книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Fundamentals of the theory of elasticity.

Handbook of experimental stress analysis. Edition by M. Hetenyi. New York, John Wiley and Sons, Inc.; London, Chapman and Hall, Ltd, 1950, p. 1013— 1034.

ВВЕДЕНИЕ

Напряжение. Рассмотрим представленное на рис. 1 тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил Рг, ..., Р7. Говорят, что такое тело находится в напряженном состоянии. Для того чтобы изучить внутренние силы, возникающие при этом в теле, разделим тело плоскостью т— т на две части А и В и рассмотрим одну из этих частей, например часть А. Эта часть находится в равновесии под действием внешних сил Рб, ..., Р1 и внут­ ренних сил, равномерно распределенных по плоскости т — т и представ­ ляющих собою действие материала части В на материал части А. Величина этих последних сил определяется их интенсивностью, т. е. величиной силы на единицу площади плоскости, на которой они действуют. Эта интенсив­ ность, обычно измеряемая в килограммах на квадратный сантиметр, назы­ вается напряжением. В простом случае, когда призматический стержень подвергается растяжению силами, равномерно распределенными по концам (рис. 2), внутренние силы также равномерно распределены по попереч­ ному сечению стержня т — т и напряжения могут быть получены, если полное значение растягивающей силы Р разделить на площадь поперечного сечения F. В общем случае, изображенном на рис. 1, напряжения по плоскоссти т — т распределены неравномерно и для того чтобы получить зна­ чение напряжения в некоторой точке О этой плоскости, возьмем элементар­ ную площадку бF в окрестности этой точки и предположим, что силы, дей­ ствующие на этой площадке и представляющие собой действие частиц час­ ти В на частицы части Л, сводятся к равнодействующей 8Р. Если теперь равномерно стянуть элементарную площадку бF, в пределе получим отноше­ ние бP/8F, которое определит величину напряжения, действующего на плос­ кости т — т в точке О. Направление равнодействующей бР будет совпадать с направлением этого напряжения. В общем случае направление напряжения наклонно к площадке б/7, на которой оно действует, и обычно оно расклады­ вается на две составляющие: нормальное напряжение, перпендикулярное к площадке б/7, и касательное напряжение, действующее в плоскости площадки.

Обозначения для сил и напряжений. Будем различать два вида внешних сил, которые могут действовать на тело. Силы, распределенные на поверх­ ности тела, такие как гидростатическое давление или давление одного тела на другое, называются поверхностными силами. Силы, распределенные по

Распределенные силы, отнесенные к единице поверхности, обычно разделяют­ ся на три составляющие, параллельные координатным осям; для этих со­

ставляющих будут использованы обозначения X, У, Z. Сосредоточенные силы, действующие на поверхности тела, представляют собой частный случай по­ верхностных сил, когда конечная сила распределена на очень малой площа­

ди, так что интенсивность силы становится очень большой. Объемные силы,

ш

отнесенные к единице объема, также будут разделены на три ортогональные составляющие, а эти составляющие будут обозначены через X , У, Z.

В дальнейшем, имея дело с напряжениями, будем использовать букву о для обозначения нормальных напряжений и букву т для обозначения каса­ тельных напряжений. Для того чтобы зафиксировать направление плоскости, на которую действуют напряжения, буквы а и т будут сопровождаться ин­

Тг2, параллельные осям у и г. В этом случае используются два буквенных индекса; первый обозначает направление нормали к рассматриваемой плос­ кости, второй— направление напряжения. За положительное направление составляющих касательного напряжения, действующего на одну из сторон вырезанного элемента, взято положительное направление координатных осей, если растягивающее напряжение, действующее на ту же самую сторону,

Если эти шесть составляющих известны, то напряжение на произволь­ ной наклонной плоскости, проходящей через ту же самую точку, можно найти из уравнений равновесия следующим образом. Пусть О принадлежит телу, находящемуся в напряженном состоянии, и предположим, что напряже­ ния для трех координатных плоскостей известны (рис. 5). Для того чтобы получить напряжение для любой наклонной плоскости, проходящей через точку О, возьмем плоскость BCD, параллельную этой плоскости и прохо­ дящую вблизи точки О таким образом, чтобы эта последняя плоскость вмес­ те с координатными плоскостями вырезала из тела очень малый четырех­

ра В/, Вт, Вп, перпендикулярных соответственно к осям х, у, г. Пусть X, У, Z есть три составляющие напряжения, действующего на наклонной гра­ ни BCD. Тогда составляющая в направлении оси х силы, действующей на

грань BCD, равна FX. Составляющими в направлении оси л;сил, действую­ щих на три другие грани элемента, будут — В7ах, —FтгХу, — Рптхг. Соот­ ветствующее уравнение равновесия имеет вид

FX — Flox— Frmxy— Fnxxz = 0.

