоследний определитель так же должен быть положительным. Поэтому условие (9.19) сводится
к условию а п> 0 , |
т .е . |
к положительности свободного члена ха |
|||
рактеристического |
уравнения. |
|
|
||
Если последний |
определитель |
Д л равен нулю, |
а все осталь |
||
ные определители положительны, система находится на границе |
|||||
устойчивости. Как |
следует иэ выражения (9 .1 9 ), это условие |
||||
распадается |
на два: а л = 0 и |
Д л_,= 0. В § 9.1 |
было показано, |
||
что условие |
Qn= 0 соответствует апериодичеоксй |
границе устой |
|||
чивости. Второе условие |
Д л_7= 0 соответствует |
колебательной |
|||
границе устойчивости. |
|
|
|
||
Рясамотпим частные |
случаи коитепия устойчивости Гурвица. |
У р а в н е н и е |
п е р в о г о |
п о р я д к а |
|
aQp + а } = 0 . |
|
Для этого уравнения |
имеем а о =»0, |
Д (= О, > 0 .Таким об |
разом, для устойчивости сиотеыы 1-го порядка достаточно выпол нения необходимого условия устойчивости. Действительно, един
ственный корень уравнения первого порядка |
/> = - — при а о > 0 |
||
будет вещественным и отрицательным, |
если |
а , > 0 . |
|
У р а в н е н и е |
в т о р о г о |
п о р я д к а |
а0 р г+ а,р + а г - 0 .
Для этого уравнения при a Q> 0 имеем
Д, = а, » 0;
Д г = а г Д , > 0 или 0 2 ^ 0 .
Таким образом, для устойчивости сиотемы второго порядка необходимое условие устойчивости одновременно являетоя и до статочным. Апериодической границе устойчивости соответствует
равенство нулю свободного |
члена |
|
ог2 = 0, а |
колебательной |
гра |
|||||||
нице |
- равенство нулю предпоследнего |
определителя |
Д ,= |
= О |
||||||||
при |
а 0 > а и |
а г > о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У р а в н е н и е |
т р е т ь е г о |
п о р я д к а |
|
||||||||
|
|
aQp3+ a i P 2+ а гР + аз = о * |
|
|||||||||
|
Для этого |
уравнения |
при |
сг0 > |
0 |
имеем |
|
|
|
|||
|
|
|
д , = |
а , |
> |
0 |
•, |
|
|
|
|
|
|
|
о , |
а3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 = |
|
а г |
= |
а , о 2 - |
° о аз > 0'Р |
|
||||
|
|
а 0 |
|
|||||||||
|
|
А 3= аз д 2 > |
0 |
|
или |
а 3 |
> 0 . |
|
||||
|
Очевидно, |
что ус овие |
Д 2> 0 |
при |
О0> 0, |
а , > О |
|
|||||
и |
0 может выполняться лишь при |
а г > |
0 . |
|
|
|||||||
|
Следовательно, для |
устойчивости |
системы третьего порядка, |
помимо выполнения необходимого условия устойчивости (положи тельности коэффициентов), требуется еще определенное соотно шение между коэффициентами: O', <7г э'
Апсрирдичеокой границе устойчивости соответствует
а коле^тедьнрй,- Д2= |
а,СГ2- 00 аз~ °» |
|
У р а в н е н и е |
ч е т в е р т о г о |
п о р я д к а . |
Можно показать, что для устойчивости систеиы четвертого по рядка, поииыо положительности всех коэффициентов, требуется выполнение уоловия
ai ( ° г аз~ °i а± ) - аоаз ^ ° -
Критерий Гурвица позволяет быстро оценить устойчивость разомкнутой или замкнутой системы любого порядка, если коэф фициенты характеристического уравнения заданы численно. При исследовании устойчивости в общем виде уже для уравнения чет вертого порядка уоловия, связывающие коэффициенты характе ристического уравнения, становятся Слишком громоздкими.
Пример 9 .3 . Исследуем устойчивость замкнутой системы,ха рактеристическое уравнение которой (9.14)
В { р ) = |
0,02 р 3+ 0,5 р |
г + |
0 , 2 р + 3 = О |
было получено в |
примере 9 .1 . |
|
|
Соглаоно критерию Гурвица, |
для |
устойчивости системы тре |
тьего порядка, помимо положительнооти всех коэффициентов ха рактеристического уравнения (что выполняется), необходимо, чтобы произведение средних коэффициентов было больше произве дения крайних:
О,5*0,2 > 0,02*3 .
