книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ехал в Киев, где в это время жил его отец и где он должен был читать курсы сопротивления материалов и графостатики, а также проводить лаборатор­ ные работы в Политехническом институте. Лекции начались с января 1907 г. При чтении курсов сопротивления материалов в это время чаще всего руко­ водствовались традицией, которая вела начало от Франца Грасгофа1 и Августа Фёппля 2. С. П. Тимошенко решил перестроить курс так, чтобы обсуждение вопроса начиналось с элементарных задач — с растяжения и сжатия однородного прямого стержня и чтобы сам курс был ясным, практи­ чески направленным. Этот первый курс был семестровым. Он основательно готовился к лекциям, обдумывая наиболее удачный способ изложения и под­ бирая примеры для пояснения теории; перед занятиями каждая лекция была написана. Тем не менее С. П. Тимошенко волновался: «Я до сих пор про­ должаю волноваться, когда вхожу в аудиторию, и хотя наперед знаю все, что нужно сказать студентам, но никогда не иду на лекцию без тщательной подготовки». В одной из групп потока, в котором читались лекции, он вел упражнения. Для них он составлял задачи с решениями, которые потом и были использованы при написании сборника задач по сопротивлению мате­ риалов (1908 г., 1909 г., 1910 г.; издание 10— 1934 г.), а также при состав­ лении учебников по сопротивлению материалов, которые были написаны им в 1930 г. Механическая лаборатория института была хорошо оснащена испытательными машинами, на которых можно было проводить различные исследования. Желание проиллюстрировать студентам основные положения курса и углубить их с помощью занятий в лаборатории заставило С. П. Ти­ мошенко вместе с сотрудниками сконструировать и изготовить ряд приборов, которые до сих пор можно видеть в лаборатории.

В новом 1907/1908 учебном году С. П. Тимошенко решил прочитать расширенный курс сопротивления материалов для студентов механического и инженерно-строительного отделения. Так как каждая лекция писалась заранее, то весной 1908 г. этот курс лекций удалось издать в двух частях в литографированном виде. Он был издан еще через два года также в двух то­ мах. Затем курс был доработан и вышел в течение короткого времени четырь­ мя изданиями (1911 г., 1913 г., 1916 г., 1918 г.; издание 12 — 1934 г.). Спустя много лет этот курс был вновь переработан и вышел на английском языке в двух частях (1930 г., 1940— 1941 гг., 1955— 1956 гг.).

В летнее каникулярное время 1907 г. С. П. Тимошенко проработал не­ мецкий перевод второго издания А. Лява «Трактаты о математической тео­ рии упругости», выполненный Алоисом Тимпе 3, а также книгу по теории упругости А. Фёппля 4, вышедшую как пятый том прикладной механики. Под влиянием первой книги он рассмотрел задачу об опрокидывании изогну­ той до деформации по дуге круга полосы под действием концевых изгибаю­ щих моментов, приложенных в плоскости полосы, а под влиянием второй — проблему о распределении напряжений вблизи малого кругового отверстия плоской неограниченной пластины, растягиваемой в одном направлении.

1 G r a s h o f F . Theorie der Elasticity und Festigkeit mit Bezug auf ihre Anwendungen in der Technik. Zweite erweiterte, wesentlicb umgearbeitete Auflage. Berlin, Verlag von R. Gartner, 1878,408 S. Первое издание: DieFestigkeitslehre mit besonderer Rucksicht auf die Bedfirfnisse des Maschinenbaues. Abriss von Vortragen an der polytechnischen Schule zur

Carlsruhe. Berlin., Gartner, 1866, XIV + 294 S.

2 Перевод на русский язык: F б р р 1 Aug. Теория сопротивления материалов и тео­ рия упругости. СПБ, паровая скоропечатня П. О. Яблонского, 1901,418 сгр.

3 L о v е А. Е. Н. Lehrbuch der Elastizitat. Deutsche Ausgabe von AI. Timpe. Leip­

весьма своевременно. Но раньше этого он продал право издания курса со­ противления материалов Киевскому издателю Л. Идзиковскому и к маю за­ кончил рукопись, которая была издана в августе 1911 г.