Аналогичные уравнения можно записать так же и для осей у и г. Произведя сокращение на общий множитель F, получим следующие выражения для сос­ тавляющих X, У, Z напряжения, действующего на наклонную плоскость, положение которой определяется направляющими косинусами /, т , п:

н а п р я ж е н и я . Зная составляющие X, У, Z напряжения, действующего на наклонную плоскость (уравнение (2)), можно получить нормальное на­

пряжение на этой плоскости^спроёктировав X, У, Z на направление норма­ ли N, т. е. ап = XI + Ym + Zn.

Подставляя сюда выражение (2) для X, T,~Z, получаем

Изменение оп по отношению к величине на нормали N можно геометри­ чески представить следующим образом. Возьмем из точки О (см. рис. 5) как из начальной точки в направлении нормали N вектор, длина г которого обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной величины на­ пряжения оп. Тогда, если k — произвольно выбранная постоянная,

Если плоскость BCD поворачивать вокруг точки О, конец вектора г будет всегда лежать на поверхности второго порядка, описываемой уравнением

(4). Эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием в точке О (см. рис. 5) и не зависит от выбора координатных осей х, г/, г. Если изменять направление этих осей, то поверхность, задаваемая уравнением (4), будет оставаться неизменной, и только составляющие напряжения оХУ ° 2» Tyz> Тху>появляющиеся в качестве коэффициентов в уравнении (4), будут изменяться. Из геометрии известно, что для случая поверхности вто­ рого порядка, такой же как и описываемой уравнением (4), всегда для осей

.v, у, г можно выбрать такие направления, что члены этого уравнения, со­ держащие произведения координат, обратятся в нуль. Это означает, что всегда можно найти такие три взаимно перпендикулярные плоскости, для которых тyz, %zx, хху обратятся в нуль, т. е. соответствующие равнодейству­ ющие напряжений перпендикулярны к плоскостям, на которые они дейст­ вуют. Эти плоскости называются главными плоскостями, а напряжения, дей­ ствующие на них, главными напряжениями. Соответствующие координатные оси называются главными осями.

Если х, //, г есть главные оси, то ту2у тгх, тху равны нулю, и уравнение (2)

Можно видеть, что, зная главные направления и главные напряжения ох, Gy, а2, можно вычислять составляющие напряжения на любой наклонной площадке, а равнодействующее напряжение s найти из выражения

Составляющая оп этого напряжения в направлении нормали к плоскости в соответствии с выражением (3) имеет вид

На основе этого выражения можно сказать, что максимальное касательное

Рассмотрим теперь изменение угла между двумя элементами ОА и ОБ (рис. 7), которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Если и и v суть перемещения точки О в направлении осей х и у, то перемеще­ ние точки А в направлении оси у и точки В в направлении оси х будут со­ ответственно v + (dv/dx) dxnu + (ди/ду) dy. Благодаря этим перемещениям новое положение О'А' отрезка ОА будет составлять с первоначальным на­ правлением, указанный на рисунке малый угол, равный dv/dx. Таким же образом можно найти, что направление О'В' составляет с направлением ОБ малый угол ди/ду. Отсюда можно видеть, что первоначально прямой угол АОВ между двумя отрезками ОА и ОБ уменьшается на величину, равную dv/dx + ди/ду. Эта величина представляет собой деформацию сдвига между плоскостями xz и yz. Подобным же образом можно найти деформации сдвига между плоскостями ху и xz и плоскостями ух и yzx.

Будем использовать для обозначения относительного удлинения бук­ ву е, а для обозначения деформации сдвига — букву у. Для обозначения на-