книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ся, т. е. условия резонанса исчезают. Простой пример такого упругого эле­ мента показан на рис. 4. Плоская пружина, нагруженная весом W, за­ щемлена в конце А. При колебании пружина частично вступает в контакт с одной из двух цилиндрических поверхностей АВ или АС. Вследствие этого

в направлении оси х. Тогда время, необходимое для прохождения зазора а,

ла, имеющая период больше, чем 2я [/ W/kg, то всегда можно сообщить те­ лу W такую начальную скорость, чтобы соответствующий период Т был ра­ вен-периоду возмущающей силы, и таким бы образом создались условия, соответствующие резонансу. Именно такое объяснение получили имевшие место в механизмах с зазорами и в электровозах явления сильных колебаний.

УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ МЕХАНИЗМОВ

Одной из наиболее важных областей применения теории колебаний яв­ ляются решения задачи об уравновешивании. Известно, что вращающееся те­ ло не оказывает какого-либо переменного возмущающего действия на опоры, если ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции тела. В про­ цессе изготовления трудно в точности выполнить это условие, потому что, благодаря ошибкам в геометрических размерах и неоднородности материала, всегда имеет место некоторая неравномерность в распределении массы. В результате этого появляются периодические возмущающие силы, которые вызывают колебания. Для того чтобы устранить эти колебания в машинах и создать благоприятные условия для движения, необходимо произвести балансировку, особенно в случае высокоскоростных машин. Различные виды неуравновешенности ротора показаны на рис. 6. Представим себе вращаю­ щееся тело, разделенное на две части некоторым поперечным сечением пг—

— п. При этом могут появиться следующие три случая неуравновешенности.

Центры тяжести обеих частей могут лежать в одной плоскости, прохо­ дящей через ось, с одной и той же стороны от оси вращения, как это показа­ но на рис. 6, б. Следовательно, центр тяжести С будет находиться в той же самой плоскости на определенном расстоянии от оси вращения. Такое явле­ ние называется статической неуравновешенностью, потому что оно может быть обнаружено путем статических испытаний. Испытание на статическую уравновешенность состоит в том, что ротор двумя своими опорными концами устанавливается на абсолютно горизонтальные параллельно расположенные направляющие. Если центр тяжести всего ротора совпадает с его осью, то ротор будет статически уравновешенным в любом положении, если же центр тяжести лежит не на оси, как это показано на рис. 6, б, то ротор будет

Рис. 6.

перекатываться по направляющим до тех пор, пока центр тяжести не достиг­ нет своего наинизшего положения.

Центры тяжести обеих частей могут лежать в одной и той же плоскости, но по противоположным сторонам от оси вращения, как это показано на рис. 6, б, и на таких расстояниях по радиусу, что центр тяжести С всего тела будет располагаться точно на оси вращения. В этом случае тело будет уравновешено в статических условиях, но при вращении на ротор будет дей­ ствовать возмущающий момент от центробежных сил Р. Этот момент повора­ чивается вместе с телом и вызывает колебания основания. Такой случай на­ зывается динамической неуравновешенностью.

В наиболее общем случае центры тяжести Сх и С2 могут лежать в раз­ личных сечениях по оси и при вращении на тело будет действовать система из двух сил, образованная центробежными силами Р и Q, как это показано на рис. 6, г. Эту систему сил можно всегда свести к моменту, действующему в осевом сечении, и к радиально направленной силе, т. е. одновременно будет иметь место статическая и динамическая неуравновешенность.

Во всех случаях можно произвести полное уравновешивание путем прикрепления к ротору дополнительных грузов в каждом из двух произ­ вольно выбранных плоских поперечных сечений при условии, что известны положение и величина неуравновешенности. Для определения этой неурав­ новешенности используются различные типы балансировочных машин. Ба­ лансировочная машина обычно представляет собою такое устройство, в ко­ тором любая неуравновешенность ротора, встречающаяся при испытании, усиливается с помощью эффекта резонанса. В балансировочных машинах старого типа колебания наблюдались визуально или регистрировались гра­ фически. Иногда колебание устранялось с помощью регулировочных компен­ сирующих грузов. В более совершенных конструкциях, таких как выпус­ каемые компанией «Тиниус Олсен» в Филадельфии (Tinius Olsen Со. of Phi­ ladelphia), используется электрическая запись. В балансировочной машине Гишолта «Динетрик» (Gisholt «Dynetrie» balancing machine) все операции производятся автоматически с помощью электрической схемы.

