книги / Статические и динамические проблемы теории упругости
..pdfновесия задаются соотношениями (2). Более тщательные исследования пока зывают, что система уравнений равновесия (28) вместе с условиями совмест ности деформаций и граничными условиями полностью определяют напря жения в теле. Это означает, что если необходимо найти такие выражения для составляющих напряжения, которые бы удовлетворяли в каждой точке тела уравнениям равновесия вместе с условиями совместности деформаций, а условиям на поверхности, описываемым соотношениями (2), удовлетворяли бы в каждой точке поверхности тела, то получить эти выражения возможно только с помощью точного решения задачи.
Иногда можно угадать характер выражений для |
|
|||||||
некоторых из шестц составляющих |
напряжения и, |
S. |
||||||
если остальные |
составляющие могут |
быть |
найдены |
|||||
в такой форме, |
что все ранее |
обсуждавшиеся уравне- |
* |
|||||
ния будут удовлетворены, |
то |
это означает, |
что |
выра |
|
|||
жения, |
первоначально |
предполагавшиеся |
как |
при |
|
|||
близительные, представляют собою часть точного |
|
|||||||
решения задачи. Метод решения, в котором сначала вво |
|
|||||||
дятся допущения относительно некоторых составляю |
|
|||||||
щих напряжения, а остальные составляющие опреде |
|
|||||||
ляются таким образом, чтобы они удовлетворяли всем |
|
|||||||
уравнениям упругости, называется полуобратным ме |
|
|||||||
тодом. Он был успешно использован при решении ряда |
|
|||||||
важных |
задач. Применение |
этого метода к задаче о |
|
|||||
кручении призматических стержней |
будет |
обсуждаться ниже. |
||||||
Кручение призматических стержней. Предположим, что призматический |
||||||||
стержень произвольного поперечного сечения закреплен в точке О (рис. 19) и закручивается, как это показано на рисунке. Элементарная теория круче ния кругового стержня утверждает, что в этом случае
= о» = a z = %*У = (а )
и что только две составляющие напряжения тХ2 и %у2 не обращаются в нуль. Теперь предположим, что это распространяется также и на призматические стержни произвольного поперечного сечения. Тогда система уравнений (28) при отсутствии объемных сил имеет вид
dxv |
дт уг |
= 0; |
д1Х! |
д х „ |
(Ъ) |
д г = 0; |
д г |
д х |
1 д у = 0. |
Для того чтобы удовлетворить первым двум из этих уравнений, надо иметь выражения для составляющих напряжения, зависящие только от х и у.
Для того чтобы удовлетворить также и третье уравнение системы (Ь), введем функцию напряжения ф, зависящую от х и г/, и выберем для составля ющих напряжения следующие выражения:
Тхг ~ |
д у |
иг ~ |
д х |
Таким путем будут удовлетворены все три уравнения равновесия. Теперь рассмотрим условия совместности деформаций (35). С учетом введенного пред положения о составляющих напряжения, эти условия сведутся к следующим
двум уравнениям:
V h y2 = 0; V * T „ = 0.
Подставляя в эти уравнения выражения (с), получаем
д2ф |
даф |
д 2\|э |
d 2 i|> |
= |
0. |
дх \ д х 2 |
|
д х 2 + |
ду* |
||
|
|
|
|
Для функции напряжения возьмем следующее выражение:
са2Ь2 |
/ х1 |
у2 |
2 (а2 + |
62) |
(h ) |
которое удовлетворяет уравнению (d). Это выражение обращается в нуль на границе благодаря свойству уравнения (g), так что граничное условие (f) также удовлетворяется. Таким образом, можно сделать вывод, что выраже ние (h) есть требуемая функция напряжения для стержней с поперечным се чением эллиптической формы. Постоянная с, входящая в это выражение, зависит от величины момента, приложенного к стержню:
= И (ХХУ2~ |
dxdy = ~ |
+ 0 |
dxdy• |
Интегрируя это выражение по частям и замечая, что на контуре поперечного сечения ф обращается в нуль, находим
Mt = 2 j j tydxdg.
Подставляя вместо функции ф выражение из (h), получаем
Mt =
jiaWc
2 (а2 + 62) ’
откуда следует
2Mt(a2+ b 2) яа3Ь3
Подставляя это соотношение в выражение (h) и используя уравнение (с), находим
__ |
2Mty |
я |
__ 2Mtx |
Тхг |
nab3 |
’ Хуг |
яа3Ь |
Это распределение напряжений показано на рис. 21. Максимальное касатель ное напряжение имеет место на конце малой оси эллипса. Существует очень полезный экспериментальный метод определения касательных напряжений при кручении, введенный Л. Прандтлем и основанный на том факте, что уравнение (а) имеет одинаковый вид с уравнением для прогибов равно мерно растянутой и равномерно нагруженной мембраны.
