книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

поверхность прогибов может быть представлена в форме

т—1

Получив выражения для угла наклона, вызываемого моментами Мх и Ми из (18) и (19) и используя известное решение для свободно опертой прямо­ угольной пластины при действии гидростатического давления для опреде­ ления констант Ати Вт , снова найдем две бесконечные системы уравнений, подобные уравнениям (17).

Случай сосредоточенной нагрузки может быть исследован подобным же образом. Возьмем в качестве простого примера квадратную пластину, нагруженную в центре. Решение для свободно опертых краев известно1. Поверхность прогибов при этом такова:

Для того чтобы вычислить изгибающие моменты вдоль защемленных краев,

Имея значения момента, получаем прогиб пластины методом наложений. Величины моментов в середине длинных сторон пластин для различных

соотношений сторон прямоугольника приводятся ниже:

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСТЯНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

Общее выражение для линии прогиба колеблющегося растянутого стержня с шарнирными концами (см. рисунок) может быть принято в форме ряда

т=\

Для определения обобщенных координат qm рассмотрим энергию колеблю­ щейся системы. Полагая, что плоскость ху есть плоскость симметрии стерж­ ня, и обозначая через EI соответствующую изгибную жесткость (которая считается постоянной вдоль длины стержня), получаем для энергии дефор­ мации изгиба выражение

/

При вычислении энергии деформации растяжения полагаем, что прогибы при колебании стержня очень малы, так что растягивающая сила S в стерж­ не может рассматриваться при колебании как постоянная величина. В этом случае изменение энергии растяжения, обусловленное прогибом, будет

/

Суммарная энергия деформации, вызванная прогибом,

Кинетическая энергия колеблющегося стержня

/

(5)

где F — площадь поперечного сечения стержня; у — вес единицы объема материала.

межутку времени, в течение которого возмущающая сила Р проходит рас­ стояние, равное удвоенной длине стержня.

Если сила Р движется очень медленно, то в выражении (13) можно положить v = 0; vt = а. Тогда получим статический прогиб стержня, вызванный силой Ру приложенной на расстоянии а от левого конца. Этот статический прогиб

Когда а2 мало, т. e. когда растягивающая сила S мала по сравнению с эйле­

Это выражение определяет статический прогиб балки без учета осевого растяжения.

Другой крайний случай получается, если пренебречь единицей по

— скорость распространения звука вдоль стержня; г = V IIF — радиус инерции поперечного сечения стержня. При этой скорости движения воз­ мущающей силы Р знаменатели первых членов обоих рядов выражения (13) стремятся к нулю, а разность этих членов, дающая главную часть прогиба, будет

Это значение становится максимальным при рxvt = я, т. е. когда возму­ щающая сила Р достигает правого конца стержня (см. рисунок). В этот момент выражение (19) принимает вид

л3Е/( 1 + a 2) sin Т *

что примерно на 50% больше, чем статический прогиб стержня при действия силы Р, приложенной в середине пролета.

В случае очень гибкого стержня, подверженного действию высоких растягивающих напряжений о = S/F, можно положить (см. обозначение (8))

и выражение (13) принимает вид

Это выражение представляет собой колебания, вызванные в гибкой про­ волоке постоянной силой Р, движущейся со скоростью V.

Рассмотрим теперь условие резонанса, при котором

Подставляя это критическое значение скорости перемещения в выражение (21), получаем

оо

В момент, когда движущаяся сила Р покидает пролет, vt = I, и выражение (23) дает

Видно, что в это т момент форма колебания проволоки представляется пря­ мой линией, наклоненной к горизонтали, и что имеет место резкое изме­ нение прогиба на правом конце пролета. Этот вывод объясняется допуще­ нием, положенным в основу соотношения (20), что справедливо только для совершенно гибкой нити. Вследствие изгибной жесткости проволоки линия прогиба в точке действия силы Р всегда будет иметь некоторую конечную кривизну, и никогда не возникнет такого резкого изменения прогиба, как это следует из выражения (24). Однако можно ожидать резкого изменения прогиба на правом конце проволоки в случае, если скорость перемещения достигает критического значения, определяемого

найдем, что критическая скорость v = 58 м/сек, т. е. достаточно близка к скоростям железнодорожного движения. Чтобы исключить возможность динамического воздействия на опоры, необходимо использовать более вы­ сокое растягивающее напряжение в проволоке, чтобы соответствующие критические скорости лежали далеко в стороне от предела скоростей, исполь­ зуемых на практике. Например, принимая о = 0,002£, найдем критиче­ скую скорость v = 116 м/сек, которая уже достаточно далека от прак­ тического диапазона скоростей.

теория висячих МОСТОВ

Часть I

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе обсуждаются различные методы анализа вися­ чих мостов и приложение этих методов к некоторым конкретным мостам. В параграфах 1 и 2 рассматриваются случаи совершенно гибких тросов и неподкрепленные висячие мосты, а также выводятся уравнения для вы­ числения прогибов и изменений натяжения троса, вызванных подвижной нагрузкой. Показано также, что в случае тяжелых висячих мостов боль­ шого пролета прогибы, вызванные подвижной нагрузкой, очень малы и подкрепляющей фермы не требуется. В параграфе 3 выводятся основные уравнения для подкрепленных висячих мостов, а также подробно обсуж­ даются ошибки, вводимые в эти уравнения различными предположениями, обычно используемыми в процессе вывода. В параграфе 4 анализируется однопролетный подкрепленный висячий мост и показано, что вывод не­ обходимых уравнений упрощается путем применения метода наложения. Для определения наиболее неблагоприятного распределения подвижной нагрузки рекомендуется использовать линии влияния. В параграфах 5 и 6 обсуждается применение тригонометрических рядов для вычисления прогибов и показывается, что при использовании этих рядов значитель­ но упрощаются не только вычисления прогибов и изгибающих моментов, но также и более точно может быть вычислено натяжение троса, вызван­ ное подвижной нагрузкой. В параграфе 7 обсуждается теория висячих мостов с неразрезной подкрепляющей фермой и выводятся уравнения для натяжения троса, вызванного подвижной нагрузкой, а также для изги­ бающих моментов в пилонах. Использование метода наложения значи­ тельно упрощает вывод этих уравнений. В последнем параграфе обсуж­

тикальной нагрузки. Тогда ордината у произвольной точки С троса полу-