Испытания с высокоскоростными машинами показали, что, хотя балан­ сировка, проведенная на балансировочной машине в цехе, может демонстри­ ровать хорошие результаты, тем не менее, поскольку эти испытания про­

водятся при относительно низкой скорости, при эксплуатации, где рабочие скорости высоки, неуравновешенность может возникнуть из-за небольших изменений в распределении массы. Поэтому также необходимо приводить условия, при которых проводится уравновешивание, к скоростям при нор­ мальных рабочих режимах. С этой целью ротор располагается в цехе на жестких опорах, или в рабочих условиях после того, как он установлен в машину. Величина и размещение корректировочных грузов может быть най­ дена при помощи измерения амплитуды колебаний основания, которая за­ писывается на виброметре.

УРАВНОВЕШИВАНИЕ КРИВОШИПНО-ШАТУННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Для расчета неуравновешенных сил в одноцилиндровом кривошипно­ шатунном механизме вес движущихся частей следует разделить на вес уз­ лов с возвратно-поступательным характером движения и на вес вращающих­ ся узлов. Вес узлов с возвратно-поступательным движением WBnсоставляет поршень и часть шатуна. Для того чтобы найти эту часть, шатун кладется горизонтально на две чашки весов, на одну из которых укладывается конец, крепящийся к кривошипу, на другую — конец, крепящийся к поршневому кольцу. Найденная таким образом часть веса, относящаяся к концу, кре­ пящемуся к поршневому кольцу, должна быть добавлена к весу поршня, и таким образом находится вес узлов, совершающих возвратно-поступательное движение. Вес вращающихся частей WBPтакже состоит из двух частей. Пер­ вая из них представляет собою вес, выбранный так, что, если его сосредото­ чить в центре кольца кривошипа, он вызовет ту же центробежную силу, что и вся конструкция кривошипного механизма, включая противовесы; вторая часть состоит из веса шатуна, найденного указанным выше способом. Сумма этих двух составляющих дает вес вращающихся узлов WBp. Ясно, что величина WBр всегда положительна; в то время величина WBnможет ста­ новиться равной нулю или даже отрицательной при уравновешивании ко­ ленчатого вала.

Знакопеременные неуравновешенные силы, вызванные этими двумя весами, обычно разделяются на первичные силы, меняющиеся в течение од­ ного оборота, и вторичные силы, меняющиеся дважды за один оборот. Для случая одного колена эти силы имеют вид

П (направленные вдоль оси цилиндра: *(И7Вп + WBf>)co2r/g = Fu Первичные j направленные поперек оси цилиндра: WBp o2r/g = F2.

(направленные вдоль оси цилиндра: WBn®2r2/gl = F3, Вторичные {направленные поперек оси цилиндра: D.

В этих выражениях введены следующие обозначения: г — радиус кри­ вошипа; / — длина шатуна, представляющая собою расстояние между цент­ рами опорных поверхностей; со — угловая скорость вращения двигателя в радианах в секунду. При помощи противовесов одна из первичных состав­ ляющих может быть сведена к нулю, но другая первичная составляющая, так же как и вторичная, не могут быть устранены.

