Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

рех опорах, причем прогибы уг и у2 двух средних опор известны. Поступая как и прежде и вводя вместо сосредоточенной непрерывно распределенную нагрузку, получаем для удельных нагрузок, действующих на первую и вто

рую поперечные балки,	выражения
^	к1Уг —	п	<?г — КУх —
~d~ = Q1 —	к1Уг —	=	<?г — КУх —
Полагая в первом приближении
	ЛХ	, у2 =	ЛХ
у{ = ахsin —		, у2 =	а.гsin —

и используя при определении прогиба выражение для потенциальной энер гии деформации, для коэффициентов ахи получаем следующие уравнения:

п	—	2/3	/	2/	п	atktl	а.,/?,/
п	—	£/я4	1	л	п	2	2
а1 —'		£/я4	\	л		2	2
п	—	2/3	( 2 ‘		а	axk2l	a2k2l
Uo	—"	£/я4	\	Я		2	2 ,

При этом было сделано предположение о том, что обе поперечные балки об ладают одинаковой жесткостью. После того как определены коэффициенты аг и 02, вычисление опорных давлений Rx и R2 и прогибов параллельных балок не представляет никаких трудностей.

СЛУЧАЙ БОЛЬШОГО ЧИСЛА ПОПЕРЕЧНЫХ БАЛОК

В случае большого числа поперечных балок (см. рис. 2) представим уравнение упругой поверхности в виде

со	оо	тл я	плу	/1Пч
V	V
w = 2 J 2J йтп sln— — sin			t ■•	(12)
m = 1 n =		1	1

При этом предполагалось, что балки свободно оперты по концам. Для того чтобы вычислить прогиб йэй продольной балки, в выражение (12) вмес то х подставим xt и обозначив для сокращения

Ani = ci\nsin	+ a2nsin —		+ a3nsin — - -	4-
найдем		CO
		CO
	(w)x=x =	Yi Am sin —7-^- •		(a)
	'	a=i	Zl

Совершенно аналогично для прогиба i-ой поперечной балки получаем вы ражение

	оо			т я *
(W)y=y. —	V	D	Sin	т я *	,
(W)y=y. —	2J	Вmi	Sin	j	,
где	m= I
где
Bmi = aml sin 4- + a,„2sin		*1	+	am3sin 4 +		(b)

После того как выражения для упругих линий всех балок найдены, можно перейти к определению потенциальной энергии изгиба. В дальнейшем

предполагаем, что все продольные балки обладают одинаковой жесткостью Е1Х и что жесткость всех поперечных балок равна EI. Тогда для потенциальной энергии деформации системы, состоящей из р вертикальных и г горизон тальных поперечных балок, получаем следующее выражение:

V =	n4E L	р	00	п*А2ш +	я *Е1	ij i	(13)
V =	т	- 2	2	п*А2ш +	4/3	ij i	(13)
						t=l т= 1

Определение коэффициентов апт, входящих в выражение (12), производится теперь из уравнения

дУ dcLnm— daгг	i h	-sin ппу dxdy,
дУ dcLnm— daгг	q sin	-sin ппу dxdy,	(14)
да„т	■ио о
да„т

где q — удельная нагрузка, которая распределена непрерывно по площади прямоугольника ОАВС (см. рис. 2).

Вслучае равномерного нагружения q является постоянной величиной

иуравнение (14) упрощается

~ ^ Г - У			, Л	sm — pi- +		2 m*Bmi sin		nnyi	^4qlh,m n
п 4Е11		i n		.	mnxi . п 4Е1	а п	•			(15)'
,	1	----			-	1=1		' i	-- m n
		1=	1

В дальнейших рассуждениях предположим, что продольные и поперечные балки расположены на равном расстоянии друг от друга, что, следователь но, дает:

sin-	l	= sin	; sin	nnyi	= sin-	r + 1
	l	— p + l	’ —	k	—	r + 1

Подставляя эти соотношения в уравнение (15) и используя также обозна чения (а) и (Ь), выражения для сумм представим в форме:

mni	sin	nni
Р +	1	рТ 'T -

МОЖНО показать, что эти выражения равны нулю, если т ф п и, кроме того, если числа т -f п и т — п одновременно делятся или одновременно не делятся на 2 (р -f- 1).

