книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

задачи*1 определения прогибов от краевого равномерно распределенного момента, приложенного на внешнем контуре сплошной опертой пластины.

В работе [26] (1924 г.) дан энергетический метод определения конечных прогибов круговой тонкой упругой пластины при конечных прогибах, подчиняющихся уравнению Фёппля — Кармана при равномерном попереч­ ном давлении и защемленном внешнем контуре.

Прямоугольные пластины. В статье «Об изгибе всесторонне опертой прямоугольной пластины при действии сосредоточенной силы» [25] (1922 г.) излагается решение задачи об изгибе пластины бесконечной длины методом одинарных тригонометрических рядов и получены выражения для прогибов

иизгибающих моментов. При анализе пластины конечной длины предпола­ гается, что сосредоточенная нагрузка расположена на оси симметрии и да­ ется выражение для максимального прогиба. Та же идея распространяется на случай пластины с двумя защемленными по противоположным сторонам

идвумя опертыми краями.

Вдокладе «Изгиб прямоугольных пластин с защемленными краями» {27] (1938 г.), прочитанном на V Международном конгрессе по прикладной механике, приводится решение дифференциального уравнения тонкой плас­ тины Жермен — Лагранжа при равномерном поперечном и гидростатиче­ ском давлении, а также при сосредоточенной поперечной нагрузке в случае защемленных краев. Сначала автор рассматривает свободно опертую пласти­ ну и находит углы наклона краев, а затем прикладывает к краям изгибаю­ щие моменты, прогибы от которых удовлетворяют однородному уравнению; при этом прогибы представляются в виде ряда. Коэффициенты этого ряда

определяются из условий равенства угла наклона пластины на контуре за счет контурных моментов и поперечной нагрузки.

Учет начальной кривизны. В статье «О влиянии первоначальной кри­ визны на изгиб прямоугольной пластинки с опертыми краями, подвергаю­ щейся действию растяжения или сжатия» [23] (1915 г.) прогибы пластины приняты подобными начальным прогибам, контурные усилия — равномер­ но распределенными. Автор определяет прогибы пластины на основе диф­ ференциального уравнения Сен-Венаиа2

СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

Прямые стержни. Статья «К вопросу о дополнительных напряжениях, обусловленных жесткостью узлов» [35] (1907 г.) посвящена исследованию влияния изгибающих моментов за счет жесткости узлов фермы и предполо­

га 1, вып. 1, стр. 54—72; вып. 2, стр. 64—74. О применении метода асимптотического интегри­

uber technische Mechanik. Bd 5. Munchen, Oldenburg Verl., 1907, S. 132— 144. К a г m a n Th.

2 Этот результат содержится в восьмом примечании Сен-Венана к § 73 в книге Аль­ фреда Клебша, переведенной с немецкого языка (Clebsch A. Theorie der Elactizitat fester Кбгрег. Leipzig, В. G. Teubner, 1862) на французский (Theorie de l’elasticite des corps solides). Paris, Dunod, 1883, p. 702—704.

жения о возможности отождествления перемещений фермы с жесткими уз­ лами с перемещениями той же фермы, также нагруженной, с идеальными шарнирами. В частности, изучается обычно принимаемое допущение о том, что изгибающий момент в произвольном поперечном сечении есть ли­ нейная функция расстояния от одного из концов стержня.

Большая работа «Применение нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластин» опубликована в Известиях Киевского политех­ нического института за 1910 г. [31. Использование нормальных координат позволяет представить выражение для потенциальной энергии системы в форме однородной функции второй степени, зависящей только от квадратов этих координат. Так как производная от потенциальной энергии по нормаль­ ной координате равняется обобщенной внешней силе, то из этого условия можно получить систему уравнений, содержащую только одну неизвестную координату. Отсюда следует простота решения задачи. Задаваясь видом нор­ мальной функции, автор изучает изгиб стержня при продольной и продоль­ но-поперечной нагрузках в случае опертых и заделанных концов. При этом рассматриваются равномерно распределеннаяпоперечная нагрузка, сосредо­ точенная нагрузка, сила или момент, а также сплошное упругое винклеровское основание. Отдельно описывается случай, когда продольная сила зара­ нее неизвестна. Анализируются также малые прогибытонкой упругой опер­ той пластины при сосредоточенной поперечной нагрузке; при нагрузке, рав­ номерно распределенной вдоль линии, параллельной контуру. Излагается решение для случая, когда к поперечной нагрузке добавляется растягиваю­ щее или сжимающее усилие в срединной плоскости. Аналогичным образом

.разбирается случай пластины с заделанными концами.

