книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Каждый член этого ряда соответствует синусоидальному прогибу, опре­ деляемому уравнением (е), а полный прогиб получается наложением про­ гибов, соответствующих отдельным членам ряда, и представляется рядом

Величины qly q2, q3, определяющие интенсивность синусоидальных нагрузок, должны выбираться в каждом частном случае такими, чтобы сред­ неквадратичная ошибка

i

была минимальной. Этот интеграл всегда положителен и достигает своего минимального значения, когда его производные относительно ql9 q2, q3, ...

равны нулю. Замечая, что для произвольной величины

и дифференцируя подынтегральное выражение, записываем условия минимума в следующем виде:

ПРОГИБЫ СТЕРЖНЕЙ

Если силы, действующие на стержень симметричного поперечного се­ чения, расположены в плоскости симметрии, то стержень будет изгибаться в той же самой плоскости. Согласно элементарной теории изгиба кривизна линии прогиба балки любого поперечного сечения пропорциональна изги­ бающему моменту М в этом сечении и обратно пропорциональна изгибной жесткости В балки. Выбирая оси координат, как показано на рис. 2, а, и используя для малых прогибов приближенное выражение для кривизны,

имеем следующее дифференциальное уравнение линии прогиба балки:

d2y М_ dx2 В

Изгибающий момент принимается положительным, если вызванная им кривизна направлена выпуклостью вниз, как, например, в случае нагруже­ ния сосредоточенной силой Р (см. рис. 2, а). Уравнение (4) линии прогиба имеет тот же вид, что и уравнение (1) для определения прогиба нити, и ме­ тоды, используемые в этом случае, могут быть применены к задаче об изги­ бе стержней. Нужно только подставить вместо растягивающей силы S из-

гибную жесткость В, а вместо нагруз­

Для произвольной поперечной нагрузки на стержень изгибающий момент есть некоторая функция х и может быть представлен рядом по синусам

или может быть получен наложением синусоидальных кривых. Прогиб, соответствующий каждому члену этого ряда, определяется выражением (f), а общий прогиб получается наложением всех таких частных прогибов и мо­ жет быть представлен рядом

Возьмем в качестве примера случай одной сосредоточенной силы, как показано на рис. 2, а. Соответствующая диаграмма изгибающих моментов представлена на рис. 2, б и имеет вид треугольника abc. Используя ряд (3), видим, что изгибающий момент может быть представлен рядом

сравнивая который с выражением (g)> имеем

2Р/2

Мт= тйла-sin- I

ху. Обозначая через р отношение сжимающей силы 5 к эйлеровой силе,

можно записать предыдущее выражение в следующей форме:

В общем случае изгибающий момент может быть представлен в виде ряда по синусам

М' = 2 Мот sin

/7 1 = 1

и, суммируя прогибы (9). соответствующие членам этого ряда, получаем сум­ марный прогиб в следующей, форме:

/7 1 = I

Рассматривая, например, одну сосредоточеннуюсилу, как показано на рис. 3, имеем, как и раньше,

а уравнение (10) принимает в этом случае вид

Имея линию прогиба, вызванную сосредоточенной поперечной силой, наложением можно найти линию прогиба при совместном действии произ­ вольной поперечной нагрузки и осевой сосредоточенной силы S. Рассмат­ ривая случай равномерно распределенной нагрузки и поступая, как и рань­ ше, получаем

Это довольно быстро сходящийся ряд, и один его первый член дает макси­ мальный прогиб стержня с точностью, достаточной для практических целей.

Э. И. Григолюк

С.П. ТИМОШЕНКО

ИЕГО ТРУДЫ ПО ПРОБЛЕМАММЕХАНИКИ

ТВЕРДОГОДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

ИРАСЧЕТУ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИИ

Вряду выдающихся деятелей науки и техники видное место занимает Степан Прокофьевич Тимошенко, который оказал огромное влияние на развитие инженерного дела и инженерного образования в нашей стране и за рубежом. В лиде С. П. Тимошенко техники видят яркий пример инженера широкого профиля, а исследователи в области механики твердых деформируемых тел обнаруживают его умение с помощью простых средств, посредством ясных и четких моделей уловить главную особенность поведе­ ния конструкций при заданном характере ее деформирования. Развитием

своего инженерного чутья и таланта исследователя С. П. Тимошенко обя­ зан Петербургской инженерной и механической школе.

Ниже будут обсуждены основные направления научной деятельнос­ ти С. П. Тимошенко.

ОЧЕРК О ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Степан Прокофьевич Тимошенко родился в 1878 г. Его отец, Проко­ фий Тимофеевич (1847— 1932), обладал огромной работоспособностью. Эту работоспособность он сумел передать детям.

Первоначальное образование Степан Прокофьевич получил дома: ког­ да ему исполнилось 5 лет, мать Юзефина Яковлевна Сарнавская (1854— 1920)

училище. В старших классах наибольший интерес он проявлял к математи­ ческим предметам: алгебре, геометрии, тригонометрии- В это время воз­ никло желание стать инженером путей сообщения, что требовало более глубоких знаний по математике.

