книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

толстом конце, то частоты собственных изгибных колебаний в каждой из двух главных плоскостей можно получить по следующей формуле:

где /г — частота колебания лопатки, когда ротор неподвижен; f2— частота колебания лопатки в том случае, когда упругие силы не учитываются и во

внимание принимается только восстанавливающее действие центробежной силы. Предполагая, что изменение площади поперечного сечения и момента инерции лопатки по ее длине можно представить зависимостями (36), частоту

/х основного тона колебания можно вычислить, используя табл. 5, соответ­ ствующую выражению (36); частота /2 находится по формуле

КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН

Предположим, что мембрана представляет собой идеально гибкий и бесконечно тонкий лист постоянной толщины, изготовленный из однород­ ного материала, и что она равномерно растягивается во всех направлениях в своей плоскости большим усилием, изменением которого из-за малых про­ гибов при колебаниях можно пренебречь. Пусть s — равномерное растяги­ вающее усилие, приходящееся на единицу длины границы; q — вес мем­ браны, приходящийся на единицу площади; F — площадь мембраны. Час­ тота основного тона колебаний мембраны

Постоянная а, входящая в эту формулу, принимает следующие значения в

где а — радиус границы мембраны; ans — постоянная, приведенная в табл. 9 и зависящая от числа п узловых диаметров и от числа s узловых окружностей (граница круга также включается в это число).

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН

Предполагается, что пластина состоит из идеального упругого, однород­ ного и изотропного материала и что она имеет постоянную толщину, которая считается малой по сравнению с остальными размерами. Прогибы полага­ ются малыми по сравнению с толщиной пластины. Пусть h — толщина плас­ тины; D = Eh3/ 12 (1 — v2) — цилиндрическая жесткость пластины; d — вес, приходящийся на единицу объема материала пластины.

Частоты последовательных форм колебаний прямоугольной пластины со сторонами а и b и свободно опертой по краям определяются по формуле

Частоты последовательных форм колебания квадратной пластины со сво­ бодными краями выражаются формулой

гдеа, — постоянная, зависящая от формы колебания. Для трех низших форм

радиус контура пластины. Величины коэффициента а£, стоящего в формуле (47), даны в табл. 10. Кроме того, в этой таблице приведены значения а£для случая круговой пластины со свободным контуром. В табл. 9 через s обозна­ чено число узловых окружностей, а через п — число узловых диаметров.

Круговая пластина, закрепленная в центре. Постоянные а£для после­ довательных форм колебания с числом узловых окружностей, равным s,. приведены ниже:

Колебания дисков турбин. Установлено, что разрушения, которые про­ исходят в дисках турбин и которые не могут быть связаны с дефектами в ма­ териале или чрезмерно высокими напряжениями от центробежных сил, мо­ гут быть вызваны изгибными колебаниями. Эксперименты показывают, что такие колебания при определенных скоростях турбины становятся очень заметными и вызывают большие дополнительные изгибные напряжения, которые могут привести в результате к усталости металла и постепенному развитию трещин, обычно возникающих как на границах отверстий, уравно­ вешивающих давление пара, так и на других неоднородностях в стенке тур­ бинного диска, где существует концентрация напряжения. Наиболее важ­ ной причиной является неравномерность давления пара вдоль окруж­ ности диска. Носящее локальный характер давление, которое действует на обод вращающегося диска, при определенных скоростях оказывается вполне достаточным, чтобы поддерживать боковые колебания дисков.

Эксперименты показывают, что разрушение должно быть отнесено за счет тех форм колебаний, которые сопровождаются несколькими узловыми диаме­ трами. Эти колебания можно рассматривать как сумму двух типов волн, распространяющихся по окружности как в направлении вращения, так и в обратном направлении. Амплитуды волн, распространяющихся в обратном направлении, сбычно больше, чем у распространяющихся в прямом направ­ лении. Распространяющиеся в обратном направлении волны становятся особенно заметными при наступлении резонанса, когда скорость волн в об­ ратном направлении точно совпадает с угловой скоростью вращения диска в прямом направлении, при этом волны становятся стационарными в про­ странстве. Именно из-за этого типа колебаний происходит большинство слу­ чаев разрушений диска г.

1 C a m p b e l l W. The protection of steam-turbine disk wheels from axial vibration. Trans, of the American Society of Mech. Engineers, 1924, vol. 46, Paper № 1920, p. 31—60; F r e u d e r e i c h J . Vibration of steam turbine discs. Engineering, 1923, vol. 119, № 3079, p. 2—4; № 3080, p. 31—34.

ПРОГИБЫ НИТЕИ И СТЕРЖНЕЙ

ПРОГИБЫ НИТЕЙ

Рассмотрим совершенно гибкую нить, натянутую между двумя фикси­ рованными точками Л и В (рис. 1, а). Начальная сила£, растягивающая нить,

предполагается настолько большой, что ее увеличением из-за малых проги­ бов нити можно пренебречь. Допустим, что малый прогиб нити в плоскости ху вызывается распределенной вдоль нити вертикальной нагрузкой. Ин­ тенсивность этой нагрузки, которую обозначим q, будет некоторой заданной функцией х. Дифференциальное уравнение линии прогиба можно получить, записывая уравнения равновесия элемента тп нити (рис. 1, б). Силы, дей­ ствующие на этот элемент, суть: вертикальная нагрузка qdx и растягиваю­ щие силы в точках т и я, касательные к линии прогиба и направленные,

как показано стрелками на рисунке. Проектируя эти силы на ось х, получа­ ем, что горизонтальные составляющие этой силы постоянны вдоль струны и равны В. Приравнивая нулю сумму проекций на ось у сил, действующих на элемент тп, получаем уравнение1

(а)

из которого следует, что прогиб у удовлетворяет дифференциальному урав­

нению

Так как крайние точки нити А и В, соответствующие координатам х = = о и х = /, фиксированы, то у должно удовлетворять следующим гранич­

ным условиям:

у = 0 при х = 0 н х = I.

Решение уравнения (1), удовлетворяющее граничному условию у = 0

ва этих приближенных выражениях для cos 0 в sin 0-

где постоянная интегрирования С должна в каждом частном случае опре­ деляться из условия, чтобы у равнялось нулю при х = /. Допустим, на­ пример, что нагрузка равномерно распределена, так что q есть величина

постоянная. Выполняя интегрирование в выражении (Ь) и определяя по­ стоянную С, получаем

Вычисление прогиба особенно упрощается, если интенсивность нагруз­ ки изменяется по синусоидальному закону

Я = Ятsm-

где т — целое число. В этом случае решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее описанным выше краевым условиям, имеет вид

так что прогиб, вызванный синусоидально распределенной нагрузкой, есть также синусоида. Любое распределение нагрузки может быть представлено наложением синусоидальных нагрузок и записано в форме тригонометри­ ческого ряда

оо

mnx

< 7 = 2 <7msin ~ г • m=l