В недавно вышедшей статье «Прогибы нитей и балок» [45] (1970 г.) в сборнике, посвященном ученику С. П. Тимошенко по С.-Петербургскому по­ литехническому институту югославскому академику Я. М. Хлытчиеву, отыскиваются прогибы в нити, жестко закрепленной между двумя фиксиро­ ванными опорами под действием поперечного давления, изменяющегося по различным законам вдоль оси (равномерный, линейный, синусоидальный), а также прогибы опертых по концам балок симметрично-поперечного се­ чения, нагруженных в плоскости симметрии. Разбирается нагружение балки поперечными силами и нагружение ее поперечными и продольными усилия­ ми. При этом автор задается распределением изгибающего момента вдоль оси балки в форме тригонометрического ряда. В результате получены про­ стые выражения для прогибов в быстро сходящихся рядах. Показано, как учесть влияние продольной силы на прогиб.

Стержни с малой начальной кривизной. В работе «Об изгибе стержней, имеющих незначительную первоначальную кривизну» [36] (1913 г.) изучает­ ся влияние продольной сжимающей или растягивающей силы на прогибы и изгибающий момент прямого и слабо искривленного стержня при исполь­ зовании энергетического метода и заданного выражения для прогибов в форме тригонометрического ряда; при этом рассматривается стержень с шарнирно опертыми концами и предполагается, что отдельные гармоники начального прогиба стержня и прогиба от действия внешних (поперечных и продольных) сил подобны. В результате получены простые выражения для оценки искомого результата. Разобрантакже случай, когда заранее неизвест­ ные продольные силы в стержне определяются из условия несмещаемости концов стержня в продольном направлении.

Встатье «Об изгибе стержней, имеющих малую начальную кривизну»

[42](1924 г.) рассматривается свободно опертый прямой стержень, нагружен­ ный поперечной нагрузкой и продольной силой. Прогибы стержня представ­

под действием на мост статических и динамических нагрузок и приводится формула для допускаемых напряжений. Специальное внимание уделяется проверке конструкции моста на устойчивость.

Встатье «Жесткость висячих мостов» [98] (1928 г.) описан метод триго­ нометрических рядов в сочетании с методом потенциальной энергии для определения прогибов висячих мостов и дополнительного натяжения троса за счет подвижной нагрузки и изменения температуры. В излагаемой теории мост моделируется опертым однородным стержнем.

Вработе «Жесткость висячих мостов» [93] (1928 г.) рассматривается случай однопролетного моста, у которого постоянная нагрузка полностью воспринимается тросом, а подвижная нагрузка передается на ферму. При этом будет одновременно происходить изгиб фермы и растяжение троса за счет подвижной нагрузки. Автор составляет дифференциальное уравнение прогиба оси фермы и показывает, как с учетом энергетических соображе­

ний найти входящее в это уравнение дополнительное натяжение троса. В статье «Висячие мосты с неразрезной подкрепляющей фермой» [104] (1934 г.) приводится метод исследования напряжения и прогибов моста. Анализируется влияние непрерывности подкрепляющей фермы на натяжение тросов, а также сопоставляются усилия в тросе в случае шарнирно опертых

и неразрезных подкрепляющих ферм для ряда типов нагружения. Обширная работа «Теория висячих мостов» [106] (1943г.) посвящена из­

ложению общего метода расчета прогибов и натяжений тросов за счет по­ движной нагрузки. Здесь разбираются подкрепленные и неподкрепленные мосты, оцениваются различные допущения, которые при этом вводят в рас­ чет. Рассматриваются мосты с неразрезной подкрепляющей фермой и на­ ходятся изгибающие моменты в пилонах. Анализируется ферма переменного поперечного сечения методом тригонометрических рядов.

