правления используем те же самые индексы при этих буквах, что и для со ставляющих напряжения. Тогда получим
д и
dv
dw
д х
~дуГ
d z
(9)
д и
d v
dv
dw
д и
dw
Уху =
ду
д х ;
У у 2 — И Г
+ И Г »
— -757" +
~ д х ~
dz
ду
d z
Эти шесть величин называются составляющими деформациями. Если они известны, то можно вычислить удлинение в любом направлении и изменение угла между любыми двумя направлениями.
Закон Гука. В дальнейшем обсуждении предполагается, что конструк ционные материалы идеально упруги и однородны; кроме того, предполага ется, что их упругие свойства одинаковы во всех направлениях, т. е. мате риал изотропен. Эксперименты показывают, что образец из изотропного материала в форме прямоугольного параллелепипеда при действии нормаль ных напряжений, равномерно распределенных по сторонам образца, сохра няет свои прямые углы неизменными. Допустим, что образец подобного вида со сторонами, параллельными координатным осям, подвергается действию нормальных напряжений ох, равномерно распределенных по двум противо положным краям. Эксперименты показывают, что величина деформаций ех пропорциональна приложенным напряжениям, откуда следует, что
где Е — модуль упругости при растяжении. Это растяжение в направлении оси х сопровождается сужением в поперечном направлении, равным
v £х_
Е
(П)
Постоянный множитель v называется коэффициентом Пуассона. Для кон струкционной стали он может быть взят равным 0,3. Выражения (10) и (11) могут быть также использованы и для сжимающих напряжений. Продоль ное сжатие будет сопровождаться расширением в поперечном направлении, постоянные Е и v сохраняют свои значения такими же, как и при растя
жении.
Если образец подвергается воздействию нормальных напряжений ах, оу, а2, равномерно распределенных по его сторонам, то можно просуммиро вать деформации, вызываемые каждым из этих напряжений, и получить следующие выражения:
£у =
\°у— v (ах +
а2)1;
( 1 2)
е2 =
4 ‘ [<Т*_ V (в* +
<**)]•
Эти зависимости выражают закон Гука для случая изотропного материа ла. Можно видеть, что связь между деформациями и напряжениями полносстью определяется двумя постоянными величинами Е и v, которые называ ются упругими постоянными.
Эти же самые постоянные можно использовать для определения зависи мости между деформацией сдвига и касательным напряжением. Рассмотрим
частный случай деформирования прямоугольного параллелепипеда, для ко торого заданы оу = —аги ах = 0 (рис. 8). Вырезав элемент abed плоскостя ми, параллельными оси х и плоскостью, расположенной под углом 45° к осям у иг, можно видеть из рис. 8, б, что, просуммировав силы, направлен ные вдоль и перпендикулярно к Ьс, получим, что нормальные напряжения на сторонах этого элемента обращаются в нуль, а касательные напряжения
т= 4 - (а2 — ау) = az.
Вэтом случае говорят, что элемент abed находится в состоянии чистого сдви га. Угол между сторонами ab и Ьс изменяется, а соответствующая деформа-
11 д
ция сдвига у находится из треугольника ОЬс,
откуда получаем
— = te (л-—
г.)=л±л
(а)
* ( т -
+ ) - , + *
ОТ
' * Подставляя в (а) из выражения (12) выраже
<*•
ния для относительных деформаций
ТТТТ
ег = — е, = -р-(az — voи) = (1 +
v) о2
и замечая, что для малых значении у
а
1—-у
Рис. 8.
i + J L
находим
2
2(1 + v )c z
У =
2 ( 1 + V ) T
(13)
£
Таким образом, получено необходимое соотношение между деформацией сдвига и касательным напряжением. Чаще всего используются следующие обозначения:
G =
£
(14)
2(l +
v)
Эта постоянная называется модулем упругости при сдвиге. Тогда соотноше ние между составляющими деформации сдвига и составляющими касатель ного напряжения имеют вид
Уху —
1
1
1
^уг•
/ С Ч
Q ЪХу, Ухг —
Ууг —
—Q
(13)
Эти составляющие не зависят от относительных удлинений, определяются формулами (12), а общий случай деформаций получается при наложении трех относительных удлинений, задаваемых выражениями (12), и трех де формаций сдвига, задаваемых формулами (15).
