книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Для любого рассматриваемого моста значения р, fll и ^Иг будут извест­ ны. Величина К1 связана с Р соотношением

К1 = V Е/ ■(1 + Р),

и величина l2HwIEI будет найдена. Уравнения (26) и (27) дадут в силу этого величины МгИЕ1 и М21/Е1 в функции от р, п/1 и mil. Следовательно, для любой заданной произвольной нагрузки моменты будут определены как

Для различных принятых значений Р, подставленных в правую часть приведенного выше уравнения, получим значения Р, приведенные в табл. 3.

Путем графического построения зависимости (5 вычисленного от Р принятого для каж­ дого значения п получим ряд кривых типа, показанных на рис. 7. Точки, в которых эти кривые пересекают прямую, исходящую из начала координат под углом 45°, определяют значения р для каждой нагрузки.

На рис. 8 построена зависимость моментов в левом пилоне, данных в табл. 1, от Р для различной степени загруженности главного пролета (для различных т). Используя величины Р, найденные на рис. 7, из графиков рис. 8 можно найти величины Мг1/Е/ для каждой нагрузки. Моменты в правом пилоне М21/Е1 могут быть найдены для каждой на­ грузки из рис. 9. Значения величин Мг1/Е1 и М21/Е1 и р для различных значений п при­

В

п/1

Моменты и натяжение троса, вызванные подвижной нагрузкой, приведены на рис. 10 в безразмерной форме, что дает возможность применить эти результаты независимо от ис­ пользуемой системы единиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенный здесь метод вычисления напряжений и изменения формы висячих мостов с неразрезными подкрепляющими фермами исходит из дифференциального уравнения стрелы провисания троса, изменения в ве­ личине которой, вызванные подвижной нагрузкой, должны быть равны про­ гибу подкрепляющей фермы, и предположения, что длина подвесных тяг остается неизменной. Все это совместно с условиями равновесия сил в вер­ тикальном направлении дает дифференциальное уравнение кривой прогиба подкрепляющей фермы, которое может рассматриваться как дифференциаль­ ное уравнение неразрезной балки, подверженной одновременному осевому растяжению. Решение этого уравнения известно; оно позволяет определить изменения в стреле провисания троса, после чего натяжение троса опре­ деляется с помощью известного основного уравнения. С помощью чис­ лового примера показано влияние непрерывности на опорах [неразрез­ ная ферма] на натяжение троса. Приведены числовые таблицы, которые обеспечивают удобное применение метода при практических расчетах.

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ

Bending of rectangular plates with clamped edges. Proceedings of the fifth International Congress for Applied Mechanics, Cambridge, Massachusetts, Sep­ tember, 12— 16, 1938. New York: John Willey and Sons, Inc., London: Chapman and Hall, Ltd, 1939, pp. 40— 43. Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing

Company, Ltd, 1953, p. 516—522.

Для решения задачи требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение

равномерной нагрузки. Метод решения, предлагаемый здесь, может быть применен к любого рода нагружениям и состоит в сочетании известных ре­ шений для свободно опертых пластин, на которые воздействуют попереч­ ные нагрузки, с решениями для свободно опертых пластин, нагруженных изгибающими моментами, распределенными вдоль краев. Расчеты показы­ вают, что ряды для прогибов и моментов на краях, полученные таким путем, сходятся быстро, так что требуется вычислить только несколько членов рядов для того, чтобы получить результаты с достаточной для практики точ­ ностью.

1 Здесь рассматриваются только те исследования, в которых даны некоторые число­ вые результаты для прогибов и напряжений в пластинах. Первое исследование подобного рода было проведено Б. М. Кояловичем в его докторской диссертации «Об одном уравне­ нии с частными производными четвертого порядка». С.-Петербург, тип. Академии наук, 1902, 125 стр. В дальнейшем этот вопрос обсуждался И. Г. Бубновым, которым были состав­ лены таблицы для определения прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил для та­ ких пластин. См.: Б у б н о в И. Г. Строительная механика корабля. Часть II. С.-Петер­ бург, тип. Морского министерства, 1914, стр. 465. См. также: диссертацию Г. Генки (Н е п -

(1) и защемленным пластинам, упоминаются в статье А. Лява (L о v е А. Е. Н. Biharmo­

оо

Раскладывая функцию, как это принято в теории рядов Фурье, полу­ чаем

Выражения для-^- и вдоль краев пластины для случая, когда моменты

распределены по сторонам л; = ±а/2, могут быть легко получены при помощи (9) и (10). Для упрощения рассуждений предположим, что пластина квадратная и что изгибающие моменты одинаково распределены по всем четырем сторонам и имеют вид (7). В этом случае угол наклона имеет одно и то же числовое значение вдоль всех четырех сторон. Тогда, используя формулы (9) и (10), находим

С целью получения случая равномерно нагруженной квадратной плас­ тины с защемленными краями надо найти теперь такие значения коэффи­ циентов Лт , чтобы угол наклона, описанный формулой (И) и вызываемый изгибающими моментами, был равен и противоположен по знаку углу на­ клона, представленному формулой (5), вызываемого равномерной попереч­ ной нагрузкой. Это требует, чтобы для каждого значения удовлетворялись следующие уравнения:

Ограничиваясь первыми четырьмя коэффициентами в уравнении (12), получаем следующую систему из четырех уравнений:

1,80341 + 0,07644 + 0,01884 + 0,0070/4, = — 0,6677К 0,07644 + 0,40434 + 0,0330/46 + 0,01594 = — 0,0123/С

0,01884 + 0,03304 + 0,22544 + 0,01634 = — 0,0016/С 0,0070/4! + 0,0159/43 + 0,0163Л8 + 0,1558/4, = — 0.0004ТС,

где К = — 4qa2/na.