Рельсы. Книга «К вопросу о прочности рельсов» [108] (1915 г.) содер­ жит метод определения напряжений и прогибов рельсов при движении по ним колес. При этом, в отличие от предшествующих работ Г. Циммермана 1 и Н. П. Петрова 2, рельс подменяется однородной балкой, лежащей на сплошном упругом основании. Приводится расчет рельса на изгиб от действия сосредоточенных нагрузок и сопоставляется с принятыми раньше методами расчета. Затем рассматриваются собственные и вынужденные колебания рель­ са как невесомой балки, расположенной на сплошном упругом основании. В той же постановке оценивается эффект влияния неправильности колеса (плоские участки) и рельса (впадины) на напряжения в рельсах. Наконец, разбирается действие на рельс системы подвижных сосредоточенных нагру­ зок в случае пренебрежения массой рельса при расчете динамических напря­ жений. Этой же проблеме посвящена работа о динамических напряжениях

врельсах [107] (1915 г.).

Встатье «К вопросу о вибрации рельсов» [109] (1916 г.) учитывается мас­ са рельса при оценке в нем динамических напряжений.

Вработе «Влияние начальной осадки шпалы на условие изгиба рельс» [ПО] (1916 г.) рельс рассматривается как стержень бесконечной длины, находящийся на сплошном упругом основании.

Статья «Метод исследований статических и динамических напряжений

пряжения в рельсе. Записки Русского технического общества, 1903, год издания 37, стр. 27— 115.

прикладной механике, посвящена расчету рельса как стержня, расположен­ ного на сплошном упругом основании, при воздействии боковых и вертикаль­ ных статических нагрузок. При кручении рельса его жесткость определяе­ тся по приближенной формуле Сен-Венана, при этом автор учитывает чис­ тое кручение рельса и изгиб головки и подошвы рельса. Совместный изгиб и кручение рельса рассчитываются в предположении, что рельс покоится на линейно упругом основании, передающем прогиб и кручение. Наконец, рас­ смотрены прогибы и напряжения в рельсе от движущихся колес локомо­ тива, определенные с учетом динамических эффектов.

В написанной совместно с Б. Лангером статье «Напряжения в железно­ дорожном рельсе» [115] (1932 г.) излагается теория расчета напряжений в рельсах за счет движущейся нагрузки. При этом рельс рассматривается как длинный стержень, лежащий на сплошном упругом основании. Анализи­ руется вертикальный изгиб рельса при центрально и эксцентрично прило­ женной силе, вызывающей кручение рельса. Предполагается, что крутящий момент реализуется за счет чистого кручения, а также изгиба головки и подошвы рельса. Действие боковой нагрузки на рельс, вызывающей боковой изгиб и кручение рельса, выявляется в предположении, что рельс оперт на сплошное упругое основание, сопротивляющееся прогибу и закручиванию. Изложенная теория была проведена в эксплуатационных условиях. Интерес представляет исследование прогибов и напряжений в рельсе под действием колес локомотива не при статических, а при динамических нагрузках. При этом специально разбираются нерегулярности формы колеса и рельса, а также разрывы непрерывности в узлах вследствие колебаний рельса при движущихся нагрузках и переменной вертикальной компоненты центробеж­ ной силы, вызванной противовесами и вертикальной составляющей усилий от шатуна, приложенных к колесу. Специальный раздел посвящен оценке местных напряжений в шейке и галтеле рельса под действием центрально и эксцентрично приложенной вертикальной силы и при боковой нагрузке. Разобраны изгиб, кручение и обратный изгиб головки рельса. Оценены кон­ тактные напряжения в рельсе. Приведено сравнение теоретических и экспе­ риментальных результатов как в условиях лаборатории, так и эксплуата­ ционных.

Турбины. Статья «Вопросы прочности в паровых турбинах» [28] (1912 г.) написана на основе лекций, прочитанных в Собрании общества технологов. Здесь излагается расчет на прочность быстровращающихся колес и плоских дисков постоянной и переменной толщины (диск равного сопротивления). Специальное внимание уделяется материалу, из которого изготавливаются диски, и выбору допускаемых напряжений в дисках. Рассматривается расчет турбинных валов и приводится метод расчета критической скорости вращаю­ щегося вала.

Валы. В работе «Кручение коленчатых валов» [29] (1922 г.) излагает­ ся метод расчета одноколенчатого вала, концы которого либо свободно опер­ ты, либо полностью или частично защемлены.

Исследование «Изгиб и кручение многоколенчатых валов на многих опорах» [30] (1923 г.) содержит метод расчета валов, основанный на предпо­ ложении, что коленчатый вал шарнирно оперт по срединным сечениям опор­ ных шеек и что каждое колено вала можно рассматривать как стержень. В частном случае автор исследует трехколенчатый вал на четырех опорах.