Это неравенство выполняется. Следовательно, замкнутая систе ма уотойчива.
Пример 9.4. Исследуем устойчивость электромеханической следящей оистемы (с м .р и с .I.II), передаточная функция которой
к_____________
(9.20)
Р ( т„ Р + 0 ( Тур + 1) '
Характеристическое уравнение замкнутой оистемы
Щ * Р 1 Т„Р + 0(Тур +0 + Р = Т„ Т р3ЦТу+r „ ) /> W = 0 * ( 9 .2 I )
имеет третий порядок. Необходимое условие устойчивости выпол няется. Поэтому по критерию Гурвица для уотойчивооти замкну той системы необходимо и достаточно, чтобы
|
|
|
|
Тп+Тц |
ктм ту |
|
|
|
|
|
|
|
ИДИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'у |
' м |
|
|
|
|
(9.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Условие колебательной границы уотойчивооти: к = -— + |
. |
||||||||||
Уоловие апериодической |
границы устойчивости к |
- |
|
Ту |
|
Тм |
||||||
0 в данном |
||||||||||||
олучае не |
имеет физичеокого |
омысла. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Как видно И8 неравенства |
(9 .2 2 ), инерционное |
запаздыва |
|||||||||
ние в уоилителе и двигателе неблагоприятно влияет на устой |
||||||||||||
чивость: чем больше Туили Тп при |
заданном |
к , тем |
ближе |
си |
||||||||
стема к колебательной границе уотойчивооти. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
§ 9 .3 . КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА |
|
|
|
|||||||
|
Это критерий устойчивости был сформулирован в 1936 г . |
|||||||||||
A. |
В.Михайловым |
(Всесоюзный электротехнический |
инотитут |
им. |
||||||||
B. |
И. Ленина). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно левую часть характеристического урав |
|||||||||||
нения (9 .7 ), которая представляет |
собой |
х а р а к т е р и |
||||||||||
с т и ч е с к и й |
п о л и н о м |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В (р ) |
= а 0 р п+ а, р п1+ • •• + a n- i P + |
ап- |
|
(9*25) |
|||||||
|
Подставим в этот полином чисто мнимое значение |
р |
= |
j со |
||||||||
и получим |
х а р а к т е р и с т и ч е с к и й |
|
к |
о м |
п л и о |
|||||||
|
|
|
В{}Оз) = |
X (с о ) + } Y (аэ) |
, |
|
|
( 9. 24) |
||||
где |
вещественная |
часть |
X (со) будет содержать четные |
отепеци |
||||||||
параметра |
со : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (со) = а п- ап_г<х>г+ а п-у.со*- ••• > (9.25)
а |
мнимая чаоть У (со) |
" нечетные степени |
СО: |
|
|
|
|
Y ( с о ) = |
^ л _ 7с о - а л . 3 С03+ |
а ^ с О - - - - |
(9.26) |
||
|
Воли значение |
параметра со менять непрерывно от |
0 до оо , |
|||
то |
вектор i7 (J-co ) |
своим концом опишет некоторую |
кривую |
|||
|
|
|
Т а б л и ц а |
9. 2 |
со |
0 |
О О |
Х(а>) |
о п |
оо |
Y(a)) |
0 |
оо |
Рис.9.3. Кривая Михайлова |
|
|
|
||||
(годограф), |
которая |
называется |
к р и в о й |
М и х а й л о- |
|||
в а |
(рис.9 .3 ). |
|
|
|
|
||
Практически для построения кривой Михайлова задаются раз |
|||||||
личными значениями |
параметра со и по формулам |
(9.25) и (9.26) |
|||||
вычисляют |
X |
( с о ) |
и Y (co ) . Результаты раочетов |
сводятся в |
|||
табл.3 .2 . |
|
|
|
|
|
|
|
По данным этой таблицы по точкам отроится сама кривая. |
|||||||
Теорема. |
Для устойчивости |
системы п-то порядка необхо |
|||||
димо и достаточно, |
чтобы вектор |
D ( j c o ) , описывающий кривую |
|||||
Михайлова,при изменении параметра со от 0 до |
со |
имел угол |
|||||
поворота |
|
|
против часовой отрелки. |
|
|
||
Для доказательства представим.полином (9.23) в виде про |
|||||||
изведения |
сомножителей: |
|
|
|
|||
|
|
|
В ( Р ) = о0 { р ~ р 1) { р - р г) . . . |
(/>- />„)• |
|||
Тогда |
характеристический комплеко |
|
|
DQ<o)= cr0 (^ c o -p ,)Q .c o -p 2) ...Q .c o - p J .
