книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Для того чтобы вычислить прогиб посередине пролета за счет упру­ гой деформации троса, вызванной подвижной нагрузкой, используем при­ ближенную формулу (9), в которой необходимо заменить Я на Я — Hw. Тогда прогиб, вызванный удлинением троса, будет

Значения отношения H/Hw для различных п, вычисленные на основе вы­ ражения (10), приведены в последнем столбце таблицы 1. Принимая для

приложенной посередине пролета. Эта сила может рассматриваться как нагрузка, распределенная вдоль очень малого участка длины пролета, и формула (11) может использоваться также и в этом случае. Как следует из обозначений (f),

где ф — отношение подвижной нагрузки Р к постоянной нагрузке Q моста. Подставляя в формуле (11) ф вместо пг и нуль вместо г, получаем

В случае мостов большого пролета сосредоточенная сила Р мала по сравнению с постоянной нагрузкой Q моста и ф есть величина малая. Тогда, раскладывая квадратный корень в знаменателе выражения (12) в ряд и сохраняя только три первых члена ряда, получаем

и формула (12) теперь дает

/= /„ (i + 4-i>— 1 -tj.

Следовательно, прогиб троса от действия сосредоточенной силы, прило­ женной в середине пролета, будет

<13>

Полагая, например, ф = 0,01 (в случае упомянутого моста в Вашингтоне это значение соответствует сосредоточенной нагрузке в 570 т) и fw/l = 0,1, получаем Д/ — 0,000489/, т. е. очень малый прогиб. Для того чтобы найти прогиб вследствие упругого удлинения троса, вызванного сосредоточен­ ной силой, вычислим сначала изменение Н — Hw в горизонтальной рас­ тягивающей силе.

Формула (10) в этом случае дает

Тогда

H ~ Hw = 4 ~ Н'А(1 + "Г ^ )*

Подставляя это выражение для Н в формулу (9), находим

чай несимметричного распределения равномерной подвижной нагрузки может быть изложен подобным же образом. Рассмотрим теперь общий

изгибающий момент, вычисленный как для простой балки, равен зл^+ЗЛр, а горизонтальная составляющая натяжения троса будет Hw-\-Hp. Обозна­ чив через г) вертикальные перемещения троса, из уравнения моментов получим

Ww + Wp

Видно, что вертикальные перемещения ]г\ могут быть легко вычислены при условии, если известна горизонтальная составляющая Нр усилия натяже­ ния троса, вызванного подвижной нагрузкой. Эта последняя величина может быть найдена из геометрических соображений.

Рассмотрим бесконечно малый элемент аЬ троса (рис. 3). Под действи­ ем подвижной нагрузки этот элемент несколько удлиняется и занимает новое положение Обозначим через £ и т] горизонтальную и вертикаль­ ную составляющие малого перемещения точки а. Начальная длина эле­ мента получается из уравнения

d s2, = d x 2 + d i f . (k)

3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ВИСЯЧИХ МОСТОВ

Как видно из предыдущего обсуждения, прогиб троса, вызванный подвижной нагрузкой, мал только в случае тяжелых мостов большого пролета. В других случаях прогибы могут быть значительными. Для того чтобы уменьшить их, обычно вводятся подкрепляющие фермы. Простей­ шая конструкция такого типа, показанная на рис. 4, состоит из однопро­

удлинением подвесных тяг и их малым поворотом в процессе деформации. Пред­ полагается, что расстояние между подвесными тягами мало по сравнению с

длиной пролета, так что действие подвесных тяг на трос и на ферму может рассматриваться как равномерно распределенное вдоль пролета.

Рассмотрим сначала случай, когда конструкция несет только постоян­ ную нагрузку. Ферма в этом случае не подвергается изгибу, а уравнение моментов сил слева от поперечного сечения тп (см. рис. 4) дает

В случае, когда прикладывается подвижная нагрузка, вызывающая про­ гиб г], возникают изгибающий момент М, действующий в поперечном се­ чении тп фермы, и уравнение моментов сил, расположенных слева от этого поперечного сечения, есть

Вычитая уравнение (а) из уравнения (Ь), получаем

Из этого уравнения может быть вычислен изгибающий момент в любом поперечном сечении фермы при условии, что известны горизонтальная составляющая растягивающей силы троса и прогиб TJ.

В случае очень жестких подкрепляющих ферм прогибом можно пре­ небречь и тогда

Этот изгибающий момент не зависит от прогибов и может быть определен методами, используемыми для анализа жестких статически неопределен­ ных конструкций. Исследования показывают, что подкрепляющие фермы мостов большого пролета обычно очень гибкие и при вычислении изгибаю­ щих моментов надо прибегать к помощи более полного уравнения (19), ко-

торое требует вычисления прогиба т) фермы1. Используя для фермы диф­ ференциальное уравнение упругой линии балки

Е1 dxd2г]2 = - м ,

а также уравнение (19), получаем следующее уравнение для вычисления ц:

распределения подвижной нагрузки по пролету. Величины у и Нтдаются

фа 2. Уравнение (21) совместно с выражением (16) полностью определяют перемещения подкрепляющей фермы. При решении этих уравнений ис­ пользуется метод последовательных приближений. Положим Нр равным некоторой величине, например, значению, полученному для неподкреплен­ ного троса, и для этого значения решим уравнение (21). Полученное выражение для т] подставим в интегралы правой части зависимости (16). Так как Нр было принято произвольным, результат этой подстановки обычно не будет равен левой части выражения (16), и необходимо повто­ рить вычисления с вновь выбранным значением Нр. Эти пробные вычисле­ ния продолжаются до тех пор, пока не получим Нр с заданной точностью. Процедура вычисления будет подробно обсуждаться в следующих двух парагр афах.