Колеса. Статья «Прочность зубчатых колес» [116] (1926 г.) написана совместно с Робертом Виктором Баудом. В этой работе методом фотоупру­ гости найден коэффициент концентрации напряжения у основания зуба для различных радиусов галтеля. Показано путем применения теории местных

напряжений Герца, что максимальные контактные напряжения находятся на некоторой глубине от поверхности контакта. Расчеты прогиба зуба пока­ зали, что значения прогиба значительно меньше величин, обусловленных до­ пуском при серийном производстве зуба.

Опубликованная совместно с Р. В. Баудом работа «Прочность зубьев колес сильно зависит от радиуса галтеля» [117] (1926 г.) содержит обсужде­ ние результатов экспериментов над моделями зубчатых колес, выполненных из целлулоида методом фотоупругости. При этом авторы получили поправ­ ку в формулу, определяющую зависимость максимального напряжения в консоле от сосредоточенной концевой нагрузки, а также приводят формулу для расчета прогибов стержня.

Концентрация напряжений и проблемы усталости. Статья «Концентра­ ция напряжения, обусловленная отверстиями и галтелями» [119] (1926 г.), написанная в сотрудничестве с В. Дитцем, посвящена анализу методов реше­ ния задач концентрации при растяжении, сжатии и изгибе. Здесь рассмот­ рены случаи подкрепленных и неподкрепленных круговых и эллиптиче­

жении и изгибе. Описан метод Людерса, состоящий в растяжении хорошо отполированных образцов из мягкой стали, для выяснения распределения напряжений у галтеля. Эти результаты проанализированы с целью приме­ нения их к расчету конструкций в условиях усталостного нагружения.

В работе «Концентрация напряжения, вызываемая галтелями и отвер­ стиями» [120] (1926 г.), доложенной на II Международном конгрессе по при­ кладной механике в Цюрихе, приводится описание аналитического метода (круговые и эллиптические отверстия в пластине), метода фотоупругости (галтеля, корни зуба колес), метод линий Людерса (круговые отверстия растянутой пластины) для определения распределений напряжений в зоне концентрации напряжений у выточек, отверстий, резких изменений по­ перечных сечений. Так как концентрация напряжений для хрупкого мате­ риала или пластических материалов в случае переменных напряжений должна учитываться при проектировании, показано, к чему она приводит. Установлено, как посредством испытаний на усталость моделей конструкций можно выявить эффект концентрации напряжений.

В работе «Концентрация напряжений в истории сопротивления материа­ лов» 1123] (1954 г.) систематически изложена проблема местных напряжений и концентрации напряжений, возникающих в связи с динамическими зада­ чами в инженерной практике.

Работа «Концентрация напряжения и усталостное разрушение» [122] (1947 г.) была представлена как материал лекции, прочитанной автором при присуждении ее автору золотой медали Джеймса Уатта. Здесь приводятся данные по концентрации напряжений у вырезок и выточек при изгибе и растяжении, при этом в ряде случаев сопоставляются данные расчетов и эксперимента. Особое внимание уделяется исследованию усталостных тре­ щин в валах. Описаны результаты усталостных испытаний валов с галтеля­

Механические свойства и испытания материалов. Работа «Формулы слож­ ного сопротивления с точки зрения различных теорий о прочности» [124] (1905 г.) содержит обсуждение результатов опытов при оценке предельных напряженных состояний для неодноосных задач, а также различные гипотезы прочности. Эти результаты применены к расчету сложного сопротивления

валов тонких и толстостенных цилиндрических труб, а также вращающихся дисков.

Статья «Свойства вещества при высоком давлении» [130] (1925 г.) ана­ лизирует результаты экспериментов по разрушению материалов при очень высоких давлениях. Рассматриваются круговые цилиндры при внутренних давлениях. При этом показано, как оценить истинное удлинение при испы­ таниях. Рассмотрен также цилиндр, нагруженный внешним давлением.

Взаметке «Прибор Герберта маятникового типа для испытания на твер­ дость» [129] (1923 г.) дается теория такого прибора в предположении, что маятник колеблется с низшей частотой на идеальной жесткой поверхности. При этом автор определяет период качания маятника в зависимости от вели­ чины отпечатка в материале. Сравнение периода качания маятника на осно­ вании расчета и эксперимента продемонстрировало их отличное совпадение.