При изменении со |
от |
0 до оо |
результирующей угол позоре*® |
||
вектора |
Л (J-со) равен |
оуыме углов поворота |
отдельных сомйожи' |
||
телей: |
|
|
|
|
° |
|
|
Ф = У ,+ |
Ц)г + ' ’ ’ |
У п |
|
Пусть какой-либо |
корень, например pv ~ вещественный ( А = |
||||
= o i|). |
Тогда аргумент |
оомножителя (j-О)-р , ) |
со |
||
равен ( j^ e r r e tf l —j • |
Рио.9 .4 . Годографы при вещественных и комплексных корнях
При изменении |
со от |
0 до» оо |
результирующий угол поворота |
|
||||
= + у п р и ol, |
-=• |
Он ф , = |
- Y |
при 01,* |
О (рис.9Л \а ) . |
1 |
||
Пуоть два |
корня, |
например |
р г и |
/>3 , |
- |
комплексные оопрн- |
||
женные: />2 3 |
= cl. |
± |
• Тогда аргумент |
пары оомнсжитецей |
|
|
|
равен |
(f2+(j)3= a r c t g ^ ^ - + |
c r r c t g ^ ^ - . |
При изменении со от О |
д о о о |
результирующий угол |
поворота |
|
^ 2.+ |
= + 2 ~2~ при |
С*с О |
и ц;г + су3= - 2 |
при ol=- О |
(рис.9 .4 ,б).
Таким образом, еоли характеристическое уравнение содержит I корней о положительной вещественной частью (в том числе
Рис.Э.б.Кривая Михайлова для неустойчивой сиотемы
и вещественных положительных корней), а остальные ( п - £ ) корней имеют отрицательные вещественные части, общий угол по ворота вектора В ( ^ со ) при изменении и)от 0 до оо
Ч> = S>,+ 4>г+ ’‘ ' + Чп = (" - O f |
“ i f |
= n j - ISt • (9.27) |
|||
Но для уотойчивооти сиотемы необходимо |
и достаточно, чтобы вое |
||||
корни |
имели отрицательные вещественные |
части ( 1 = 0 ) , |
Поэто |
||
му в |
уотойчивой системе ср = п ^ , |
что |
и требовалось |
дока |
|
зать. |
|
|
|
|
|
Кривая Михайлова для устойчивых сиотем имеет плавную спи ралеобразную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен по рядку характеристического уравнения п (рис.9 .5 ). Неустойчи вость оистемы связана с нарушением последовательности прохож дения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора DQ-co) оказывается меньше, чем п —■ (рис.9 .б ). Благодаря этим оообен-
ноотям можно дать более удобную формулировку критерия Михай лова.
Для устойчивости системы п -го порядка необходимо и доста точно, чтобы кривая Михайлова последовательно проходила я квадрантов, начиная о первого. Поэтому для исследования устой чивости сиотемы достаточно определить лишь качественный вид
кривой Михайлова по точкам ее пересечения о |
ооями координат* |
со = 0, со = GOj , со = С02И т .д . (рис.9 .3 , |
9 .5 , 9 .6 ). |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
Рио.9 .7 . Границы устойчивости |
|
||
При нахождении оиотеиы на апериодической границе устойчи |
|||||
вости свободный член характеристического уравнения |
ап= 0, по |
||||
этому при со . 0 в |
соответствии о уравнениями (9.25) и (9.26) |
||||
Х (0 ) |
= 0 и Y(0) |
а О, и кривая Михайлова идет из |
начала ко |
||
ординат |
(р и о .9 .7 ,а). |
|
|
|
|
На колебательной границе устойчивости в характеристическом |
|||||
уравнении имеетоя пара чиото мнимых корней, равных +j-to . По |
|||||
этому характеристический комплекс |
обращается в нуль |
при со = со0 |
|||
|
D U OO0) = X ( OO0) + } Y { LO0). |
(9.28) |
|||
Из выражения (9.25) вытекают |
два |
равенства: |
|
||
|
|
Х ( с о о ) |
= |
0 - Л |
(9.29) |
|
|
|
|
|
Y( c oo) = 0 . f
Это означает, что в случае колебательной границы устойчивости при со = со0 кривая Михайлова проходит через начало коорди-
нат (рис.9 .7 ,б ). При этой со = ooQ еоть чаотота незату хающих колебаний в оистеме.