Далее действительны соотношения

mni

sin

nni

Р + 1

Р +

в случае, если т +

п кратно числу 2 (р +

1) и

mni

sin

nni

Р + 1

= 4

р + 1

Р +

если m — п кратно

2 (р +

1).

Для случая, когда т =

п, имеем

fflTll

у I

;—1

sin- ——у- = 0, если т делится на

(р +

Р “Г 1

mni

P + l

• 9

, если т

не делится

на

« v

, Sin^— -т-у =

—

(р

1).

р"• 1

Для практических расчетов используются только несколько первых членов в общем выражении для прогиба (12), и числа р и г продольных и поперечных балок относительно велики, так что в приведенных выше вы ражениях для сумм т (р + 1). Тогда от обеих сумм, стоящих в левой части уравнения (15), остается по одному члену, так что окончатель но получаем

п4	р +	1	л*Е1г	атп+	т* L ±1	л4£ /	4дПг	(16)
п4	2		21]	атп+	т* L ±1	~2/з атп	4дПг	(16)
	2		21]		2		п2тп
и отсюда			16qlyl*		___________ 1______
		0>тп —	16qlyl*		___________ 1______			(17)
		0>тп —	пвтпЕ1		т*(г+ 1) + п4(Р+ 1)			(17)
			пвтпЕ1

После определения коэффициентов ряда (12) можно легко вычислить про гиб каждой отдельной балки. Так, например, в случае нечетного числа поперечных балок прогиб средней балки определяется по формуле (12)

подстановкой в нее значения у = 1г/2:
П—1	п— I

(w)y=it/2 = sin-^г-		2 oin(— 1) 2 +			sin -^ —			2		а3п(— 1) 2 +
1	л=1,3,5...				'	1		«=1л= ,3,5‘ "...
											(18)
И далее с учетом выражения (16) имеем
		1W 4		V '				тпх
, „Л	_	1W 4		V '						Pft
		я « £ / ( г +	1)	М ш А	m / OT4	+	,	р +	1	Pft	\
				М ш А	m / OT4	+		_ Р + 1		_ ф _	\
				п=1,3.5...	\			г +	1	/3j	)
		оо			тпх
\6qlх/4					sin — -—						+
\6qlх/4					з4 (р +			1 )
Злв£ / (г +		1)		т т*					P iy
Злв£ / (г +		1)							P iy
		т=1,3.5...			r+ 1				i\i
		т=1,3.5...			r+ 1				i\i

Во многих случаях первый член этого ряда дает хорошее приближение, так что можно принять

/„А	_	W 4
	2	я «£ /(/-+ 1) 1 +	Р +	1	W i '
			' +	1	/*/

Сравнение этого результата со случаем, рассмотренным выше, показы вает, что прогиб средней поперечной балки в данном случае такой же, как и для стержня на упругом основании, равномерно нагруженного нагрузкой

qu где qx = —г~Ьт\ > а м°ДУль основания будет

Л ( Г

I )

L __	я4 (р + 1 )	El1
R~	г+ 1	Щ •

Сопоставляя это выражение с формулой (4), находим соответствующее значение для и:

___ /_ 4/ k _ 4Г я4(р+ I)/!/3

(19)

и ~ 2 V 4EI

64(г+1)/1?

Если и достигает значения я/2, то поперечная балка не поддерживает боль ше среднюю продольную и, таким образом, становится лишней. По формуле (19) балки могут быть спроектированы таким образом, что поперечные бал ки поддерживают в действительности все продольные балки. Значения и, вычисленные по формуле (19), позволяют найти соответствующие величины максимальных изгибающих моментов для поперечных балок из выра жения (7).

Продольные балки могут теперь рассматриваться как неразрезные балки, промежуточные опоры которых имеют определенную осадку, соответствующую прогибам поперечных балок.