Поступление в единственный в стране институт, который выпускал ин- женеров-путейцев — Петербургский институт инженеров путей сообщения, было сопряжено с конкурсными экзаменами. Так как абитуриентов было гораздо больше, чем число мест, что эти экзамены были весьма слож­

ными.

В 1896 г. С. П. Тимошенко сдал все выпускные экзамены в Роменском училище. По существовавшим правилам он имел возможность поступить

V4+17 4-1866 515

либо в агрономический институт, либо в высшее техническое учебное заве­ дение. Лица, оканчивавшие реальное училище, не допускались в универси­ тет: для этого нужно было кончить гимназию. У Степана Прокофьевича не было полной уверенности, что он выдержит конкурс в Петербургском инсти­ туте путей сообщения, поэтому он одновременно решил сдавать экзамены в Петербургском институте гражданских инженеров, где экзамены начина­ лись на три недели раньше. Эти экзамены он выдержал и был зачислен сту­ дентом Петербургского института гражданских инженеров. Но три недели спустя он стал сдавать конкурсные экзамены в Петербургский институт инженеров путей сообщения. При этом требовалось выдержать устные и пи­ сьменные экзамены по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии, на­ писать сочинение по русскому языку, устный экзамен по немецкому языку, а также экзамен по рисунку. Последние два предмета считались внекон­ курсными. В результате он выдержал все экзамены и по сумме очков ока­ зался в числе 150 (из 700) абитуриентов, зачисленных в институт, который был одним з лучших в России высших учебных заведений. В это время это­ му институту уделялось особое внимание, так как строилась Великая сибир­ ская железная дорога и страна нуждалась в новых высококвалифицирован­ ных инженерах. Первые два года изучались математика, механика, физика, химия, черчение. Остальные три года отводились техническим предметам. Согласно традиции института летнее каникулярное время использовалось для работы на железных дорогах. Аналитическая геометрия и дифференци­ альное исчисление читались на первом курсе профессором Д. А. Граве (по шесть лекций в неделю). Курс механики читал А. С. Домогаров, уделяя глав­

решения задач. На втором курсе лекции по математике читались И. И. Ивано­ вым (интегральное исчисление). Механику читал Д. К. Бобылев. Курс гра­ фической статики читал С. К. Куницкий, курс сопротивления материалов — М. А. Ляхницкий. Наибольшее впечатление из профессоров института на С. П. Тимошенко произвел Ф. С. Ясинский (1856— 1899 гг.), который читал статику сооружений. Его лекции по теории плоских и пространствен­ ных ферм, по теории сводов и по теории выпучивания стержней были блес­ тящими.

Специальные предметы (мосты, железные дороги, портовые сооружения, паровозы, водные сообщения) читались на четверым курсе специалистами, которые занимались практической деятельностью. Летом 1900 г. первая поездка за границу — в Париж на Всемирную выставку.

На последнем пятом курсе института следовало представить четыре дип­ ломных проекта и сдать выпускные экзамены. Летняя практика дала воз­ можность изучить Виордский виадук (речь идет о сооружении виадука через реку Виорд арочного типа с двумя консолями. Пролет средней части состав­ лял около 200 м. Проезжая часть расположена на высоте 100 м от уровня реки. В то время Виордский виадук строился и представлял собою самое большое сооружение этого типа) и дать обстоятельное его описание и опи­ сание его сборки. За это описание С. П. Тимошенко получил премию. В чис­

теории упругости, дополненной и переведенной на французский язык Бар­

корабля профессора И. Г. Бубнова (1872— 1919 гг.). ОбщениесВ. Л. Кирпичевым, одним из выдающихся научно-инженерных деятелей России, основате­ лем Харьковского технологического института и Киевского политехниче­

щие лекторские данные, его замечательные книги по строительной механи­ ке — все это результат влияния В. Л. Кирпичева. В. Л. Кирпичев прекрасно владел математическим аппаратом и обладал ясным мышлением.

Летом 1904 г. С. П. Тимошенко едет в Германию, которая занимала в то время ведущее положение в области сопротивления материалов. В Мюн­ хене он ознакомился с лабораторией Августа Фёппля, бывшей лабораторией Иоганна Баушингера, с научными исследованиями, которые ставились на машинах и приборах этой лаборатории. Он прослушал лекции и семинары А. Фёппля, который также ставил опыты на сжатие цементных кубиков при одностороннем сжатии на прессе и при всестороннем гидравлическом давле­ нии в сосуде. По возвращении на родину С. П. Тимошенко изучил старые и новые работы по теориям прочности и опубликовал по этому вопросу ста­ тью «Формулы сложного сопротивления с точки зрения различных теорий о прочности» в Известиях С.-Петербургского политехнического института за 1905 г. [1241.