В августе 1911 г. С. П. Тимошенко переехал в Петербург. По существо­ вавшим правилам он не мог быть принят в штат учебного заведения, посколь­ ку был уволен с государственной службы, а основные учебные заведения на­ ходились в ведении правительства. Он получил нештатные должности в ряде институтов на почасовой оплате (Электротехнический институт, Политехни­ ческий институт). В начале 1912 г. С. П. Тимошенко пригласили в качестве консультанта по проблемам прочности на судостроительный завод Балтий­ ского флота, где он смог использовать полученные им результаты по устой­ чивости пластин при проектировании судовых конструкций; одновременно он провел эксперименты на моделях поперечных переборок больших крейсе­ ров; к сожалению, мы не располагаем данными этих экспериментов. В это время была решена принципиальной важности задача о поперечном ударе массой по балке [79] (1912 г.), изучена роль касательных напряжений при малых поперечных колебаниях стержней; выведено уравнение малых коле­ баний с учетом поперечного сдвига (и инерции вращения). Тогда же С. П. Тимошенко совместно с физиком П. Эренфестом получил точное ре­ шение о поперечных колебаниях стержня прямоугольного поперечного сечения. Эти результаты не были опубликованы в свое время. Обычно считают, что они составляют содержание работ Г82] (1921 г.) и [84] (1922 г.).

упругости. Часть II. Стержни и пластинки» (§§ 38— 39, стр. 200— 213). В это время С. П. Тимошенко посещал общество инженеров-технологов и прочел ряд докладов на заседаниях этого общества. Они составили содержание статьи «Вопросы прочности в турбинах» [28] (1912 г.). Лето 1912 г. он решил провести в Швейцарии. Здесь он выполнил исследование конечных проги­ бов круговых тонких упругих пластин [24 ] (1915 г.): «Для получения резуль­ татов применил арифметическое интегрирование, требовавшее много вы­ числительной работы. Этой работой я спасался от уныния и холода». Затем он поехал в Кэмбридж на пятый математический конгресс, где встретился с Дж. Рэлеем, А. Лявом, А. Гринхиллом, Хорасом Лэмбом, Лэви Чивитой.

В начале нового 1912— 1913 учебного года С. П. Тимошенко предло­ жили чтение факультативного курса теории упругости в Петербургском ин­ ституте инженеров путей сообщения. В январе 1913 г. под давлением ряда крупных инженеров С. П. Тимошенко был зачислен в штат института инже­ неров путей сообщения на кафедру теоретической механики на должность профессора, освободившуюся после ухода А. Н. Крылова. После этого и

крейсеров целесообразно применять в районе килевой балки пластины, подкрепленные ребрами. В этой связи была решена задача устойчивости сжа­ тых прямоугольных в плане пластин, подкрепленных ребрами, параллель­ ными кромкам, либо подверженных действию равномерных сдвигающих сил на контуре [57] (1915 г.). В это время была рассмотрена задача об устойчи­ вости продольно сжатой цилиндрической оболочки [56] (1914 г.), применена мембранная аналогия в задаче изгиба призматического стержня, а для одно­ го частного случая симметричного поперечного сечения вычислен центрсдвига [4] (1913 г.).

Летом 1913 г. в Финляндии С. П. Тимошенко начал писать курс теории упругости, первую часть которого и закончил к концу года, а в свет она вышла в середине 1914 г. [168]. В начале 1913— 1914 учебного года умер профессор Н. Н. Митинский, руководивший кафедрой сопротивления ма­ териалов. Освободившаяся кафедра была предоставлена С. П. Тимошенко.

Во время первой мировой войны в России выявились недостатки тех­ нического оснащения транспорта. Обнаружилась, например, малая пропуск­ ная способность железнодорожной сети. Возникшая потребность в расшире­ нии состава поездов имела своим следствием повышение веса паровозов, а

ченных рельсов также было препятствием к увеличению грузоподъемности поездов. Эти проблемы были поставлены перед научно-техническими дея­ телями страны. С. П. Тимошенко также принял участие в их разрешении. Наиболее важные исследования здесь были выполнены ранее Г Циммерма­ ном и Н. П. Петровым. С. П. Тимошенко, представляя рельс как балку, лежащую на сплошном упругом основании, нашел формулу, оцениваю­ щую влияние веса рельса на напряжения и прогибы рельса. Опубликован­ ная по этому вопросу статья [107] (1915 г.) нашла поддержку товарища ми­ нистра путей сообщения Н. П. Петрова и под его влиянием — Инженерного •совета министерства, в одной из комиссий которого С. П. Тимошенко сделал доклад о своей работе.