В двухцилиндровом двигателе с кривошипами, расположенными под углом 180°, обе первичные силы равны и противоположно направлены в каждом из цилиндров, так что двухцилиндровый двигатель является урав­

ПОГЛОТИТЕЛИ КОЛЕБАНИЙ

Уравновешивание машин никогда не может быть абсолютно идеальным, поэтому в них всегда существует некоторая неуравновешенность, в резуль­ тате которой появляются инициирующие возбуждающие силы, вызывающие колебания. Для того чтобы снизить влияние возбуждающих сил на фунда­ мент машины и воспрепятствовать передаче колебаний зданию, между ма­ шиной и фундаментом вводятся специальные гибкие элементы. Обозначим через W вес машины, через Q sin со£ — приложенную вертикальную силу

(рис. 7), которая обычно возникает изза неуравновешенности. Если машина жестко прикреплена к основанию, то на фундамент будет полностью пере­

даваться возбуждающая сила. Если между машиной и фундаментом ввести упругие пружины в качестве поглотителя колебаний, то можно получить значительное снижение усилий, передаваемых на опору. Необходимо только спроектировать пружины поглотителя таким образом, чтобы период Тп собственного колебания машины W на пружинах был больше, чем период колебания Т = 2л/оо машины. Тогда колебания будут снижены согласно формуле (13), по сравнению с теми перемещениями, которые могли бы быть вызваны возмущающей силой Q sin со/ при статических условиях. Силы, передаваемые на фундамент, пропорциональны сжатию пружины, поэтому они также будут снижаться в том же отношении. Если пренебречь демпфи­ рованием и взять для примера Тп1Т = 4, т. е. скорость в рабочих условиях

вчетыре раза больше скорости, соответствующей резонансу, то из формулы

(13)можно найти, что амплитуда вынужденных колебаний составляет только 1/15 от статического прогиба, или что сила, передаваемая на фундамент,

будет снижена до 1/15 от приложенной.

В реальных условиях зачастую бывает трудно спроектировать погло­ титель главным образом из-за ограниченности пространства. Трудно найти достаточно пространства для размещения пружин, которые были бы доста­ точно сильными, чтобы передать нагрузку на основание, и в то же время до­ статочно гибкими, чтобы сделать скорость, соответствующую резонансу си­ стемы, малой по сравнению с рабочей скоростью. На рис. 8 показана схема поглотителя колебаний для мощного однофазного генератора. Для того чтобы уменьшить влияние пульсаций крутящегося момента, устанавливаются гибкие пружины. Введением специальных ограничителей исключается воз­ можность бокового перемещения статора, и остается только одна степень свободы в виде вращения вокруг оси О.

Пусть через k будет обозначен момент, необходимый для того, чтобы вызвать такие статические деформации пружин, которые позволяют статору повернуться вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, на угол

в 1 рад\ I — момент инерции статора относительно той же оси. Тогда период крутильных колебаний статора (см. формулу (25), приведенную ниже) за­ пишется так:

Если не учитывать демпфирование, то понижение крутящего момента, пере­ даваемого на фундамент, можно выразить следующим образом:

В большинстве случаев для установки можно использовать различной формы стальные пружины. Доступны и удобны в применении резиновые амортизаторы. Резина обычно работает на сдвиг, она прикрепляется к сталь­ ным обоймам, которые могут в свою очередь крепиться к машине и к фунда­ менту с помощью обычного болтового соединения. Они изготовляются ком­ панией «Гудрич, Акрон», штат Огайо (Goodrich Со., Akron, Ohio), называ­ ются виброизоляторами и имеют различные размеры. Для проектирования резиновых опор в остальных случаях необходимо рассчитать характеристики, определяемые перемещениями каждой конструкции. Так как эти переме­ щения обычно велики по сравнению с первоначальными размерами резины, здесь уже нельзя применять обычные формулы сопротивления материалов г.

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ

Простейший случай крутильных колебаний изображен на рис. 9, где показан круговой диск, присоединенный к валу. Если закрутить вал, в системе могут возникнуть крутильные колебания. Пусть G — модуль уп­ ругости при сдвиге; 1Р— полярный момент инерции кругового поперечного

вала при колебаниях. Дифференциальное уравнение крутильных колеба­ ний будет

В случае системы, состоящей из двух дисков, соединенных друг с другом

спомощью вала (рис. 10), диски при колебаниях будут всегда вращаться

1S m i t h J. F. D. Rubber mountings. Transactions of the American Society of Mecha­ nical Engineers, 1938, Ser. E, vol. 5, N 1, p. 13— 23.