Восемь часов в неделю учебных занятий оставляли очень много времени для научной работы и с нового учебного 1904/1905 года С. П. Тимошенко занялся изучением книги Георга Римана 12 «Дифференциальные уравнения в частных производных» и монографии Джорджа Рэлея3 по теории звука. В развитие работы Г. Фрама 4, исследовавшего собственные малые крутиль­ ные колебания круглого вала постоянного поперечного сечения с двумя жест­ кими дисками по концам для учета влияния собственного веса вала на часто­ ту колебаний, С. П. Тимошенко применил метод Рэлея. Этим же методом решена указанной задачи для вала с несколькими дисками. Получен­ ные результаты составили его первую статью «К вопросу о явлениях резо­ нанса в валах» [76] (1905 г.).

В начале 1905 г. правительство России до сентября закрыло высшие учебные заведения страны. Революционные события, неудачи в Японской войне, расстрел демонстрации у Зимнего дворца сделали невозможной нор­ мальную работу, возмущение против правительства достигло небывалых

1 S a i n t - V e n a n t В. См. его примечания к переводу с немецкого книги Альфреда Клебша, указанной в третьей сноске на стр. 517. «Theorie de I’elasticite des corps soiides» deClebsch, Paris, Dunod, 1883, 900 p.

2 R i e m a n n [G. F. B.] Partiellen Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen. Vorlesungen von B. Riemann, fur den Druck bearbeitet und herausgegeben von K. Hattendorff. Mit einigedrucken Holzstichen. Braunschweig, Druck und Verlag von F. Vieweg und Sohn, 1869, Zweite Auflage — 1876, XIV + 328 S. См также: Die Differential — und Integralgleichungen der Mechanik und Physik als 7 Auflage von Riemann — Webers partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik. Bd 2. Braunschweig, Druck und Verlag von F. Vieweg und Sohn, 1927, 864 S.

leitungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksictigung der Resonanzschwingungen. Zeitschrift der Vereines deutscher Ingenieure, 1902, Bd 46, N 22, S. 797—803.

ранее размеров. В этой связи С. П. Тимошенко поехал в Гёттинген (Герма­ ния) для работы в университете, в Институте прикладной механики, руко­ водимом Людвигом Прандтлем 1* (1875— 1953 гг.), который в 1899 г. защитил диссертацию, посвященную устойчивости плоской формы изгиба полосы при различных граничных условиях и внешних нагрузках. Лекции Ф. С. Ясин­ ского вызвали у С. П. Тимошенко интерес к проблеме устойчивости твердых деформируемых систем и желание заниматься научными исследованиями в этой области. Л. Прандтль рекомендовал С. П. Тимошенко заняться экспери­ ментальными исследованиями бокового выпучивания балок, но С. П. Тимо­ шенко полагал, что уместнее проводить теоретическую работу. В развитие диссертации Л. Прандтля он занялся более трудным и практически более важ­ ным случаем— изучением устойчивости двутавровой балки. Принципиальным вопросом было выяснение поведения двутавровой балки, например, заделан­ ной одним концом и нагруженной на другом конце крутящим моментом. Несправедливость принципа Сен-Венана здесь очевидна, так как полки испы­ тывают изгиб. Дифференциальное уравнение кручения получается прирав­ ниванием внешнего крутящего момента М сумме моментов, соответствующих

тойчивости двутавровых балок, многочисленные случаи которой и были изу­ чены. Позднее в Петербургском политехникуме С. П. Тимошенко проверил экспериментально свои теоретические исследования и опубликовал в Из­ вестиях С.-Петербургского политехнического института фундаментальную работу «Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости» [461 (1905— 1906 гг.), которая является основополагающей при построении тео­ рии тонкостенных стержней и фундаментом для всех последующих иссле­ дователей. Эта работа была доложена на техническом кружке В. Л. Кирпичева и оказала влияние на дальнейшую судьбу С. П. Тимошенко. Позднее в Киевском политехническом институте эта работа была поставлена к публичной защите на Совете профессоров на соискание ученой степени адъюнкта по прикладной механике. Основным оппонентом был В. Л. Кир-

предоставлено право выбирать ректора и деканов. Но и эти меры не помогли: ни ректоры, ни Советы профессоров не смогли удержать студенчество от выступлений и сходок. Высшие учебные заведения по распоряжению прави­ тельства опять были закрыты до конца года. В начале 1906 г. Киевский поли­ технический институт объявил конкурс на замещение заведующего кафед­ рой сопротивления материалов. У С. П. Тимошенко к этому времени в Известиях С.-Петербургского политехнического института вышло четыре ра­ боты: «К вопросу о явлениях резонанса в валах» [76], «Описание прибора

1 Р г a n d t 1 L. Kipperscheinungen. Ein Fall von instabilem elastischem Gleichgenwicht. Dissertation der Universitat Munchen, 1899. NCimberg, 1900, 75 S. Эта работа перепе­ чатана в его собрании сочинений. См. Р г a n d t 1 L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandte Mechanik, Hydro-und Aerodynamik. Erster Teil. Springer Verlag, Berlin — Gottin­

gen — Heidelberg, 1961, S. 10— 74.