Время летних отпусков 1915 г. С. П. Тимошенко посвятил написанию второго тома курса теории упругости, отведенному исследованию прочнос­ ти, устойчивости и колебаниям стержней, а также прочности и устойчивости пластин. Курс был окончен в конце года и в следующем году второй том вы­ шел в свет [168]. При этом были существенным образом использованы и по­ лученные им самим результаты, опубликованные ранее. «Курс теории упру­ гости» С. П. Тимошенко сохраняет свое значение не только как замеча­ тельная книга по теории упругости, но и как источник, в котором впервые опубликован ряд новых решений и постановок. В этом курсе отражены мно­ гие важные результаты, установленные автором. На основании этого курса можно получить представление о роли отечественных ученых и инженеров в разработке новых направлений в строительной механике. Здесь уместно отметить два момента. Изложение теории расчета перекрестных балок — изящное решение поставленной И. Г Бубновым задачи — и рассмотрение поперечных колебаний прямого стержня на основе уравнения, выведенного в курсе, ставшего впоследствии известным как уравнение Тимошенко. Этот результат связывают с более поздними публикациями на английском язы­ ке «О поправке на сдвиг в дифференциальном уравнении поперечных коле­ баний призматического стержня» [82] (1921 г.) и «О поперечных колебаниях стержней однородного поперечного сечения» [84] (1922 г.).

Во второй половине 1915 г. председатель Военно-инженерного совета привлек С. П. Тимошенко к работе совета как эксперта по строительной механике. О характере его деятельности в совете могут дать приводимые ниже материалы, предоставленные автору этих строк музеем имени Н. Е. Жуков­ ского. Имеется в виду журнал заседаний комиссии при Управлении военного воздушного флота от 14, 16 и 20 ноября 1916 и 15 февраля 1917 г. В соот­ ветствии с рекомендациями Управления военного воздушного флота на за­ седаниях 14— 16 ноября, происходивших под председательством А. П. Фан дер Флита, была выработана следующая программа:

1) определение расчетных режимов полетов аэроплана и название со­ ответствующих нагрузок;

2)разработка методов расчета отдельных элементов аэроплана;

3)изучение механических характеристик материалов, используемых в конструкциях аэроплана;

4)установление допускаемых напряжений для отдельных частей кон­ струкции аэроплана.

Эти вопросы тщательно обсуждались в комиссии и были выработаны не­ которые рекомендации Расчетному бюро.

Заседание от 15 февраля 1917 г. проходило под руководством С. П. Ти­ мошенко (присутствовали Н. Е. Жуковский, А. П. Фан дер Флит, В. П. Ветчинкин, А. Н. Туполев). Здесь вновь были рассмотрены вопросы, поднятые на совещании 14 ноября. Была отмечена необходимость вычисления напря­ жений в деталях аэроплана при его эволюциях в воздухе (виражи, пикирова­ ние для истребителей), важность измерений начальных усилий в конструк­ циях. Указывалось на целесообразность расчетных таблиц для лонжерона, когда он моделируется как неразрезной прямолинейный стержень, нагру­ женный поперечными и продольными силами, на важность решения задачи о расчете хвостовой фермы аэроплана на кручение с целью определения напря­ жений и собственных частот. Отмечалось определение минимальной толщи­ ны круговых труб стержней фермы аэроплана, исключающей возникновение локальной неустойчивости. Особо рассматривался вопрос о запасах прочнос­ ти для истребителей и тяжелых аппаратов.

В начале 1917 г. С. П. Тимошенко начал составление книги по «Статике сооружений» [180] в качестве учебника для высших учебных заведений. Во второй половине декабря 1917 г. он уехал из Петербурга в Киев на рождест­

С. П. Тимошенко пришлось остаться в Киеве и весной он решил согласиться

сполученным еще в первые месяцы революции приглашением стать профес­ сором Киевского политехнического института. После почти двухлетнего пере­ рыва он вновь вернулся к научной работе и написал книгу «Расчет упругих арок». Эта книга вышла в переводе на украинском языке в Трудах Украин­ ской Академии наук, а несколько лет спустя на французском языке в Париже

[41](1922 г.). На русском языке она появилась много лет спустя как перевод

сфранцузского, хотя оригинал был на русском языке.