Обсудим теперь, как точны зависимости (16) и (21) и какова величина ошибок, вводимых в эти уравнения пренебрежением различными малыми величинами в процессе их вывода. Начнем с обсуждения удлинения троса. При выводе формулы (т) параграфа 2 пренебрегалось приращением про­ гиба троса, вызванного подвижной нагрузкой. Принимая во внимание

Используя это более точное выражение для Ads, получаем вместо урав­

Последний член в правой части этого уравнения представляет требуемую поправку. Так как Hp/EJ^c обычно меньше 1/1000, можно сделать вывод,

1 Дж. Мелан был первым, кто показал важность рассмотрения прогибов при

анализе висячих мостов. (Me 1a n J. Eiserne Bogenbrucken und Hangebrucken. Dritte vermehrte Auflage. Leipzig, 1906, 431 S. (Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Bd 2, Abteilung 5). Перевод на английский язык: М е 1a n J. Theory of arches and suspension brid­ ges. Translation by D. B. Steiman. Chicago. M. C. ClarkPublischingCo., 1913, 303 p.) Теория Мелана широко использовалась при анализе висячих мостов большого пролета.

что вертикальное расстояние между сплошной и пунктирной кривыми, обозначенное т] на рис. 4, более точно равно т] — Ыу/dx (см. рис. 3). От­ метим также, что каждый элемент нагрузки, передаваемой тросу и при­ ближенно равной — dx(Hw + Hp)d2y/dx2, имеет горизонтальное смеще­ ние £, которое вызывает изменение момента, возникающего в этом элементе,

— Ых (Hw+ Нр) .

С учетом этих двух соображений вместо выражения (19) получим следую­ щее более точное значение изгибающего момента:

Искомая поправка к изгибающему моменту представлена последними двумя членами этого выражения. Чтобы получить более ясное представ­ ление относительно величины этой поправки, вычислим интенсивность нагрузки, действующей на ферму. Эта интенсивность получается как вторая производная по х изгибающего момента (22), взятого с противоположным знаком, что дает

- = р + " » - а г + + " » > % - <д - + ж ( - £ - т ) ■ <23>

Последний член в этом выражении представляет собою поправку на го­ ризонтальные перемещения троса.

То же выражение для интенсивности нагрузки на ферму получается также и другим способом — вычитанием интенсивности направленной вверх силы натяжения подвесных тяг на ферму из суммарной интенсив­

Направленная вверх сила натяжения, распределенная по длине dx фермы в точке х, есть направленная вниз сила натяжения, распределенная по горизонтальной длине dx [1 + (dt/dx)] изогнутого троса при х + £. Следо­ вательно, требуемая интенсивность нагрузки на ферму будет

Подставляя для q его выражение (с) и пренебрегая малыми членами более высокого порядка, получаем предыдущее выражение1 (23).

Подставляя вместо £ в последнем члене выражения (23) первые два члена выражения (15), найдем, что поправка к интенсивности нагрузки

1 Поправка, обусловленная горизонтальным смещением £ троса, обсуждалась в не­ давно опубликованной работе Р. Аткинсона и Р. Саутсвелла ( A t k i n s o n R. J., S o u ­

th e w e 11 R. V. Problem of stiffened suspension bridges and its treatment by relaxation methods. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 1939, vol. 12, N 5, p. 289—312. Discussion: p. 313—326; N 8, p. 453—456). Эти авторы не заметили члена — £ (dy/dx) в упомянутом выше выражении (с) и не получили удовлетворительного выражения для по­ правки.

Из предыдущего обсуждения можно сделать вывод, что первый член в пра­

ность нагрузки. Следовательно, суммарное влияние горизонтальных перемещений троса может считаться малым и в практических расчетах им обычно можно пренебречь. Для того чтобы принять во внимание этот эффект, нужно было бы начинать с решения уравнений (16) и (21). Зная т], вычисляем £ из уравнения (15) и более точное значение изгибающего мо­ мента— из уравнения (22).

Влияние растяжения подвесных тяг на величину изгибающего момента

щей фермы. Возьмем для этой цели дифференциальное уравнение изогну­ той оси балки в следующей форме:

ElJS r = ~ M + m E I ^ , (f)

в котором второй член в правой части представляет влияние поперечной силы на прогиб. Величина коэффициента т в этом члене зависит от вида конструкции, используемой для подкрепляющей фермы. В случае дву­ тавровой балки

the use of schools and engineers in professional practice, pt 1—3, 9th edition, N. Y ., Wiley,

В случае фермы, изображенной на рис. 5, имеем 1

нели.

Подставляя вместо М в уравнение (f) его выражение (19), получаем

Это уравнение такого же типа, как и уравнение (21), и видно, что влияние

где e — коэффициент линейного температур­ ного расширения; Hs — горизонтальная со­ ставляющая растягивающей силы, вызванная в тросе совместным дейст­

вием подвижной нагрузки и изменением температуры. Используя форму­ лу (i) вместо выражения (ш) предыдущего параграфа и вводя обозначение

о 4 7

Это выражение должно быть использовано вместо зависимости (16) в слу­ чае, если рассматривается совместное действие подвижной нагрузки и изменения температуры.

4. РАСЧЕТ ПОДКРЕПЛЯЮЩИХ ФЕРМ

Начнем со случая действия на ферму одной сосредоточенной силы Р. Дважды дифференцируя уравнение (21), найдем, что прогибы фермы при этом такие же, как прогибы свободно опертой балки, подверженной совместному действию осевой растягивающей силы Hw + HPf равномерно распределен­