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Плоское напряженное состояние. Задачи теории упругости значитель но упрощаются, если все напряжения параллельны одной плоскости. Су ществует много инженерных задач, в которых напряжения, по-существу,
распределены в плоскости. Это всегда имеет место в случае пластины по стоянной толщины, нагруженной силами, приложенными по контуру парал лельно к плоскости пластины и распределенными равномерно по ее толщине (рис. 9). При этом составляющие напряжения а2, т*2, хуг обращаются в нуль на обеих поверхностях пластины, и без существенной ошибки можно пред положить, что они обращаются в нуль по толщине пластины, т. е. напряже ние распределяется в плоскости и определяется тремя составляющими нап ряжения оХУоУу1 хУукоторые могут считаться постоянными по толщине пла стины. Толщина пластины в дальнейшем не имеет значения, и в последующем обсуждении этот размер обычно полагается равным единице длины.
Плоское деформированнное состояние. Аналогичное упрощение задачи
так же, как и для тонких пластин, обсуждавшихся в предыдущем парагра-
Ш
г
У
фе, имеет место в другом крайнем случае, когда размер тела в направлении оси z очень велик. Если цилиндрическое или призматическое тело нагружа ется силами, которые перпендикулярны к оси г и интенсивность которых не изменяется по длине тела, то предполагается, что часть тела, расположенная на значительном расстоянии от концов, находится в плоском деформирован ном состоянии, т. е. частицы тела при деформировании двигаются в плоскос тях, перпендикулярных к длине тела. В качестве примера может служить подпорная стена, подверженная действию бокового давления, постоянного по длине стены (рис. 10). Легко видеть, что в этом случае деформация возни кает в плоскостях, перпендикулярных к длине стены. Поперечные сечения, удаленные от концов стены, остаются плоскими, и при исследовании распре деления напряжения достаточно рассмотреть только одну часть стены, рас положенную между двумя смежными поперечными сечениями, отстоящи ми друг от друга на единицу длины. Составляющие перемещений и и v явля ются функциями координат х и у и не зависят от продольной координаты z. В то же время составляющая перемещения обращается в нуль, откуда
dv
. dw
л
ди
. dw
~
г
dw
~
уи, = —
+
= °;
dz
дх
=
dz
= 0.
= -з— h “ 3— = 0; е
Следовательно, будем иметь только
три
составляющие деформации гх, гу,
уХу, не равные нулю. Если они найдены, то соответствующие составляющие напряжения ах, ау, хху могут быть легко определены из зависимостей (12) и (15). Следует заметить, что нормальные напряжения сг2 здесь не обращаются в нуль, как это имело место в случае тонких пластин; кроме того, подставив е2 = 0 в третье уравнение выражения (12), получим
°г = V (Ох + оу).
(16)
В этом случае имеют место нормальные напряжения, распределенные по поперечным сечениям, перепендикулярным к оси г и сохраняющие эти по перечные сечения плоскими при деформировании.
Напряжение в точке. В предыдущем обсуждении было показано, что в случае плоского напряженного состояния и плоского деформированного состояния следует рассматривать только три составляющие напряжения сгх, оуу тху. Если эти составляющие известны для некоторой точки О пластины, то напряжения, действующие на любой плоскости, проходящей через эту точку перпендикулярно к пластине и под углом к осям хну, могут быть вы числены из уравнения равновесия бесконечно малого элемента в форме тре угольной призмы, вырезанной из пластины тремя плоскостями, перпенди кулярными к пластине (рис. 11). Эти уравнения получаются из первых двух
уравнений системы (2) подстановкой п = О, что дает
X = ох1+ ххут =
okcos а + ххуsin а;
Y = тху1+ оут =
ххуcos а + ауsin а.
Проектируя составляющие X и Y на нормаль N и на перпендикуляр к ней, получаем
оп = охcos12 а + оуsin2 а + 2т^ sin а cos а;
т = хху (cos2 а — sin2 а) + (оу— ох) sin а cos а.
(17)
Угол а может быть выбран таким образом, что касательное напряжение т на соответствующей плоскости обратится в нуль. Для этого надо только по ложить
хху(cos2 а — sin2 а) +
(оу— ох) sin а cos а =
О,
что дает
tg 2а =
- 2Т*д ■- •
(18)
Из этого уравнения можно получить два главных направления. Если глав ные напряжения взяты таким образом, что они совпадают с осями х и у, то хху в выражении (17) обращается в нуль, и тогда
оп = охcos2 а + оуsin2 а;
т =
2 (оу— ох) sin 2а.