Вработе «Математический метод определения модуля упругости» [128] (1923 г.) приводится способ расчета модуля упругости на основе теории из­ гиба стержней прямоугольного сечения и широких полос.

Разное. Работа «Описание прибора А. Н. Крылова для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» [131] (1905 г.) содержит об­ щую теорию этого прибора.

КОЛЕБАНИЯ И УДАР

Эта проблема разрабатывалась С. П. Тимошенко применительно к проблеме колебания валов судовых установок, колебаниям мостов и т. п.

Построение уточненной модели поперечных колебаний призматических стержней. Проблема формулировки уравнений поперечных колебаний стерж­ ней дана еще Якобом Бернулли и Леонардом Эйлером. Построенное на ос­ нове гипотезы плоских сечений решение о малых поперечных колебаниях не учитывает поперечного сдвига на частоту поперечных колебаний. В статье «К учету сдвига в дифференциальном уравнении поперечных колебаний приз­ матических стержней» [82] (1921 г.) дается вывод дифференциального урав­ нения малых поперечных колебаний с учетом инерции вращения и попереч­ ного сдвига. В случае шарнирно опертого стержня показано, что влияние по­ правки на сдвиг в несколько раз выше поправки на инерцию вращения и чем меньше длина волны при колебаниях, тем поправка на сдвиг выше. При этом поправка в частоте на сдвиг и инерция вращения пренебрежимо малы, когда размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной волны по­ перечных колебаний. Эта работа была особенно оценена в последние 20 лет, и идеи этой работы были использованы при разработке теории колебаний плас­ тин и оболочек. См. также статью «О дифференциальном уравнении попереч­ ных колебаний призматических стержней» [81] (1920 г.).

В работе «О поперечных колебаниях балок постоянного поперечного сечения [84] (1922 г.) приведено точное решение задачи о малых собственных колебаниях балки прямоугольного поперечного сечения в развитие статьи

[82]на основе уравнений теории упругости для случая плоской деформации.

Сучетом полученных уравнений рассматривается случай, когда ширина по­ перечного сечения велика по сравнению с высотой. Автор приводит транс­ цендентное уравнение для определения частоты, на основании которого он вычисляет длину волны в зависимости от отношения скорости волн попереч­ ных колебаний к скорости волн сдвига при коэффициенте Пуассона, равном 0,25. Особо рассмотрен случай длинных волн. При этом определена частота собственных колебаний в явном виде и получено выражение для частоты соб­ ственных колебаний. Анализ результатов расчета показал корректность

подхода при расчете частот колебаний в рамках балочной теории, дополнен­ ной членами, учитывающими поперечный сдвиг.

Поперечный удар груза по стержню. Работа С. П. Тимошенко «К во­ просу о действии удара на балку» [79], опубликованная в Известиях С.-Петербургского политехнического института за 1912 г., существенно рас­ ширила наши представления о механизме процесса удара. В статье сперва да­ ется анализ опубликованных ранее методов расчета балки на поперечный удар. В отличие от предшествующих работ автор учел деформацию балки в месте удара. Он полагал, что падающий груз очерчен по сферической по­ верхности, а балка — по плоскости, которая является нормальной к на­ правлению удара. Местное сжатие в месте удара учитывается по известной формуле Г. Герца. Колебаниями в падающем грузе за счет удара пренебрегается. В такой постановке автор рассматривает балку с опертыми конца­ ми, находящуюся под действием сосредоточенной силы посредине пролета. Эта сила — неизвестная функция времени. Приравнивая отрезок пути гру­ за с момента соприкосновения с балкой величине прогиба с учетом местно­ го сжатия, автор вычисляет неизвестную контактную силу. Такой подход позволяет вычислить соударение балки с грузом, а также закон изменения прогибов балки во времени и закон изменения давления в месте соприкосно­ вения. Изложенная теория является логическим обобщением предшествую­ щих исследований X. Кокса 1 и Барре Сен-Венана 2.