Вначале 1918 г. была организована комиссия академика В. И. Вернад­

ского (1863— 1945) для формирования Украинской Академии наук, к работе которой был привлечен и С. П. Тимошенко. Ему было поручено представить записку об организации Отдела механики для теоретических и эксперимен­ тальных работ. Осенью 1918 г. все члены комиссии были назначены академи­ ками. При Академии был организован Институт механики, и С. П. Тимошен­ ко был назначен первым директором известного ныне во всей стране Инсти­

тута механики АН УССР.

В 1920 г. С. П. Тимошенко решил покинуть Россию и послал письмо в недавно организованный Загребский политехнический институт (Югосла­ вия), откуда он получил предложение занять кафедру сопротивления мате­ риалов и привлек ассистентом своего ученика К. А. Малышева. В этом ин­ ституте С. П. Тимошенко читал сопротивление материалов, статику соору­ жений, много времени уделял организации лаборатории испытаний и для этой цели предпринял большую поездку по Европе. Некоторые из его запи­ сок по организации механических лабораторий были опубликованы [126].

В июле 1922 г. С. П. Тимошенко покинул Югославию и переехал в Северную Америку, где работал в фирме по устранению вибраций. Вскоре он ушел из этой фирмы и стал инженером исследовательского отдела кампании

«Вестингауз» в Питсбурге. Здесь он организовал лабораторию по фотоупру­ гости и начал читать вечерние лекции по исследованию напряжений в кон­ струкциях для инженеров фирмы. Эти лекции были написаны и опублико­ ваны вместе с Дж. Лессельсом в виде учебника («Прикладная теория упру­ гости» [172]). В 1926 г. С. П. Тимошенко участвовал во Втором цюрихском международном конгрессе по прикладной механике, где выступил с двумя докладами — по определению динамических напряжений в рельсах [114] и по исследованию напряжений вблизи отверстий [120]. Под его влиянием в 1927 г. был организован отдел прикладной механики при Американском об­ ществе инженеров-механиков. В 1928 г. вышла его книга «Теория колебаний в инженерном деле» [173]. Приглашение в «Анн Арбор» для работы в Ми­ чиганском университете профессором С. П. Тимошенко принял и в сентяб­ ре 1927 г. начал там свою кипучую деятельность, читая различные курсы для студентов, курсы для лиц, готовящихся к степени доктора наук, ор­ ганизовывая летние специальные чтения лекций по прикладной механике* Много времени отнимала и организация механической лаборатории. В 1930 г* вышел двухтомный курс «Сопротивления материалов» [164], в 1933 г.— «Теория упругости» [169], в 1936 г.— «Теория упругой устойчивости» [176].

С1936 г. С. П. Тимошенко начал работу в Стенфордском университете

вПало Альто, читая курс статики, сопротивления материалов. Здесь он ор­ ганизовал еженедельный студенческий семинар. В это время он издал «Тео­ рию пластин и оболочек» [183] (1940 г.), «Теорию сооружений» [181 ] (1945 г.), «Расширенный курс динамики» [185] (1948 г.). Наконец, в 1953 г. вышла его книга «История сопротивления материалов» [186].

В1955 г., когда ему исполнилось 75 лет (53 года педагогической дея­ тельности), он решил не читать больше лекций и посвятить свое время пере­ изданию своих книг и учебников. В 1958 г. он впервые после почти сорока лет отсутствия приехал на родину. В 1967 г. он вновь посетил Киев, Моск­ ву, Ленинград. Он написал в Академию наук СССР заявление об отказе от гонорара за все издания и переиздания его книг в СССР в пользу премии за лучшую работу по строительной механике.

Деятельность С. П. Тимошенко чрезвычайно разнообразна: он читал курсы и вел семинарские занятия (он взял себе за правило, читая курс* писать лекции, и поэтому по каждому прочитанному им курсу были написа­ ны и опубликованы учебники и монографии); организовывал учебные и ис­ следовательские механические лаборатории, конструировал простейшие приборы для изучения ряда важных механических явлений; привлекал мо­ лодежь, широкие инженерные круги к изучению проблем прочности конст­

рукций; вел научные исследования по разнообразному кругу вопросов. Его интересовали расчет моста, диска, колеса, трубы, рельса, корпуса над­ водного корабля, элемента конструкции самолета. Решения частных задач выполнены им так, что получение общих результатов — создание общей тео­ рии — оказалось естественным обобщением. Многообразное влияние С. П. Тимошенко на инженерное дело, на техническое образование, на раз­ витие механики твердых деформируемых сред общепризнано. Оно было от­ мечено национальными и международными премиями, а также избранием его членом многих академий Европы и Америки. По предложению академи­ ка А. Н. Крылова в 1928 г. С. П. Тимошенко был избран член-корреспонден­ том АН СССР по техническому отделению. В частности, С. П. Тимошенко — иностранный член Академии наук СССР и действительный член Междуна­ родной аэронавтической академии.

