книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

С целью получения суммарного прогиба, наложим на полученное пере­ мещение прогиб т]2, вызванный направленным вверх натяжением, что дает (для х < I — Ь)

Таким же путем могут быть получены прогибы частей CD и DB фермы. Бо­ лее простой метод вычисления прогибов представлен в следующем параграфе.

В случае, если рассматривается совместное действие подвижной нагруз­ ки и изменения температуры, уравнение для вычисления дополнительного горизонтального натяжения Hs получается путем подстановки в уравнение (31) Hs вместо Нр и Н^/Е^с + B^LX вместо HpL/EJFc (см. стр. 430).

Часть II

5. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОГИБОВ

Линия прогиба подкрепляющей фермы может быть получена также с помощью использования тригонометрических рядов 1. Применение этого метода не только упрощает вычисление прогибов, но и позволяет провести вычисление Нр с более высокой точностью; так, без дополнительных труд­ ностей можно использовать формулу (16) параграфа 2 части I вместо упро­ щенного выражения (17), используемого в предыдущем параграфе. Начнем со случая одной сосредоточенной силы, действующей на подкрепленную фер­ му (см. рис. 6). Дифференциальное уравнение (21) принимает вид

Правые части этих уравнений могут быть представлены для всей длины I фермы тригонометрическим рядом

коэффициенты Ьъ ft2, Ь39 которого могут быть вычислены обычным путем по формуле

лучено из выражения (32), необходимо только подставить в него pdc вместо Р и проинтегрировать от с = а до с = Ь. Таким образом, получим

натяжения Нр, вызванного подвижной нагрузкой р. Для того чтобы получить уравнение для вычисления Нр, подставим ряд (34) в уравнение (16), что дает

В качестве первого приближения для Нр можно принять значение, соот­ ветствующее неподкрепленному и нерастяжимому тросу, как это было сде­ лано в параграфе 4. При этом приближенном значении Нр вычислим р и k и найдем коэффициенты аъ а2, ... из выражения (35). Подставляя эти вели­ чины в правую часть уравнения (36), найдем, что уравнение не удовлетворя­ ется. Затем повторим вычисления с несколько меньшим значением для Нр. На основании этих двух вычислений интерполированием может быть полу­ чено достаточно точное значение Нр. Вычисления такого рода были выпол­ нены для Посольского моста в Детройте х, а сравнения полученных значе­ ний Нр со значениями, найденными из упрощенного выражения (17), пока­ зали, что влияние второго члена в правой части уравнений (36) мало. Оно

движной нагрузки. После того, как будут найдены Нр из уравнения (36) и прогиб г] из выражения (34), вычислим с помощью выражения (19) макси­ мальный изгибающий момент в точке С.

Метод разложения в ряды может быть использован в случае совместного действия подвижной нагрузки и изменения температуры, необходимо толь­ ко положить в левой части уравнения (36) HSL/ECFC+ ztLг вместо HPL/ECFC и использовать обозначения р = HJHWи k2 = (Hw + H S)/EI в формуле (35).1

1 См. работу A. A. Jakkula, указанную в сноске на стр. 433.

6.ТРЕХПРОЛЕТНЫЕ ВИСЯЧИЕ МОСТЫ

СО СВОБОДНО ОПЕРТЫМИ ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ ФЕРМАМИ

Методы исследования однопролетного подвесного моста, которые об­ суждались в параграфах 4 и 5, могут быть легко распространены на случай нескольких пролетов, если каждый пролет подкреплен отдельной свободно опертой фермой. Рассмотрим, например, симметричный трехпролетный мост,

пролетах, и для ее вычисления можно

опять использовать соотношение (16). Величина L (см. стр. 425) в этом слу­ чае получается путем распространения интегрирования на все три пролета1:

Применяя для данного исследования тригонометрические ряды и допуская, что подвижная нагрузка приложена в среднем пролете, можно использовать для прогиба этого пролета полученные ранее ряды (34), коэффициенты ко­ торых вычисляются из формулы (35). Края пролетов будут изгибаться на­ правленными вверх усилиями в подвесных тягах, а из условия симметрии следует, что их линии прогиба будут одинаковыми. Рассматривая левый про­ лет и принимая за начало координат левую опору, можно представить про­ гибы Tjx этого пролета следующим рядом:

Коэффициенты этого ряда можно получить из формулы (35), полагая р = О и подставляя величины 1Ъ 1Ъ wx и kxвместо I, I, w и k для бокового пролета:

Подставляя ряды (34; и (37) и величину L из выражения (а) в соотношение (16), получаем следующее уравнение для вычисления Нр:

Это уравнение может быть решено методом последовательных приближений, использованным в параграфе 5 для решения уравнения (36). После опреде­ ления Нр прогибы ферм вычисляются с использованием рядов (34) и (37), а моменты находятся из выражения (19).

Если вместо тригонометрических рядов использовать для вычисления линии прогиба подкрепленной фермы выражения (27) — (29), то для вы­ числения Нрполучим упрощенное выражение (17). Замечая, что величина L

1 Полагаем, что пролеты ферм и соответствующие пролеты тросов равны.

в этом случае определяется соотношением (а), и распространяя интегри­ рование в правой части выражения (17) на все три пролета, для вычисления IIр получаем следующее уравнение:

= Р Ц - (4-Т ( 1- т ) - -W S W № И - =* кс - sh k (/ - с)]}. (40)

Сравнивая это уравнение с уравнением (30) для случая однопролетного мос­ та, видим, что они отличаются последним членом левой части уравнения (40). Величина Нр в силу этого члена становится меньше, чем в случае однопро­ летного моста, имеющего такие же размеры, как средний пролет на рис. 9.

Подставляя в уравнение (40) pdc вместо Р и интегрируя по с, получаем уравнение для Нрдля случая, когда подвижная нагрузка распределена вдоль части среднего пролета моста.

7.ТРЕХПРОЛЕТНЫЙ ВИСЯЧИЙ МОСТ

СНЕПРЕРЫВНЫМИ ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ ФЕРМАМИ1

Рассмотрим симметричный трехпролетный мост с равномерной непре­ рывной подкрепляющей фермой, как показано на рис. 10, а. Для линии про­ гиба каждого пролета используем уравнение (21), в котором ш р будет теперь обозначать изгибающий момент свободно опертой балки, вызванный по­ движной нагрузкой, а Мги М2представляют собою моменты в опорах А и В. Начнем со случая, когда дополнительно к постоянной нагрузке w и w±при­ ложена одна сосредоточенная сила Р на расстоянии с от опоры В. Соответ­ ствующие расчетные схемы для трех пролетов показаны на рис. 10, б, в, г.

Величины изгибающих моментов М1 и М2 будут теперь найдены из ус­ ловий, что линии прогиба двух смежных пролетов имеют на опорах А и В общую касательную. Прогибы, вызванные сосредоточенной силой Р и на­ правленным вверх натяжением подвесных тяг, даются соотношениями (27) — (29). Для того чтобы получить прогибы, вызванные моментами, приложен­ ными по концам балки, используем зависимость (27) и предположим, что расстояние с неограниченно уменьшается, в то время как момент Рс остает­ ся постоянным и равным М. Тогда уравнение (27) дает

Аналогично могут быть получены углы поворота концов двух боковых пролетов. Для этого необходимо вместо 1Хи wx подставить I и w и обозначить через фх, грх, 0х соответствующие значения функций (47). Тогда условия непрерывности на опорах А и В дают следующие два уравнения:

2М г (/гр + Ш « + “ Ж ( S & — г ) ;

Мг/ф + 2М2 (Zip + k ^1) = (tiwA + PvS) + ^ [ShfeshjJ~ С' ~ ~Т~] *

Из этих уравнений могут быть вычислены моменты Мх и М2 на опорах в случае, если известно дополнительное горизонтальное натяжение НР1 вы­ званное подвижной нагрузкой Р.

Для вычисления Нр используем упрощенное соотношение (17). ТогДа, распространяя интегрирование по всем трем пролетам и используя обозна­ чение

(29)и (41), получаем для этих прогибов следующие выражения: для х <. (I — с)

ДЛЯ X > (l — c)