При исследовании систем высокого порядка критерий Михайло ва оказывается более удобный, чей критерий Гурвица. Кроне то го, этот критерий широко применяется при построении областей устойчивости (§ 9.6) и при иооледовании нелинейных автомати ческих оиотем (§ I I . 5).
Пример 9 .5 . Исоледуем устойчивость сиотемы, характериотичеокое уравнение которой (9.14) было получено в примере 9 .1 .
а) |
1у |
|
ч |
1 Y |
|
0.2 |
|
Ф |
|
||
|
D . |
А * |
|
0.1 |
10=0 X |
-з Н |
-5 |
0 |
|||
/ |
2 ш-б |
|
5 Уо " |
||
|
- 0J |
|
|
'0,1у |
|
|
|
|
|
||
|
-0 ,2 |
|
|
А з |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-0 ,4 |
|
|
|
|
п»3 / |
-0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.9 .8 . Кривые Михайлова к |
примерам 9.5 и |
9.6 |
Характеристический полином замкнутой онотемы
В (р) = 0,02р3+0,5рг+0,2р + 3.
Характеристический комплекс
77(^ со) = -^ 0,02со3- 0,5ос?+ 0,2ja) + 3.
Отоода
X ( с о ) = 3 - 0 , 5 с о г ;
Y ( c o ) = со ( 0 , 2 - 0 , 02 со2 ) .
Определим примерный вид кривой Михайлова по топкам пере
сечения ее |
с осями координат. При со = О |
X (0) = 3, |
Y(0) = 0. |
||||
Из уоловия |
X ( со ) = 3 |
- 0,5 со |
= 0 находим |
со* = |
6 ,Y(co,)-0,I4. |
||
Из условия |
Y ( со ) = 0 |
находим |
о)*= 10, |
X ( с о 2) = -2 . |
По ви |
||
ду кривой Михайлова (рис.9 .8 ,а) |
заключаем, |
что оиотема |
устой |
||||
чива. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
9 .6 . Исоледуем устойчивость |
замкнутой |
сиотемы, |
||||
характеристическое уравнение которой (9.17) |
было получено в |
||||||
примере 9 .2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Характеристический |
полином замкнутой |
сиотемы |
|
|
В(р) = 0,01р3+ р г+ 11.
В этом олучае оистема заведомо неустойчива, так как не выпол няется необходимое уоловие устойчивости.
Характернотичеокий комплеко
|
B ( j < j j ) = - j 0 , 0 l c o 3- |
оог+ |
11, |
|
||||
|
X (со) = |
/ / - со2 ; |
Y(co) |
= - О,ОШ3. |
||||
|
Примерный вид кривой Михайлова показан |
на рис.9 .8 ,б. |
||||||
|
Определим число корней |
о полохительной вещественной чаотью |
||||||
в |
характеристическом |
уравнении |
(9 .17). Как видно |
из р и с.9 .8,б, |
||||
результирующий угол |
поворота |
вектора |
Т) (^со ) при изменении |
|||||
со |
от 0 до оо |
(поворот |
совершается |
по часовой |
||||
стрелке). Поэтому из |
выражения |
(9.27) |
при |
п = 3 |
имеем |
|||
|
|
|
|
|
|
5с |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 2 , |
|
|
ЗТ |
|
|
л |
|
|||
|
|
|
|
|
|
т . е . в характеристическом уравнении (9.17) имеется Два корня
сполохительной вещественной частью.
§ЭЛ. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
Этот критерий устойчивости впервые был сформулирован аме
риканским ученым |
Найквиотон применительно к теории Уоидителей. |
|
В отличие |
от |
критериев Гурвица и Михайлова критерий Найкви |
ста позволяет |
судить об устойчивости з а м к н у т о й авто |
матической системы по амплитудно-фазовой или логарифмической