КОЛЕБАНИЯ
Vibration. Mechanical engineering handbook. L. S. Marks, editor-in |
chief. |
|
5 edition. New York — Toronto — London, |
McGraw-Hill book Co., Inc. |
1951, |
p. 486—504 (revised by J. |
P. Den Hartog). |
|
ОБОЗНАЧЕНИЯ
W — вес колеблющегося тела; g — ускорение силы тяжести; I — мо мент инерции колеблющегося диска относительно оси вращения; G — модуль упругости при сдвиге; Е — модуль упругости при растяжении; v — коэф фициент Пуассона; k — постоянная пружины, т. е. сила, которая необходима для того, чтобы вызвать равное единице перемещение пружины, или момент, который необходим для того, чтобы создать угол закручивания вала, рав ный одному радиану; бСт = W/k — статическое перемещение пружины при действии силы, равной W\ Т — период, т. е. время одного колебания; f =
= 1 IT — частота, т. е. число колебаний в одну секунду; сол = У gk/W или
сол — УкП — число свободных колебаний за время, равное 2п сек\ А — амплитуда колебания; а — фаза колебания; с — коэффициент демпфирова ния; Q sin (ot — периодическая возмущающая сила; Т1 = 2я/со — период
возмущающей силы; |
= 1/7\ = со/2л — частота возмущающей силы; х |
их — первая и вторая производные от х по времени, т. е. соответственно ско рость и ускорение.
СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Простейший случай колеблющейся системы с одной степенью свободы показан на рис. 1. Груз весом W, присоединенный к пружине, может сво бодно колебаться в вертикальном направлении, при этом масса пружины мала по сравнению с массой груза W
Если через х обозначить перемещение колеблющегося груза от поло жения равновесия, то дифференциальное уравнение свободных колебаний будет
х + (о%х = 0. |
(1) |
Общее решение этого уравнения имеет вид
х = х0cos сon + (*0/co„) sin соnt, |
(2) |
где х0— перемещение тела от положения равновесия в начальный момент (t — 0); х0— начальная скорость. Подставляя в выражение (2) величины
х0= A sin a; xQ/(on = A cos а,
получаем |
|
|
х = |
A sin (coj + а). |
(3) |
Период свободных колебаний |
|
|
Т = 2я/соЛ= |
2я V W/kg = 2л V бст/g. |
(4) |
Видно, что этот период колебаний имеет то же самое значение, что и период математического маятника, длина которого равна статическому перемещению пружины при действии нагрузки, равной W Этот вывод может быть всегда использован при вычислении периода свободных колебаний упругих систем, когда статические перемеще ния пропорциональны нагрузке, а массой упругой час ти системы (как, например, массой пружины в выше приведенном примере) можно пренебречь по сравнению
с массой нагрузки. Возьмем, например, балку с опертыми краями и нагру женную посередине. Пренебрегая массой балки по сравнению с массой груза W, получаем, что статический прогиб балки равен 6СТ = Н7/3/48£7,
апериод свободных колебаний будет
Т= 2пУ Wl3/48EIg
КОЛЕБАНИЯ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
В реальных условиях всегда существуют силы сопротивления, которые вызывают существенное демпфирование исходных колебаний. Источники этих демпфирующих сил могут быть различными (например, сопротивление воздуха или жидкости, внутреннее трение в материале колеблющегося тела или трение между поверхностями скольжения). Если тело колеблется в воз душной или жидкостной среде и скорости малы, как это имеет место, напри мер, в воздушных демпферах, то сила сопротивления пропорциональна ско рости и дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
w • |
(5) |
|
— |
х ~f~ сх -|- kx = 0, |
|
R |
|
|
где сх— сила сопротивления движущегося тела. Используя следующее обо значение
|
q2= (On — п2, |
(6) |
где п = cg/2W, получаем общее решение уравнения (5) |
|
|
х = e~ n |
[(x0/q) sin qt + xn (cos qt + (n/q) sin qt)]. |
(7) |
Затухающее колебание |
имеет период |
|
|
Т = 2n/q = 2я/ V afn— n2. |
(8) |
Величина п обычно мала по сравнению с соп, поэтому разница между q и а>п является малой величиной второго порядка. Следовательно, можно пред положить, что небольшая демпфирующая сила не влияет на период коле
баний.
Амплитуда колебаний, которая представлена выражением (7), быстро уменьшается со временем из-за присутствия в этом выражении множителя e~~ntt убывая после каждого цикла в таком отношении:
<ГШ:1. |
(9) |
денные колебания, если она находится в резонансе с собственными колеба ниями системы. Из выражения (12) видно, что вынужденные колебания всег да отстают по фазе от возмущающей силы. Если с мало и со значительно меньше, чем соЛ, то различие в фазах а мало. Когда со приближается к сол, имеет место резкое изменение в величине вынужденных колебаний и при резонансе величина а становится равной л/2.