Продольные, крутильные и поперечные колебания стержней. Общая теория гармонических крутильных колебаний круговых валов с жестко по­ саженными на них дисками описана в статье «К вопросу о явлениях резонан­ са в валах» [76], опубликованной в Известиях С.-Петербургского политех­ нического института за 1905 г. Здесь подробно анализируется случай, ког­ да моменты инерции в концевых дисках малы, велики и одного порядка по сравнению с моментом инерции вала. Рассмотрен также случай колебаний вала, несущего три диска, при этом определяется собственная частота коле­ баний вала.

Работа «О вынужденных колебаниях призматических стержней. При­ ложение к исследованию колебаний мостов» [77] (1909 г.) содержит теорию малых продольных колебаний стержней, крутильные колебания круговых стержней с дисками на концах и, наконец, поперечные колебания стержней. В случае опертых концов рассматриваются вынужденные поперечные ко­ лебания от действия сосредоточенной гармонической силы, а также непре­ рывной периодической поперечной нагрузки.

Поперечные колебания стержней при движущейся нагрузке. Эти во­ просы впервые были рассмотрены автором в работе «О вынужденных колеба­ ниях призматических стержней» [71, 77] (1909 г.), где изучены колебания опертой балки, когда постоянная во времени периодическая нагрузка пере­ мещается с постоянной скоростью по пролету балки. Эта же задача разбира­ ется в случае нескольких сосредоточенных сил либо при перемещающейся непрерывной нагрузке. Автор анализирует прогибы и нагрузки в попереч­ ных сечениях балки. Одновременно рассмотрен расчет колебаний мостов в случае движущегося по нему состава. В частности, оценены колебания мо­ стов за счет действия противовесов локомотивов.

«De 1’impulsion transversale des barres ё1а5^ие5, et de leur vibration avec le corps qui les aura mises en mouvement. Determination de leur flexion ainsi que des conditions de leur resistance vive on dynamique» книги Clebsch A. Tl^orie de l’elasticite des corps solides. Avec des notes 6tendues de M. de Saint-Venant. Paris, Dunod, 1883, 900 p.

Вработе «О вынужденных колебаниях мостов» [85] (1922 г.) мост под­ меняется свободно опертой однородной балкой, по которой движется с по­ стоянной скоростью переменная во времени (по закону косинуса) попереч­ ная сила. Из дифференциального уравнения задачи определяется изгиб балки и условие наступления резонанса.

Встатье «Колебания мостов» [97] (1927— 1928 гг.) мост рассматривается как однородная балка, на примере которой автор оценивает влияние пере­ менной нагрузки, перемещающейся вдоль пролета, и показывает, что этим эффектом можно пренебречь. Он выяснил, что динамический эффект проти­ вовесов ведущих колес локомотива необходимо учитывать для мостов малых пролетов, поскольку этот эффект связан с явлением резонанса. И, наконец, он оценил влияние таких нерегулярностей, как впадина рельсов и плоские участки колес при динамическом нагружении, и показал, что для коротких балок их учет совершенно необходим.

Встатье «Вынужденные колебания растянутых стержней» [92] (1941 г.) энергетическим методом исследуются колебания шарнирно опертого растяну­ того стержня, вызванные движением вдоль стержня с постоянной скоростью постоянной поперечной силы, и найдена критическая скорость движения си­ лы, при которой частоты собственных и вынужденных форм колебаний сов­ падают.

Статьи «Колебания» [91, 93] написаны для справочника инженерамеханика и представляют собой общее введение в теорию колебаний де­ формируемых систем.

УСТОЙЧИВОСТЬ

В диссертационной работе «Об устойчивости плоской формы изгиба дву­ тавровой балки под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости» [46] (1905— 1906 гг.), опубликованной в Известиях С.-Петербург­ ского политехнического института, построена теория изгибного кручения двутавровой балки. Крутящий момент в поперечном сечении балки был пред­ ставлен автором состоящим из сен-венанового кручения и стесненного кру­ чения. Автор ввел гипотезы, позволившие ему построить рациональную тео­ рию (поперечное сечение балки при деформации считается не меняющим фор­ му, балка испытывает не сложный, а простой изгиб; сдвигом в поперечном сечении можно пренебречь). Указанные гипотезы были целиком перенесены в созданную впоследствии теорию изгиба и кручения тонкостенных откры­ тых стержней общего вида. Автор рассмотрел загружение двутавровой бал­ ки концевыми моментами и сосредоточенными силами для ряда граничных условий и вычислил критическую нагрузку, соответствующую опрокидыва­ нию балки. Весьма важной частью работы был эксперимент.