Указанный метод может быть применен также для случая поперечных балок, обладающих различными жесткостями. В качестве примера рассмот

рим представленную на рис. 2 систему	перекрестных балок, состоящую
из одиннадцати продольных и пяти	поперечных балок. Предположим,

что жесткость средней поперечной балки вдвое больше жесткости осталь ных балок, ей параллельных, так что, следовательно, она равна 2EI. Что бы учесть в расчете такое увеличение жесткости средней поперечной балки, нужно к выражению (13) для потенциальной энергии деформации добавить еще одно слагаемое вида

я4Е/

{(# п — я 13 -f- й1ъ — ••• )2 + З4 (<з31 — а33 4 - азъ — •• •)2 4" •* •} •

4/?

Таким образом, вместо уравнения (16) получим следующее:

	и4 Р+ 1 л4£71				+ fft^	г + 1 я 4£ /
	f t *	п	о	& т п	+ fft^	Q	2/3 & т п +
		2	21]
	n*EI						П—1
+	n*EI	tfZ4(#ml — Qm3“1“ Cim5'					) ( - D 2	= - &	(20)
	2/з				—		) ( - D 2	= - &

Ограничимся девятью первыми членами ряда (12), которые позволяют получить девять уравнений вида (20) для определения девяти неизвестных коэффициентов amn. Эта система уравнений может быть приведена к трем группам по три уравнения таким образом, что каждая группа содержит только три неизвестных. Для сокращения записи обозначим

Р = /?/ ; N =	ql%
	12л°£7 *

Тогда первая группа уравнений (т = 1) может быть представлена в форме:

6Раи + Зап + (аи — а13+ а1Ь) = 967V; З4 6Ра134- За13 — (ап — а13+ а15) = 327V;

54 6Рй1ъ+ За16 + (ап — а134- а15) — ■^ N.

Произведем вычисления при Р = 0,438; тогда получим из приведенных выше уравнений

ап = 14,497V; а13 = 0,2147V; а15 = 0,0037V.

Совершенно аналогично определяем из остальных двух групп уравнений остальные коэффициенты:

а31 = 0,107N;	а33 = 0,036А^;	а36 =	0,00047V;
аы = 0,00867V;	аьз = 0,00447V;	аб6=	0,00037V.

Эти коэффициенты позволяют теперь вычислить прогибы поперечной балки и затем путем двукратного дифференцирования и использования дифферен циального уравнения изгиба соответствующие изгибающие моменты. Таким образом получим для моментов в середине поперечной балки значения

(M)y=ll/6 = 0,071QZ; (М)у=1х/ъ= 0,122QZ; (M)y=ll/2 = 0,282Q/,

где Q = qllj 12 — нагрузка на одну продольную балку.

Продольные балки можно рассматривать как неразрезные балки, рас полагающиеся на семи опорах и нагруженные равномерно распределенной

нагрузкой Q. Предположим прежде всего, что опоры являются			абсолютно
жесткими. Используя	уравнение трех моментов, получаем тогда для изги
бающих моментов в поперечных балках выражения
(M)y=il/6 =	- 0,00294Q/i;	{ М ) м = - 0,002 14Q/l;
	(M)y=il/2=	— 0,00241Q/X.	(с)

Изгибающие моменты, появляющиеся вследствие осадки средних опор, могут быть найдены также из уравнения трех моментов. Например, на средней продольной балке прогибы поперечных балок будут

( ® W е = 7,38	{w)y=lt/z = 12,46	; (w)y=lf/2 =	14,21	(d)
и обусловленные этим изгибающие моменты
(М1)у=11,е =	0,0425Q/,; ( M ^ j 3 = 0,0572Q/x; (М^ ,		2 = 0,0572Qlv

Присоединяя эти моменты к моментам (с), получим для суммарных изги бающих моментов в промежуточных опорах средней продольной балки зна чения

(М2)у=/1/б = 0,0396Q/i; (M2)!/=it/3= 0,0551Q/1; (M2)^/l/2 = 0,0548(3^.