Вторую половину жизни Степан Прокофьевич провел вне родины. Но он, естественно, не нашел новой родины ни в Югославии, ни в Америке.

Совершив однажды тяжелую ошибку, покинув отечество, С. П. Тимошенко не нашел в себе сил вернуться назад, пока был достаточно молод и крепок. В 1960 г. он переехал к своей дочери Анне Степановне Гельцельт-Тимошен- ко в Вупперталь (ФРГ), где и умер 29 мая 1972 г., прожив более 93 лет.

СТАТИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Общий метод решения плоской задачи. Плоская задача теории упругости разрабатывалась учеными второй половины прошлого столетия: А. Клебшем, X. С. Головиным, Дж. Эйри, Дж. Максвеллом, Дж. Мичеллом, А. Фламаном, Г. Герцем. Существенное продвижение было сделано Г. В. Колосо­ вым (1909 г.), который ввел комплексные потенциалы при вычислении напряжений. Диссертация Г. В. Колосова 1 привела ко многим важным ре­ зультатам, полученным в наше время. Исследования С. П. Тимошенко свя­ заны-с формулировкой приближенного метода решения плоской задачи тео­ рии упругости. Его статья «Приближенное решение двухмерных задач тео­ рии упругости» [15] (1924 г.), повторяющая работу [9] (1922 г.), посвящена применению энергетического метода для решения плоских задач теории упругости. Функция напряжения Эйри представляется в форме ряда по функ­ циям, удовлетворяющим заданным граничным условиям. Коэффициенты это­ го ряда находятся из условия минимума потенциальной энергии на основе линейных алгебраических уравнений. Этот метод применен автором к зада­ че о распределении напряжений в прямоугольной пластине, когда растя­ гивающие усилия на краях распределены по параболическому закону, и к задаче о сжатии блока между двумя жесткими опорными плитами. Этим же методом автор рассматривает прогиб балки вследствие поперечного сдвига.

Круговые отверстия в пластинах. Как известно, Г. Кирш 2 в конце про­ шлого столетия нашел перемещения и напряжения в пластине бесконечной ширины, содержащей отверстие малого диаметра и растягиваемой силами, расположенными в срединной поверхности. По-видимому он, а также позд­ нее П. А. Велихов 3 получили соответствующие выражения путем подбора.

Работа «О влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в пластинах» опубликована в Известиях Киевского политехнического инсти­ тута в 1907 г. [1 ]. В ней приводится общий интеграл в полярных координатах для функции напряжения, удовлетворяющий гармоническому уравнению задачи, а затем рассматривается случай пластины с круговым отверстием при растяжении или сжатии в одном или двух взаимно перпендикулярных направлениях. При этом автор вырезает из пластины кольцо большого внеш­ него радиуса и определяет напряжения в этом кольце в предположении, что кольцо нагружено теми же растягивающими или сжимающими напряже­ ниями. В случае двухстороннего растяжения учитываются еще и касатель­ ные напряжения на внешнем контуре кольца. Тем же методом рассматривае­ тся важный случай о внецентренном изгибе. Наконец, разбирается случай пластины конечной ширины.

Работа «О напряжениях в пластине с круговым отверстием» [16] (1924 г.)

‘ К о л о с о в Г В. Об одном приложении теории функций комплексного перемен­ ного к плоской задаче теории упругости. 1909, Юрьев, типография К. Маттисена, 187 стр.

содержит описание приближенного метода оценки влияния подкреплений контура отверстия на распределение напряжений у отверстия. Автор рас­ сматривает случай кругового отверстия в бесконечно широкой пластине при растяжении и сводит поставленную задачу к расчету кругового кольца» нагруженного снаружи внешними силами, изменяющимися по косинусо­ идальному закону. Эти внешние силы есть результат действия на вырезан­ ное кольцо отброшенной части пластины. Для самого кольца считается справедливой элементарная теория кривых стержней.