(19)
Эти нормальные и касательные составляющие напряжения задаются коор динатами точки D на круге, показанном на рис. 12, а. При построении этого круга за положительное направление оси т принято направление вверх, а касательные напряжения считаются положительными, когда они создают момент в направлении вращения часовой стрелки так же, как на сторонах Ьс и ad элемента abed (рис. 12, б). Касательные напряжения, противоположно направленные, подобно показанным на сторонах ab и dc элемента, считаются отрицательными х. Так как угол а на рис. И изменяется от 0 до п/2, то точ ка D на рис. 12, а движется от Л к В, таким образом нижний полукруг пред ставляет собою изменение напряжения для всех величин а, меняющихся внутри этих пределов. Верхний полукруг изображает напряжения для 0 > > а > — л/2. Продолжая радиус CD до точки Dx (рис. 12, а), т. е. беря угол п + 2а вместо 2а, получаем напряжения на плоскости, перпендикуляр
1 Это правило применяется только при построении круга напряжений, на рис. 3 ис
пользовалось другое правило.
ной к плоскости, проходящей через линию ВС (см. рис. 11). Это показывает, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных плоскостях численно равны друг другу. Так же, как и в случае нормальных напряжений, из рисунка можно видеть, что их сумма при изменении угла а остается по стоянной. Максимальное значение касательного напряжения йа плоскостях, перпендикулярных к пластине, дается на рис. 12 максимальным значением ординаты круга и будет
Круг может быть использован также для того, чтобы определить главные направления. Если оси х и у не являются главными осями, но известны ве личины напряжений <тх, оу, хху, можно построить две точки, например, Д и Дг на рис. 12. Таким образом, получим диаметр ДДХ круга. Построив далее соответствующий круг, получим точки А и В, определяющие величины глав ных напряжений, и угол 2а, устанавливающий направления этих напря жений.
Дифференциальные уравнения равновесия. Ранее было изучено только напряжение в одной точке тела; обсудим теперь, как изменяются составляю щие напряжения ох, ау, тху, если немного изменить положение этой точки. Для этого будут рассмотрены уравнения равновесия бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами, длина которых равна соот ветственно dx, dy, 1 (рис. 13).
Напряжения, действующие на центры тяжести сторон этого элемента,
иих положительные направления показаны на рисунке. Здесь принимаются во внимание малые изменения напряжения, соответствующие малым прира щениям координат dx и dy. Для того чтобы вычислить силы, действующие на стороны элемента, надо умножить величину напряжения в центре тяжести грани на ее площадь. Следует заметить, что действующие на элемент объем ные силы, которыми пренебрегали ранее при выводе уравнений (2) как ма лыми величинами высшего порядка, теперь надо принимать во внимание, так как они имеют тот же порядок, что и члены, определяемые рассматривае мыми малыми приращениями составляющих напряжения. Обозначая через X , Y составляющие объемной силы, приходящейся на единицу объема тела,
исуммируя все силы, действующие на элемент в направлении оси х, полу
чаем
(°д + "Sr dx) dy ~ a*d y+
+
dy) *** ~ Xxydx+ Xdxdy= °'
Второе уравнение равновесия можно записать аналогичным образом. Эти два уравнения сводятся к системе уравнений следующего вида:
дх
+
' дтдуху
+ Х = 0;
дОу_
дхху
(20)
+
7 = 0 .
ду
дх
Уравнения (20) представляют собою дифференциальные уравнения рав новесия для двумерных задач теории упругости.
В практических приложениях в качестве объемной силы используется только сила тяжести. Обозначая вес, приходящийся на единицу объема тела, через Д и беря за положительное направление оси у направление вниз, по лучаем для этого случая уравнения равновесия в следующей форме:
дах
дтхи
= 0;
дх
г" ду
( 21)
доу_
+
Д = 0.
ду "Г
Уравнения совместности деформаций. Двух уравнений (20) недостаточ но для определения трех неизвестных составляющих напряжения. Необхо димое третье уравнение можно получить только в том случае, если принять во внимание упругие свойства тела. Для случая двумерных задач надо рас смотреть только три составляющие деформации, задаваемые выражениями (9), а именно:
ди
ги =
dv
Уху
ди
dv
(а)
~дх
~ду
ду
дх
Дифференцируя первое из этих соотношений дважды по у, второе — дважды по х и третье — один раз по х и другой раз по у , получаем уравнение совмест ности деформаций
дЧх
0 %
__ д2ухи
(22)
ду2
*" дх2
дхоу
Если имеет место плоское напряженное состояние, то в соответствии с за коном Гука можно записать
г х
1
/
ч
1
,
ч
2(1 -f- v)
тд:у*
£
(а *
v o y)>
г у — £
№у
v a *)i Уху —
£
Подставляя эти соотношения в уравнение (22), получаем
- ^ ( a x— vay) + - ^ ( a y — vax) = 2 ( l + v ) ^ . .