В статье «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [47] (1907 г.) рассматривается шарнирно опертый, продольно сжатый концевыми силами, прямолинейный стержень, расположенный на сплошном упругом винклеровом основании, и для этой задачи приводится точное решение, определяю­ щее критическую силу, а также приближенное решение, основанное на энер­ гетическом подходе.

В статье «К вопросу об устойчивости сжатых пластинок» [48] (1907 г.), вышедшей в Известиях Киевского политехнического института, автор на ос­ нове уравнений устойчивости тонких упругих пластин Сен-Венана опреде­ ляет критическую нагрузку односторонне сжатых прямоугольных пластин при различных граничных условиях. Особое внимание уделено эффективно­ му приближенному решению, относящемуся к равномерно сжатой прямо­

угольной пластине, три стороны которой оперты на контур; этот случай со­ ответствует задаче устойчивости листа таврового поперечного сечения.

В работе «К вопросу о продольном изгибе» [49] (1908 г.) приводится точ­ ное решение задачи продольного изгиба стержней ступенчато-постоянного поперечного сечения, определение критической нагрузки решетчатых стерж­ ней переменного сечения. Энергетическим методом оценено влияние на кри­ тическую нагрузку поперечного сдвига в случае призматических и решетча­ тых стержней. Наконец, определена критическая нагрузка продольно сжато­ го стержня с упруго-заделанными концами и стержня, расположенного на многих опорах.

Статья «К вопросу об устойчивости упругих систем» [50], опубликован­ ная в 1910 г. в Известиях Киевского политехнического института, содержит решение трех задач: об устойчивости опертой и защемленной прямоуголь­ ной пластины при сжатии ее боковыми сосредоточенными силами (энергети­ ческий метод); об устойчивости плоской формы изгиба опертой полосы с круговой осью в случае чистого изгиба (точное решение) и, наконец, об устойчивости цилиндрической круговой тонкой упругой осесимметричной оболочки при равномерном продольном сжатии (точное и приближенное ре­ шение). Особо рассмотрен случай неосесимметричного выпучивания оболоч­ ки, срединная поверхность которой при потере устойчивости не испы­ тывает деформации растяжения, сжатия и сдвига.

Монография «Об устойчивости упругих систем. Применение новой ме­ тоды к исследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций» [51 ], опубликованная в 1910 г. в Известиях Киевского политехнического ин­ ститута, была спустя год удостоена С.-Петербургским институтом инже­ неров путей сообщения премии и медали Д. И. Журавского. Эта работа це­ ликом основана на применении энергетического метода, который впервые применил С. П. Тимошенко в своей статье «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [47]. Согласно этому энергетическому методу потенциал всех внутренних и внешних сил в критическом состоянии равновесия ра­ вен нулю. В обсуждаемой монографии рассмотрен широкий класс задач о выпучивании призматических прямых, призматических кривых и прямоли­ нейных решетчатых стержней при различных условиях и нагружениях. В ней получены многочисленные приближенные выражения для критических нагрузок полок двутавровых балок, соответствующих опрокидыванию. Наконец, рассмотрена устойчивость сжатых в срединной плоскости тонких упругих прямоугольных пластин при различных граничных условиях, а также пластин, подверженных действию чистого сдвига. Впервые в мировой литературе рассмотрен расчет пластин на устойчивость за пределом упру­ гости в соответствии с гипотезой касательного модуля, когда ни в одной точ­ ке пластины не происходит разгрузки. Монография была переведена на французский язык и вышла в трех выпусках журнала «Известия мостов и дорог» (1913 г.) и через год — отдельным изданием [55].

Статья «Некоторые теоретические проблемы упругой устойчивости»

[52]была опубликована в 1910 г. в немецком журнале «Известия математики

ифизики». Статья содержит краткое изложение опубликованного в 1905— 1910 гг. на русском языке исследования задачи устойчивости стержней,

двутавровых балок, пластин и цилиндрических оболочек, сжатых вдоль образующей.

Работа «Приближенный метод исследования устойчивости упругих си­ стем» [53] вышла в 1911 г. в Известиях Киевского университета. Она содер­ жит формулировку энергетического критерия устойчивости упругих систем и применение этого критерия к определению критических сил шарнирно