Эти моменты позволяют теперь найти силу R, которая передается от про дольных балок к поперечным. Сила R позволяет далее определить изгибаю щие моменты в поперечных балках с большей точностью, чем это было воз можно применяемым раньше способом.

Метод, описанный здесь для случая равномерной нагрузки, может быть использован также в случаях неравномерного нагружения (например, нагрузка по треугольнику или трапеции), а также в случае действия сосре доточенных сил.

ВИСЯЧИЕ мосты С НЕРАЗРЕЗНОЙ ПОДКРЕПЛЯЮЩЕЙ ФЕРМОЙ

Suspension bridges with a continuous stiffening miss, Publications of the International Association for Bridge and Structural Engineering, vol. 2, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich. 1934, p. 452— 466 (in collaboration with S. Way).

ВВЕДЕНИЕ

Теория висячих мостов, в которой учитывается прогиб подкрепляющей фермы, до сих пор применялась лишь в случае подкрепляющих ферм с шарнирами на опорах*. В настоящей работе дается метод анализа напряже ний и прогибов висячих мостов с неразрезной подкрепляющей фермой. Общие уравнения применяются к числовому примеру, и показано, как влияют на натяжение троса условия непрерывности подкрепляющих ферм на опорах (неразрезная ферма). Кроме того, в работе сравниваются натя жения троса для шарнирно опертых и неразрезных подкрепляющих ферм при различных способах нагружения.

ТЕРМИНОЛОГИЯ

Предположим, что имеем дело с трехпролетным симметричным вися чим мостом, как показано на рис. 1. Пусть оба боковых пролета имеют одинаковую длину. Расстояния xlt х и х2 в каждом случае измеряются от левого конца пролета. Допустим, что £, / — соответственно модуль Юнга и момент инерции сечения подкрепляющей фермы; р — интенсивность по движной нагрузки в произвольной точке; w> хюг и w2— интенсивность по стоянной нагрузки в произвольной точке главного и боковых пролетов со ответственно; Hw— горизонтальная составляющая натяжения троса от действия постоянной нагрузки. Предположим, что трос скользит по вер шинам пилонов так, что Hwодно и то же для всех пролетов.

Если пренебречь растяжением подвесных тяг, то после приложения подвижной нагрузки прогибы троса и фермы будут равны по величине. Кроме того, дополнительное натяжение троса Н также будет одинаковым для всех пролетов. Пусть тц, г] и т]2 — прогибы троса и подкрепляющей фермы, вызванные подвижной нагрузкой, в каждом из трех пролетов соот

ветственно, а	Р =	H/Hw.
1 Д. Штеннман в своей работе «Проектирование современных висячих мостов			( S t e
i n m a n D. В.	Design	of modern suspension bridges. Proceedings of the American	Society

Civil Engineers, Chicago, June 1933. N. Y., 1933, vol. 3, N 9, p. 490— 492) обсуждал случай неразрезной подкрепляющей фермы. Однако в этой работе не были учтены условия непре

рывности подкрепляющей фермы	на опорах, так что известные в настоящее время теории
не могут рассматриваться как	удовлетворительные.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, описывающие прогибы троса при отсутствии подвижной нагрузки, имеют вид

Я„	d2y	= - ю ;	=	Я,	^	= — W1	( 1 )
w	dx2		dx\	w	dx$		( 1 )
Интегрируя	их,	находим

_ A fx (l - x )

где /, /i и /2 — прогибы чек,

/ =	wl2	f =	f -
	8Я™ h		' 2

_	4/1x1(/1 — Хг)	4A>2 U4 — g)
У* ~~	/2

средних то

jo A

8HW

Рассматривая пока	центральный
пролет и предполагая действие неко
торой подвижной нагрузки р, из
уравнений (1) для троса получаем				Рис.	1.
(Яш 4- Я) d2 (у +		Т]) =	— (w +	q),	(3)
где q — переданное тросу дополнительное натяжение от					подвесной тяги,
вызванное подвижной нагрузкой. Из		(1) и (2) найдем
	q = Psy — Яа)(Н -Р )		d2 ]		(4)
	q = Psy — Яа)(Н -Р )		dx2		(4)
Нагрузка, переданная	на подкрепляющую		ферму,	будет

p — q = p — $w + Hw(l + P ) - g L .