В написанной С. П. Тимошенко совместно с В. Дитцем статье «Концентра­ ция напряжения, обусловленная отверстиями и галтелями» [119] (1926 г.) дается более подробное изложение упомянутой работы "и показано, что с увеличением площади поперечного сечения ребра максимальное напряже­ ние вблизи отверстия уменьшается. В эту работу входит доклад на II Между­ народном конгрессе по прикладной механике в 1926 г. «Концентрация напря­ жения, вызванная галтелями и отверстиями» [120], где представлены коэффи­ циенты концентрации напряжений в растягиваемой пластине с круговым отверстием, найденные методом Людерса, и указано, что максимальные ок­ ружные нормальные напряжения практически не зависят от отношений ра­ диусов пластины в определенном диапазоне изменения радиусов. Здесь изложено решение задачи о растяжении пластины с малым круговым отвер­ стием напряжением о как задачи о расчете кольца под действием распреде­ ленных сил a sin 0 (0 — полярный угол) по поверхности внешнего радиуса.

Отметим, что основные результаты, представленные в трех обсужден­ ных работах, впервые описаны в статье «Расчет тонких пластин, ослаблен­ ных отверстиями» [6], опубликованной на сербском языке в Загребском жур­ нале «Технический лист» за 1920 г. Здесь также разбирается случай под­ крепленного отверстия и формулируется расчетная модель пластины с отверстием как стержня прямоугольного поперечного сечения, имеющего большую кривизну. Статья [6] неизвестна в научной литературе, но ее зна­ чение для разработки инженерного метода расчета пластин несомненно.

Таким образом, С. П. Тимошенко дал математически корректную по­ становку задачи о распределении напряжений у кругового отверстия в ши­ рокой пластине при одноосном растяжении, растяжении и сжатии в двух взаимно перпендикулярных направлениях, и на основе уравнений плоской задачи теории упругости рассмотрел ряд важных случаев. Он развил при­ ближенный метод определения напряжений у кругового отверстия, когда оно свободно от сил и однородно подкреплено по всему контуру, и указал на возможность использования теории кривых стержней для расчета на­ пряжений около некруговых отверстий. Эта идея нашла применение при рас­ чете на прочность перфорированных пластин с треугольной схемой располо­ жения круговых отверстий и получила экспериментальное подтверждение.

Круговое кольцо. В статье «О распределении нагружений в круговом кольце, сжатом двумя взаимно противоположными силами» [2] (1909 г.), вышедшей в Известиях Киевского политехнического института, излагается решение задачи о распределении нагружений в кольце методом плоской за­ дачи теории упругости в полярных координатах. Автор сопоставляет точ­ ное решение для напряжений с решением, основанным на линейном распре­ делении напряжений в поперечном сечении кольца или на гипотезе о плос­ ких поперечных сечениях кольца, которая влечет за собой гиперболический закон распределения напряжений.

В статье «О распределении напряжений в круговом кольце, сжатом двумя силами, действующими вдоль диаметра» [10] (1922), рассматривается плоская задача теории упругости путем наложения решения задачи о сжатии

кругового диска и решения задачи о кольце, нагруженном нормальными и касательными напряжениями. При этом получена формула для вычисления нормальных напряжений, а также дано сопоставление в частном случае полу­ ченных напряжений с результатами, определяемыми с помощью гипотезы плоских поперечных сечений и гипотезы о плоском распределении нормаль­ ных напряжений.

Изгиб и кручение стержней. Формулировка и решение проблемы кру­ чения и изгиба призматических стержней в рамках теории упругости восхо­ дят к знаменитым мемуарам Сен-Венана, первый из которых был представ­ лен во Французскую Академию наук в 1853 г. Работа «Применение функции напряжения к исследованию изгиба и кручения призматических стерж­ ней» опубликована в Сборнике Института инженеров путей сообщения за 1913 г. [4]. Проблему кручения и изгиба призматических стержней СенВенан в своих известных мемуарах 1 привел к уравнению Лапласа. Автор, используя аналогию с мембраной, дает более простой метод решения этой трудной задачи. Дело в том, что напряжения при изгибе и кручении можно выразить через некоторую функцию, которая определяется из условия рав­ новесия равномерно натянутой на контур поперечного сечения мембраны, находящейся под действием равномерного поперечного давления и непре­ рывного переменного давления (изгиб)2. Автор задается видом функции

итребует при этом, чтобы потенциальная энергия системы была минимальна.

