книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Из этого уравнения методом последовательных приближений может быть вычислено Н5так, как это было сделано в предыдущих случаях. Возьмем в

значений отношения all уравнение (59) дает для Hs значения, записанные во втором столбце табл. 2. Отрицательные величины Hsдля малых значений подвижной нагрузки обусловлены тем, что, по предположению температура

Из этих уравнений могут быть вычислены Мг и М2при условии, что Нрнай­ дено из уравнения (58). Подобные уравнения получаются также в случае, когда рассматривается совместное действие подвижной нагрузки и измене­ ния температуры. Значения моментов, вычисленных из этих уравнений для рассматриваемого числового примера, приведены в третьем и четвертом столб­ цах табл. 2. Изменение HS/HW9 МгИЕ1 и M4IEI в зависимости от длины на­ груженной части среднего пролета показано на рис. 12. Видно, что момент

влевом пилоне наибольший тогда, когда подвижная нагрузка распростра­ нена на 35% главного пролета. Для того чтобы показать влияние отсутствия разреза подкрепляющей фермы на опоре, на рис. 12 приведена также кри­ вая для # s, вычисленная в предположении, что на опорах А и В имеются шарниры. При выполнении этих последних вычислений нужно только пре­ небречь в уравнении (58) членами, содержащими функцию X. Видно, что

вслучае пролетов с шарнирным закреплением кривая Hs несколько выше соответствующей кривой для неразрезных ферм.

8. ПОДКРЕПЛЯЮЩАЯ ФЕРМА ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Метод тригонометрических рядов, примененный выше к случаю под­ крепляющей фермы постоянного поперечного сечения, может быть распро­ странен также на случаи, когда подкрепляющая ферма имеет переменное поперечное сечение г. Начнем с дифференциального уравнения линии про­ гиба подкрепляющей фермы (см. уравнение (е) стр. 435)

где

i

Ьт = -т \(Н вУ — ЧПр)с1х.

О

Для случая одной сосредоточенной силы Р (см. рис. 6) имеем (см. стр. 435)

Для случая распределенной нагрузки, как показано на рис. 8, подставляя

Применяя уравнение (а) к случаю фермы переменного поперечного сече­ ния, предполагаем, что изгибная жесткость фермы определяется урав­ нением

вкотором ср (х) есть известная функция х, и принимаем решение уравнения

(а)в форме ряда

со

Paper N 1732, p. 377—391. Discussion:p. 391—405 ( S t e u e r m a n E. by letter, p. 394—398)).

После вычисления интеграла в левой части получим линейное уравнение,

Уравнения (h) совместно с п уравнениями (g) достаточно для решения задачи. В каждом частном случае начнем с вычисления коэффициентов Ьт для принятого распределения подвижной нагрузки с помощью уравнения

(Ь) или (с). Затем вычислим интеграл от левой части уравнений (g) для при­ нятой ср (л;) и получим п линейных уравнений для коэффициентов аъ a2 ...

..., ап. Принимая теперь в качестве пробы произвольное значение для Яр, вычислим эти коэффициенты и подставим их в правую часть уравнения (h). Так как значение Нр было принято произвольного уравнение не будет удов­ летворяться, и должна быть предпринята вторая проба для величины Нр. После двух таких проб точное значение Нр может быть получено с достаточ­ ной точностью интерполированием. Такие вычисления показывают, что даже значительные изменения изгибной жесткости EI вдоль пролета фермы мало влияют на величину Нр и что очень хорошее приближение для Нрполучается путем замены переменной изгибной жесткости ее постоянным средним зна­ чением.

Для того чтобы проиллюстрировать необходимые вычисления в случае фермы переменного поперечного сечения, предположим, что

0)

Рассматривая ферму, симметричную относительно середины пролета, при­ нимаем src -\-а = я — а. Тогда

го института инженеров путей сообщения. 1913, вып. 31, стр. 33—36; [Перепечатка: Б у б ­ н о в И. Г. Избранные труды. Л., Судпромгиз, 1956, стр. 136 139].

Принимая для примера а = JC/6, получаем s = 2/3. При этом изгибная жесткость на опорах фермы только в два раза меньше, чем посередине про­

Полагая, например, что a = я/6, s = 2/3, и сохраняя только четыре члена ряда (е), получаем для вычисления четырех коэффициентов следующие че­ тыре уравнения:

Видно, что эта система уравнений разделяется на две группы: одну, содер­ жащую коэффициенты а4 и а3 нечетного порядка, и вторую, содержащую коэффициенты а2, а* четного порядка. Решение этих уравнений для произ­ вольных численных значений р,, съ с2, с3, с4 может быть легко построено. Для фермы заданных размеров и для принятого значения Нр из формулы (т) вычислим значение р,. Величины съ ..., с4 для заданного распределения на­ грузки вычисляются из выражения (о). Тогда коэффициенты аъ ..., а4 будут найдены из уравнений (q). Подставляя эти коэффициенты в уравнение (h), проверим, как точно принятое значение Нр удовлетворяет этому уравнению. С помощью двух пробных вычислений найдем точное значение Нр и соответ­ ствующие значения коэффициентов. Тогда выражение (е) дает линию про­ гиба. Изгибающие моменты будут найдены из соотношения (19). Вычисления, выполненные для однопролетного моста таких же размеров, как средний

пролет Манхаттанского моста, и для подвижной нагрузки, распределенной от х = 0 до х = //4, показывают,, что горизонтальное натяжение НР9 вычис­ ленное для постоянной жесткости Е10, примерно на один процент меньше, чем в случае, когда жесткость фермы, задаваемая выражением (i), умень­ шается к краям на половину ее значения в середине пролета.

Вычисление Л4тах для фермы постоянного поперечного сечения показы­ вает, что эта величина изменяется вдоль пролета, как изображено на рис. 13. Видно, что рациональное проектирование требует усиления поперечного се­ чения фермы, расположенного вблизи одной четверти пролета от опор, а не в середине пролета, как предполагалось в предыдущем примере. Соответ­

жению (г).

Практически жесткость фермы не является непрерывной функцией х, а изменяется резко, как показано на рис. 13. Вычисления, выполненные для этого случая х, показывают, что в то время, как момент инерции попереч­ ного сечения изменяется на ±20% его среднего значения, величины Л4тах для середины и одной четверти пролета отличаются от соответствующих зна­ чений, вычисленных для фермы постоянного среднего поперечного сечения, только на 2,5 и 3,5% соответственно. Видно, что значительное изменение из­ гибной жесткости вдоль пролета фермы оказывает второстепенное влияние на изгибающие моменты. Следовательно, обычные вычисления, основанные на предположении, что ферма имеет постоянное поперечное сечение, дают удовлетворительные результаты.1

1 Такие вычисления, выполненные с использованием некоторого обобщения метода рядов, даны в книге Ганса Блейха (см. стр. 63) (В 1е i с h Н. Н. Die Berechnung verankerter Hangebriicken. Vienna, Julius Springer, 1939, 101 S.). Эта книга содержит некоторые полностью завершенные числовые примеры. Использование разностных дифференциальных уравнений при построении ферм переменного поперечного сечения показано в работе Ф. Штюсси (S t u s s i F. Zur Berechnung verankerter Hangebriicken. Association Internationale des Ponts et Charpentes-Memoires, 1936, t. 4, p. 531—542).