Уравнение равновесия сил, действующих на произвольный элемент фермы в вертикальном направлении, дает в этом случае

El - £ r	=	p - $ w	+ Hw(1 + Р )	d2r\	(5)
dx*	~	и	, r/	dx2 .	(5)

Нагрузка p — Pw может рассматриваться как взятая с обратным знаком вторая производная от изгибающего момента УИ0, вызванного этой нагруз кой и моментами на опорах. Тогда уравнение (5) принимает вид

EI	d4n	____d2Mo. + Н	( l - f - 6) d2r]-
	____
	dx4	dx2 ^	^	dx2

Интегрируя его, получаем

El ^ r = - M a+ Hw(\ +р)г].

Аналогично для пролетов 1 и 2 (см. рис. 1)

Е1 d2ih dx\

EJ d2Ti, - — М0+ Яш(1 + р)г|2.

(6)

(7)

(8)

dx2

Уравнения (6), (7) и (8) справедливы как для подкрепляющих ферм неразрезных висячих мостов, так и для ферм мостов с шарнирно опертыми

пролетами.

В дополнение к уравнениям (6), (7) и (8) имеем основное уравнение1 для определения Н. Ёсли предположим, что натяжение подвесных тяг рав номерно распределено вдоль пролетов, то для определения Н имеем

HLS +	сotLt =	(9)
EF
где
		(Ю)
s, s2— длины дуг вдоль троса; t — повышение температуры;		со— коэффи
циент линейного	температурного расширения; F — площадь	поперечного

сечения троса.

Задача расчета висячего моста состоит, во-первых, в нахождении прогибов г], т]!, т]2 в функции Н и, во-вторых, в определении Н из уравнения

(9) методом последовательных приближений.

СВЯЗЬ ЗАДАЧИ

ОРАСЧЕТЕ ВИСЯЧЕГО МОСТА

СЗАДАЧЕЙ ОБ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ

НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ

Как видно,		уравнение (5) представляет собой дифференциальное урав
нение балки,	нагруженной		поперечной нагрузкой		(р — (5до) и продольной
силой Hw (1	+	Р) (рис. 2).	Метод	решения задач,	показанных на рис. 2,
		-ДОГ	, ,	'Р	- р %
p = H j m ) p r i r r r ^			Н	Н И Н i±iJip=HjPp)

Рис. 2.

хорошо известен. Для решения задач такого типа удобно иметь под рукой некоторые формулы для более простых конструкций, изображенных на

рисунках 3, а и б.		а, имеем следующие уравнения
Для стержня,	показанного на рис. 3,	а, имеем следующие уравнения
1 См. J o h n s o n	J. В., B r y a n С. W. ,	T u r n e a u r e F . Е. The theory and

practice of modern framed structures. Designed for the use of schools and for engineers in pro fessional practice, pt 1—3 (pt 1. Stresses in simple structures, 356 p.; pt 2. Statically inde terminate structures and secondary stresses, 590 p.; pt 3. Design, 486 p.). 9th edition. N. Y., Wiley, 1916; см. часть 2, стр. 283.

©i =	ML		____• _		____ 1_Л .
©i =	El		____• _		____ 1_Л .
	El		KL th KL		K2L2 / ’
a _	ML		f 1		l	\	( I D
2	El		\ K2L2	KL sh KL		! ’	( I D
__	1	(	M	sh Kx	Mx	\
Ц ~	El	\	K2	sh KL	+ K2L		) ’

в которых К = У PIEL

Для стержня, указанного на рис. 3, б имеем

Q		sh К (L — с)		Q(L — с)
©1 =		sh KL			PL
&o = __Q_		sbKc	Oc
P		sh KL	PL	‘
Прогибы в точках слева от Q
		Q sh Кс	\| гг	,	Qcx
11 =	РК sh KL		Sh К Х +		~PLрг~
и справа от Q
” = - Q ^ L LKL c>		( £ - * ) +			Q

( 12)

(13а)

(13b)

Прогиб, вызванный распределенной нагрузкой интенсивности	q,
может быть найден методом наложения, т. е. подстановкой qdc вместо	Q

в приведенных выше формулах и последующим интегрированием по с в соответствующих пределах.