Вслучае кручения рассматриваются круг, эллипс, прямоугольники тре­ угольник. В задаче изгиба определены напряжения для тех же видов по­

перечных сечений у консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой.

Вработе «О кручении призмы, одно из поперечных сечений которой остается плоским» [11] (1922 г.) рассмотрено кручение стержня прямоуголь­ ного поперечного сечения с помощью мембранной аналогии. Представляя поверхность мембраны в цилиндрической форме, автор получил приближен­ ную формулу для крутящего момента прямоугольника конечных размеров. Для компонентов напряжений выбраны выражения, удовлетворяющие гра­ ничным условиям и дифференциальному уравнению задачи. Постоянный мно­ житель, входящий в эти выражения, найден из условия минимума потенци­ альной энергии. Автор приводит также другой метод, задаваясь выражения­ ми для компонентов перемещений.

Встатье «Мембранная аналогия при изгибе» [12] (1922 г.) рассматривае­ тся консольный стержень, нагруженный поперечной силой на конце. Ци­

линдрическая поверхность стержня свободна от напряжений. Вводя функ­

Донского политехнического института в Новочеркасске, 1912 г., том 1, отдел 2, стр. 309—

336.Перепечатка: Д и н н и к А. Н. Избранные труды. Киев. Изд-во АН УССР, 1956,

цию напряжения, автор сводит задачу к решению уравнения Лапласа с правой частью. Когда правая часть этого уравнения равна нулю, то постав­ ленная задача идентична задаче о равномерном растяжении мембраны нор­ мальным давлением, если контур мембраны совпадает с контуром попереч­ ного сечения балки. Форма равновесия отыскивается методом Рэлея — Ритца. Автор задается функцией напряжений для случая эллипса, прямоуголь­ ника и треугольника. В случае прямоугольника он приводит сравнение своих результатов с точными. Это сравнение указывает на высокую точность указанного метода.

Взаметке «Расчет касательных напряжений в изгибаемых балках»

[13](1922 г.) дается метод определения касательных напряжений в балках при изгибе, изложенный в более ранней работе «Применение функции на­ пряжения к исследованию изгиба и кручения призматических стержней» [4] (1913 г.).

Статья «Вопросы прочности в машиностроении» [17] (1929 г.) написана для справочника по физико-технической механике; в ней приведен подроб­ ный обзор результатов по проблемам растяжения, кручения и изгиба приз­ матических стержней, колец, пружин и пластин при различных случаях нагружения.

ОБОЛОЧКИ

В статье «К вопросу о расчете сферических оболочек» [21] (1913) рас­ сматриваются осесимметричные деформации сферических оболочек. Разби­ рается часть сферы, подвижно опертой на боковой контур. Для этой задачи используется метод асимптотического интегрирования 1 при определении изгибных напряжений.

Малые прогибы круговой цилиндрической трубы при равномерном радиальном и гидростатическом давлении разбираются в статье «Примене­ ние нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластин»

[3](1910).

Встатье [17] (1922 г.) дан расчет пружины Бельвилля или тарелочной пружины, представляющей пологую коническую оболочку постоянной тол­ щины, нагруженной параллельными оси усилиями, равномерно распреде­ ленными по верхнему и нижнему круговому контуру, при осесимметричной деформации, на основе предположения о том, что меридиональное сечение в течение всего процесса деформации остается жестким и лишь поворачивается в плоскости меридиана. При этом с учетом конечных прогибов пружины получена зависимость прогибов от внешних сил.

ПЛАСТИНЫ

Круговые пластины. Работа «О больших прогибах круговых пласти­ нок» [24] (1915 г.) посвящена выводу дифференциальных уравнений в пере­ мещениях осесимметричных упругих тонких круговых пластин и изложению приближенного метода решения нелинейных дифференциальных уравнений

1 В 1u m e n t h а 1 О. Uber asymptotische Integration von Differentialgleichungen mit Anwendung auf die Berechnung von Spannungen in Kugelschalen. Proceedings of the fifth international congress of mathematical, Cambridge, 22—28 August, 1912, Cambridge, University Press, 1913, vol. 11, p. 319—327. Zeitschrift fQr Math, und Phys., 1914, Bd 62, Hff 4, S. 343—358. B l u m e n t h a l O. Uber asymptotische Integration linear Differentialglei­