(b)
Это уравнение можно записать в более простом виде, используя дифференци альные уравнения равновесия. Предполагая, что имеет место только дей ствие силы тяжести, продифференцируем первое уравнение системы (21) по х, второе — по у и сложим их. В результате получим
Л**. -1_
= _ g дЧхУ
сх2 ' dy2
дхду
Подставляя это уравнение в уравнение (Ь), приходим к уравнению совместнос ти деформаций, записанному через составляющие напряжения,
В общем случае с учетом объемных сил следует воспользоваться уравнением (20), в результате чего имеем
' дх2
_ L _ JL\ i
+ °у) = — (1 + v)
дХ
8Y \
(24)
ду2 J
дх +
ду )
Уравнения (23) и (24) вместе с уравнением (21) или (20) дают необходимую систему трех уравнений для определения трех составляющих напряжения ах, <Jv, т хув случае задачи о плоском напряженном состоянии.
Вслучае плоского деформированного состояния имеем выражение (16),
азакон Гука при этом даст
е* — "g" К1 — v2)
— v (1 +
v)(jv};
ги = ~ ((I — v2)o</ —
+
V) CTx};
Yw = 2
(1 + v) ^ху-
Подставив эти соотношения в уравнение (22) и использовав систему уравне ний (21), можно сделать вывод, что уравнение (23), полученное для задач о плоском напряженном состоянии, пригодно и для задач о плоском деформи рованном состоянии. В общем случае при наличии объемных сил воспользу емся системой уравнений (20), откуда найдем
(25)
Решение двумерных задач при помощи функции напряжения. Как было показано в предыдущем параграфе, решение задач теории упругости сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с урав нением, определяющим условие совместности деформаций. Если ограничить ся только тем случаем, когда сила тяжести — единственно объемная сила, то надо будет удовлетворять следующим уравнениям:
дох
+ - ^ = 0;
(а)
дх
ду
д°у
I
+
Д — 0;
ду
+
( ^ +
^ ) ^ +
^ ) = 0 -
(Ь)
Для того чтобы решить эти уравнения, введем новую функцию, называемую функцией напряжения. Как легко проверить, система уравнений (а) будет удовлетворена, если взять некоторую функцию1Ф, зависящую от х и г/, и по ложить составляющие напряжения равными следующим выражениям:
д2Ф
^
д2Ф
Tjriy --
д2Ф
Ах.
(26)
°х =
уГ ;
°у ~
ох2
бхду
Подставляя эти выражения в уравнение (Ь), находим, что функция напря жения Ф должна удовлетворять уравнению
о4Ф
9
д4Ф
,
о4Ф
(27)
ох4
^
дхгду2
'
ду*
Все двумерные задачи, в которых вес является единственной силой, можно свести к решению уравнения (27). Существует много различных форм реше
1 Функция должна иметь непрерывные производные до четвертого порядка.
ния этого уравнения. Каждому из этих решений соответствует частный слу чай двумерной задачи. Задача становится определенной, если заданы форма пластины и распределение силы по ее границе. Надо подобрать такое решение уравнения (27), чтобы после подстановки его в соотношение (26) были полу чены напряжения, которые бы уравновесили приложенные на границе внеш
ние силы.
Частные решения. При решении двумерных задач обычно вводятся раз личные частные решения уравнения (27). Затем, используя уравнение (26), можно определить те внешние силы, которые должны быть приложены, что бы вызвать напряжения, соответствующие введенным решениям. Комбини руя такие частные решения, можно, в конечном счете, получить решение за-
2с 2с _____ _ _____ _
х
У
а
У
&
Рис.
14.
дач, имеющих практическое значение. Для случая прямоугольных пластин некоторые полезные решения получаются, если взять функцию напряжения в форме полинома. Возьмем, например, полином второго порядка
ф = ах2 + Ьху + су2. (а)
Очевидно, что это выражение удовлетворяет уравнению (27). Подставив его в уравнение (26) и предположив, что к нему не приложены силы, получим
ах = 2с; ау = 2а; тху = — Ь. (Ь)
Если взять только первый член в выражении (а) и положить b = с = О, получим постоянное растягивающее напряжение в направлении оси х. Для того чтобы создать такое напряжение в прямоугольной пластине, надо при ложить к краям равномерно распределенные растягивающие силы с интен сивностью 2с, как это показано на рис. 14, а. Если взять только один второй член в выражении (а), получим случай чистого сдвига, показанного на рис. 14, б.