	ПРИЛОЖЕНИЕ К СЛУЧАЮ
ЧАСТИЧНОГО ЗАГРУЖЕНИЯ						ГЛАВНОГО ПРОЛЕТА
Предположим, что подвижная нагрузка распространена в главном
пролете от х =	0 до х =	т, как показано на рис. 4.						Подкрепляющая фер
ма может рассматриваться как				балка,
нагруженная	осевой и	поперечной на
грузками, как показано на рис. 5. Изо						ш	ш	ш fг
лированные расчетные		схемы для трех				ж	/77
пролетов представлены на рис. 6.
Используя выражения (11), (12),						получаем
(13а) и (13Ь),	для стержня		на	рис.	6, а	получаем
Ф1 =	1	1	1	. П	— (— Sh /Сс			(— Рич) С dc =
		КЧ\ -JГ		Ли				Р‘ г

			+	fra, (Ch Kl, —		1)	(14)
			+	P/C sh /C/j		2P '	(14)
	£7	^ /С/х th /С/х	K2/f	P/C sh /C/j		2P '
_	1 f	— iWj sh Кхг	+ K2/, +	(— foh)	Ч = $ Ш г Ъ К * ,+
4i “	~ёГ\|_	A:2 sh /c/x	+ K2/, +	P/C2	Ч = $ Ш г Ъ К * ,+
		+ ch Kxi	LXi			1	(15)
		+ ch Kxi				/С2	(15)
						/С2
		Р о-ШМ&гШПКXш .		I ыШпГ.-Ц,‘Н
		f	W- m ,	T	1
		Ш и : i		-Ш

Рис. 5.

Для стержня, представленного на рис. 6, б, имеем

•Ф2 =	M2lt		1	1	,	(ch /С/х — 1)		fke>i/x		(16)
	El		K M h /a ,	/с2/?	^	P/C sh /0 ?!		2P
	1		— /W2sh/C(/, — хг)		,	(^1 ---X2)	I	(— P“ »l)	w
“	El	L	K2sh К1л		'	/С2/,	-t-	pyC2	X
“	El	L	K2sh К1л		'	/С2/,
1 " У		1	sh Кх.г +	ch Кх2		P«>i 1\Хп			К2 }■	(17)
1 " У		1	sh Кх.г +	ch Кх2						(17)

Рис. 6.

Для стержня,

изображенного на рис. 6, в, нагрузка р дает

— р sh Кс

рс

— (ch /С/ — ch Кп)

J•

Р sh Kl

~Р~1]dc= -F

К sh Kl

(18)

•р sh К (/ — с)

(1 — ch Km)

P(l — c)

) dc =

j r

(19)

— ('W e =

^ ( '

Psh Кl

К sh Kl

На участках m и /г прогибы, вызванные нагрузкой /?, будут

(Лт)р =

j [

PK sh Kl

Sh К * +

- р Г ] dc

+ j

[

^ P ^ h /C / ^

sh ^

(Z —

X) +

l —

p(l — c)(l — x)

— (ch К (l — x) — ch Kn)

sh Kx +

+ l

K2sh Kl

id -x )2-

2 / — ] + T-|

sh * < '" * > +

] ; (20)

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5740 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf
#
19.11.202327.66 Mб6Статические и динамические проблемы теории упругости..pdf
#
12.11.20233.51 Mб0Статический расчёт металлического каркаса одноэтажного производственного здания..pdf
#
19.11.202338.48 Mб98Стационарные установки шахт..pdf
#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб17Стилистика немецкого языка..pdf