Когда со значительно больше, чем соЛ, разли чие по фазе достигает величины а = л.
В качестве примера вынужденных коле баний могут служить вынужденные колеба ния, вызванные неуравновешенностью враща ющегося механизма. Принимая во внимание только вертикальную составляющую цент
робежной силы Q (рис. 3), получаем возмущающую силу, равную Q sin соЛ Эта сила вызовет усиленные колебания, когда число оборотов механизма в секунду достигнет собственной частоты колебания системы, состоящей из массы механизма и балок, на которые установлен механизм.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Задача о колебании системы, показанной на рис. 1, может быть решена путем рассмотрения энергии системы. Этот энергетический метод также очень полезен для приближенного вычисления частоты в случае более слож ных систем. Рассматривая схему, изображенную на рис. 1, и пренебрегая сначала массой пружины, запишем кинетическую энергию системы при ко лебаниях в таком виде:
Т = W (x)2/2g. |
(15) |
Обозначая через х перемещение от положения равновесия и учитывая, что вес W всегда уравновешивается начальной силой, действующей со стороны пружины, запишем увеличение потенциальной энергии за счет перемещения х в форме
V = kx2/2. |
(16) |
Тогда на основе принципа сохранения энергии, пренебрегая демпфирова нием, получаем
(Wx2/2g) + kx2!2 = const. |
(IT) |
Это означает, что при колебании сумма кинетической и потенциальной энер гий остается постоянной и равной ее начальному значению. Допустим, на пример, что при t = 0 перемещение равно х, а начальная скорость равна нулю. Тогда уравнение (17) примет вид
(Wx2/2g) + kx2/2 = kxl/2. |
(18) |
Если во время колебаний х становится равным х0, то скорость груза W обращается в нуль, а энергия системы будет состоять только из потенциаль ной энергии. Когда х становится равным нулю, что случается, если груз при колебании проходит через среднее положение, то скорость приобретает свое максимальное значение и соответствующая величина кинетической энергии согласно уравнению (18) будет
W (xfmia/2g = кх%/2. |
(19) |
Это означает, что в данный момент полная энергия системы состоит из ки нетической энергии и равна той потенциальной энергии системы, которая была накоплена в системе во время начального перемещения х0 от положе ния равновесия. Уравнение (19) может быть использовано для вычисления частоты колебаний системы. Как уже было показано (см. стр. 486), при этом имеет место простое гармоническое движение, т. е. в этом случае можно принять
X = Х0 COS СQnt И (Х)тах = Х0<Оп.
Подставляя эти выражения в уравнение (19), получаем
©5 = kg/W,
что совпадает с найденным ранее результатом (см. стр. 487).
В предыдущих рассуждениях массой пружины пренебрегалось по срав нению с массой груза W Для того чтобы установить влияние такого упро щения на частоту колебания, можно применить приближенный метод, раз витый Релеем. Если предположить, что масса пружины мала по сравнению с массой груза W , то масса пружины не будет существенно влиять на харак тер колебания, поэтому с достаточной степенью точности можно предполо жить, что при колебаниях перемещение любого поперечного сечения пру жины, отстоящего на расстоянии с от фиксированного конца (см. рис. 1), равно хсИ. Пусть через w будет обозначен вес пружины, приходящийся на единицу длины. Тогда масса элемента пружины длиной dc равна wdc/g и кинетическая энергия самой пружины будет
а уравнение для энергии (18) примет вид |
|
(№*max/2g) + (wl/3) xmax/2g = kx2ol2. |
(20) |
Отсюда можно сделать заключение, что для того, чтобы установить влияние массы пружины на период собственных колебаний, необходимо только при бавить одну треть веса пружины к весу груза W Применяя те же самые рас суждения к случаю, изображенному на рис. 3, можно показать, что для вы числения частоты собственных колебаний балки с грузом необходимо при бавить к весу грузав№ 17/35 от веса балки. Для случая консоли, нагруженной на конце силой W, удовлетворительное приближение при вычислении час тоты получится, если прибавить к весу груза W 33/140 от веса консоли.
НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В предыдущих рассуждениях предполагалось, то упругая постоянная системы не зависит от перемещения х. Частота свободных колебаний таких систем не зависит от амплитуды, т. е. колебания являются изохронными. Здесь рассматриваются случаи, когда упругая постоянная колеблющейся системы изменяется при перемещении, а восстанавливающая сила уже более не пропорциональна перемещению. Собственные частоты колебаний систем, в которых имеются такие упругие элементы, зависят от величины амплитуды. При использовании упругих элементов такого типа можно полностью устра нить этот нежелательный эффект, как резонанс. Если при резонансе ам плитуда колебания начинает увеличиваться, то частота колебаний изменяет-