в противоположных направлениях, при этом будет существовать узловое поперечное сечение т—/г, которое при колебаниях будет оставаться в покое. Расстояния 1г и /2 от этого сечения дисков будут обратно пропорциональны моментам инерции дисков. Отсюда 1Х= / / 2/(/1 + / 2) и /2 = U J(h + Id- Подставляя 1Хи / х вместо / и / в формулу (25), получаем следующие зависи­ мости для системы, изображенной на рис. 10:

Если вал имеет переменное поперечное сечение, то такой вал можно всегда заменить эквивалентным валом постоянного поперечного сечения, обратив внимание только на то, что участок вала длиной I и диаметром d можно за-

менить, не изменяя угла закручивания вала, на участок длиной/0 и диамет­ ром d0 при условии, что

В случае коленчатого вала (рис. 11) задача о жесткости на кручение зависит от условий закрепления в опорах.

Допустим, что зазоры в подшипниках таковы, что при кручении воз­ можны свободные перемещения поперечных сечений т — п и тх— п^. То­ гда каждое колено может быть заменено эквивалентным валом постоянного

жесткость на кручение шатунной шейки; В = fu?EI12 — изгибная жесткость щеки; Ъ— половина длины опорных подшипников; a, dlf d2 и т. д.— разме­ ры, указанные на рис. 11.

Fи Fx— поперечные сечения соответственно шейки и стенки.

Вдействительных условиях длина эквивалентного вала будет зависеть

от величины зазора и ее значение будет занимать промежуточное положение между двумя значениями, соответствующими крайним случаям, которые описываются формулами (28) и (29).

Можно сделать вывод, что прогиб х стремится к быстрому росту по мере при­ ближения со к р %т. е. тогда, когда число оборотов вала в секунду прибли­ жается к частоте поперечных колебаний вала и диска. Критическая ве­ личина скорости

При скоростях, больших критической, центр тяжести С будет располагаться так, как это показано на рис. 13, б, а уравнение для определения х будет иметь вид

Wсо2 (х — e)/g — kx.

Откуда

х = е![ \— (со^/сй2)].

Можно заметить, что для скоростей, выше критических, с увеличением со прогиб х уменьшается и достигает предела, равного е, т. е. при очень высоких скоростях центр тяжести диска смещается на линию, соединяющую точки опор, и изогнутый вал вращается уже вокруг центра тяжести С.

Таким образом, критическая скорость вращающегося вала есть такая скорость, при которой его упругие силы полностью нейтрализованы, поэто­ му они не способны оказывать сопротивление изгибу. Эта критическая ско­ рость численно равна частоте колебания вала с диском, укрепленном на нем, если его изогнуть внешней силой в состоянии покоя. Ее величина зависит от длины вала, различных его диаметров, характера закрепления, от вели­ чины и распределения нагрузок, которыми нагружен вал. Однако она не зависит от того, в каком положении находится вал: горизонтальном или

такие геометрические размеры, что статические прогибы в точках приложе­ ния этих нагрузок для случая горизонтального расположения вала (хотя в действительности он может быть и в вертикальном положении) будут со­

Разница между величиной, полученной при использовании в этой формуле статических нагрузок W и соответствующих им прогибов у, и точным зна­ чением не превышает одного процента. Повторяя вычисления, используя

что является более точным значением критической скорости, так как ве­ личины Ую, Уза, гораздо лучше соответствуют упругой оси вала при кри­ тической скорости. Аналогично, опять повторяя вычисления с величинами WlyXa, W2y2a В качестве нагрузок и находя соответствующие им про­ гибы ухЬ, у2Ь... , получаем более близкое приближение к действительной ве­ личине критической скорости. Если, однако, не проявить исключительного внимания к тому, чтобы избежать накопления ошибок при расчете, то уве­