Подобным же образом можно рассмотреть решение уравнения (27) в форме полинома третьей степени. Удержав только один член этого полинома и положив ф = ш/3, получим в случае отсутствия объемных сил ох = bay, Gy = *ху = 0. Для того чтобы вызвать такие напряжения, надо приложить на краях пластины силы, показанные на рис. 15. Только таким образом на границе тела может осуществляться равновесие между внешними и внутрен ними силами. Можно видеть, что в этом случае выбранное решение соответ ствует чистому изгибу пластины в ее плоскости.
Выбирая решение уравнения (27) в форме ф = аху3, из соотношений (26) получаем ох = 6аху, тху = — 3ау2. Для того чтобы удовлетворить гра ничным условиям, надо силы приложить так, как это показано на рис. 16. По продольной стороне пластины необходимо приложить сдвигающие уси лия с интенсивностью— 3ас2. По краям надо приложить сдвигающие и нор мальные силы, как это показано на рисунке. Важный случай можно полу чить, если сложить силы, показанные на рис. 14, б и на рис. 16. Если взять
Ь Зас2, то сдвигающие усилия на продольных сторонах пластины об ратятся в нуль; на крае х = О будут только касательные напряжения
(тху)х=о = — Ъ— Зау2 = За (с2— у2).
(с)
При этом на
крае х = I возникнут не только сдвигающие напряжения той
же величины,
но и нормальные напряжения
°х = %• (d)
Таким образом, получили случай изгиба консоли силой Р, приложенной на конце (рис. 17). Полагая толщину пластины равной единице, а ширину рав
ной 2с, получаем
с
Р =
j txydy = | За (с2 — у2) dy = 4
а
с
(е)
Рассматривая пластину как консольную балку, находим, что на защемлен ном конце (х = I) изгибающий момент равен Р1, а изгибающие напряжения будут иметь вид
—
=
12-
p t ! L = 6 i y >
*
l
о
1
(2с)3
который совпадает с формулой (d). Обыч ное в рамках элементарной теории реше ние совпадает с приведенным здесь строгим решением, если нагрузка, приложенная на конце консоли, распределена в соответст вии с уравнением (с). Объединяя это вы ражение с формулой (е), получаем
(*«г)*-0 = ттг (с2 — У2)-
(О
1
1
1
ш*
1
У/Ул
/
Рис. 17.
Это выражение также соответствует тому распределению касательных на пряжений, которые даются элементарной теорией балок прямоугольного по перечного сечения.
При использовании полинома пятой степени из рассмотрения распре деления напряжений в равномерно нагруженной балке можно заметить, что формулы для напряжений и прогибов, полученные по элементарной балочной теории, не совпадают с полученными из точного решения, но это различие мало и им можно пренебречь при практическом применении.
С помощью уравнения (27) решается значительное число двумерных задач. Эти решения оказываются особенно важными при исследовании рас пределения напряжения в окрестностях малых отверстий, в пазах и галте лях, где имеет место высокая концентрация напряжения и где обычно начи нают развиваться трещины при действии пульсирующих сил.
Точная теория показывает также, что для всех случаев пластин с шар нирно опертыми краями распределение напряжения, полученное из решения уравнения (27), не зависит от упругих констант материалов и может быть рас пространено на конструкции из любого изотропного материала. Этот вывод лежит в основе экспериментального метода исследования напряжения — метода фотоупругости.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
Дифференциальные уравнения равновесия. Выше обсуждалось напря жение в точке, принадлежащей упругому телу. Рассмотрим теперь изменение напряжения при изменении положения точки. Для этого исследуем условия равновесия малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dxy dy,
dz (рис. 18). Поступая так же, как в случае плоской задачи, и прослеживая малые изменения составляющих напряжения, показанные на рисунке, а также суммируя все силы, действующие на элемент в направлении оси х, получаем следующее уравнение равновесия:
(а* + "isf dx) dydz— axdUdz+
dy) dxdz — TXydxdz +
+-|— ~~ dz) dxdg — xxzdxdy + Xdxdydz = 0.
Подобным образом можно записать уравнения равновесия в направлении осей у и г. После упрощений три уравнения равновесия могут быть представ лены в следующем виде:
