УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНОК, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ПЛАСТИН ДВУТАВРОВЫХ БАЛОК
При проектировании балок, составленных из пластин, толщина стенки обычно выбирается из условий безопасной работы ее на сдвиг. При этом тол щина стенки оказывается небольшой и, чтобы предотвратить выпучивание, обычно необходимо, даже не рассматривая устойчивость напряженной стен ки, увеличивать толщину и использовать ребра жесткости. Этот вывод от
носится к типам
конструкций,
коэффици
Г
ент
безопасности
которых
относительно
выпучивания
изменяется
в
достаточно
широких
пределах.
Например,
листовые
двутавровые балки одной из. больших аме
риканских
железнодорожных
систем с
пролетом I =
30,5 м и высотой
3
м
име
ют
толщину стенки
/ =
15,9 мм, в то вре
Т
мя как подобные
балки
другой
железной
дороги имеют толщину стенки 11,1 мм
вблизи
опор и только 9,5 мм в середине.
Обе эти
балки,
удовлетворяющие
Амери
канским
техническим
условиям,
имеют
разные коэффициенты безопасности по от
ношению к выпучиванию стенки.
Более
удовлетворительное
проектиро
вание может
быть
выполнено
лишь
при
рассмотрении
устойчивости
напряженной
Рис. 11.
стенки. Вблизи опор сдвигающая сила
пренебречь. Рас
более
важна
и
напряжениями
от
изгиба можно
сматривая часть стенки между двумя ребрами жесткости как прямоугольную пластину с опертыми краями, подверженную только действию сдвига (рис. 11), и используя энергетический метод, можно найти критическое значение сдви гающего напряжения. Формула для вычисления этого значения имеет тот же
вид, что
и выражение
(23). Ниже даны соответствующие значения число
вого коэффициента аг:
к/а
1
1,2
1,4
1,5
1,6
1,8
2,0
2,5
3,0
ах
9,42
8,0
7,3
7,1
7,0 6,8 6,6 6,3 6,1
Применяя эти результаты для стальных пластин (Е =
2,1
106 кг/см2г
v = 0,3) и принимая расстояние между ребрами жесткости
равным 150 сму
с помощью табл. 7 найдем критическое значение
сдвигающего
напряжения
для различных высот h и различных
Т а б л и ц а
7
толщин t.
см
Считая, что коэффициент безо
ft, см
пасности равен двум, а среднее сдви
0,95
Mi
1,27
1,43
гающее напряжение на опоре рав
но 350 кг/см2,
по
табл. 7 найдем,
150
683
933
1220
1550
что
для
обеих упомянутых выше
двутавровых балок толщина 12,7 мм
210
530
723
945
1200
будет
обеспечивать
устойчивость
300
478
654
850
1086
стенки
вблизи
опор
1 В действительности коэффициент безопасности будет больше двух, так как края пластины предполагаются свободно опертыми и подкрепляющим эффектом защемленных кромок пренебрегается.
Выше предполагалось, что выпучивание стенки не сопровождается из гибом подкрепляющих ребер. Это допущение будет справедливо только тогда, когда подкрепляющие ребра имеют достаточную жесткость на изгиб. Не обходимая величина момента инерции поперечного сечения подкрепляющих ребер может быть найдена из потенциальной энергии изгиба этих ребер по данным \ приведенным ниже:
a/h
1,0
0,750
0,625
0,500
X
3,3
11,6
25,2
60
где
Величина X представляет собой отношение
EI к
Eat3/12(1 — v)2,
EI — необходимая изгибная жесткость
подкрепляющих
ребер,
а
- -
--------------------------- --------г
Eat2112 (1 —
v2) — изгибная
жесткость
—
- р-
части
стенки
между
двумя
смежными
подкрепляющими ребрами.
а = 154
см,
Выбирая,
например,
h = 308 см, t = 1,27 сму находим
/
= 60
154 •(1,27)3
=
1640 см\
Рис. 12.
12 0,91
Это — необходимое значение момента инерции поперечного сечения под крепляющих ребер.
В середине пролета сдвигающими напряжениями можно пренебречь по сравнению с нормальными напряжениями. Тогда часть стенки между дву мя ребрами жесткости будет находиться в условиях, показанных на рис. 12. Используя тот же общий энергетический метод, получаем для вычисления критических значений изгибных напряжений формулу (23). Соответствую щие значения коэффициента ах приведены ниже:
a/h
0,40
0,50
0,60
0,667
0,75
0,80
1,0
1,15
24,1
29,1
25,6
24,1
23,9
24,1
24,4
25,6
24,1
Минимальное значение ах соответствует отношению a/h = 0,67. Однако очевидно, что размещение подкрепляющих ребер ближе друг к другу в сред ней части пролета практически не влияет на устойчивость стенки в этой точке.
Используя приведенные выше значения для случая двутавровой балки следующих размеров: а = 152 сж, h = 305 см и в середине t =9,5 жж, на ходим
= 25>6 ~Т2~ 0,9l’5)(3b5)2 = 476 К г / С М '~ -
Это напряжение ниже, чем обычно допускается для двутавровых балок. Ранее считалось, что кромки пластин свободно оперты, но практически они всегда жестко связаны с полками. Поэтому действительные критические на пряжения будут всегда больше, чем теоретические. Однако, вероятно, не которое выпучивание стенки происходит и при обычных условиях нагруже ния. Такое выпучивание не представляет непосредственной опасности для балки, но оно вызывает перенапряжение полок балки и заклепок, что яв ляется нежелательным.
1 См. статью С. П. Тимошенко, приведенную в сноске на стр. 287.
ПРИЛОЖЕНИЕ. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО ВЕРХНЕГО ПОЯСА ФЕРМЫ ОТКРЫТОГО МОСТА
Рассмотрим сжатый верхний пояс фермы открытого моста как сжатый стержень по стоянного поперечного сечения со свободно опертыми концами и предположим, что сжимаю-
щие
силы непрерывно распределены
так, как показано заштрихованной
площадью на
рис.
6, б.
Тогда
критическое
значение
сжимающей
силы
посередине
можно вы
числять с помощью энергетического мето
да. Таким образом может быть получено
выражение,
аналогичное
формуле
(9).
Формулы (6) и (7) могут быть и в этом
слу
чае использованы для вычисления потен
циальной энергии
изгиба и
потенциаль
ной энергии деформации
упругой среды.
При вычислении работы
сжимающих
сил
при выпучивании (рис. 13) предположим,
что
опора
В находится
на
катках, так
смещения эле
что во время выпучивания она двигается по направлению к опоре А. Из-за
мента стержня dx (рис. 13) нагрузки, действующие с правой стороны стержня, перемещают ся по направлению опоры А на величину, равную ds — dx = х/ 2 (dy/dx)2, и работа сил при этом перемещении равна
- 4 Иг)2d* (4гf1- -Т")d x =4гHr)2(z- x ) x d x ■
Полагая, что общая работа сжимающих сил при изгибе будет равна
I
7' = 4 г 1(-5г)
запишем уравнение для определения критического значения сжимающей силы ql2fSh в виде
ж J Иг)21(/- x)x<te=4-£/1 (-§-)+4- *1уЧх-
(Ь)
Кривая прогиба в этом случае уже не является просто синусоидальной кривой, но ее всегда можно представить в виде ряда
2лх
Злх
(с)
и — алsin — ----- Ь ^2 s*n
^
■а3sin- /
каждый член которого удовлетворяет условиям
на концах стержня. Подставляя этот ряд
в уравнение (Ь),
получаем
для правой его
части
£ /л 4
V
4 2 . К1
V
2
(d)
4/з
Z
4
2 -
"гг
■£ ,Л - г з - ) ’ л
+
- М ‘Л1<-
п*ап + - г
а-
п=1.2,3..
п=1,2.3..
При построении
левой
части уравнения (Ь) используем следующие формулы:
i
,
/2 .
Xcos2
/
dx ~ Т" ’
7
I
тх
;
/3
,
/3
X1cos2
I
х
6
4л2т 2
ч
ппх
cos _ _
где т и я — целые числа,
где т + п — четное число,
тпх . . =
2Р_
(т* +
п*) 2 (_ 1)m+n>
cos _ _ _ dX ■-
- j-p —Ж )
ппх
mnx
ах =
п
х cos — ;— cos — ;—
О,
I
ппх
тпх
,
2/2
т 2 + п2
х cos — :—
cos — :—
ах -
л2
( т 2 — л2)
где т + п — нечетное число. Тогда имеем
Зг(
S
“■ И
г - т ) -
л=1,2,3...
пт ( тР2 + л2)
)
-
4 Е
s
1 т * — л2)2
/ •
т-\-п=2,4,6...
Подставляя выражения (d) и (е) в уравнение (Ь), получаем
qP
8/2
л=1,2,3S ...
л4а^
л=1,2,3S ...
£7л4
V*
,
W 2
8
8А
л т ( т 2 + /г2)
л=1,2,3...
'
7
т+л=2,4,6...
(т2 — л2)2
О О
'
m l
М
О >1 с
(е)
(О
Для вычисления критического значения сжимающей силы остается определить коэф фициенты аъ а2, аЗУ из условия, что выражение (/) минимальное. Возьмем производные этого выражения по alt 0 %, а3, ... и приравняем их нулю. Тогда получим следующую систему уравнений:
ал [я 2л4 +
а я 2— у ( - ^ - п 2п2— 2^1 +
16у ^
^ а1
пт (т2+ п2)
_ °’
(g)
*
'
' *
т (т2 — /г2)2
т4-л=2,4,6...
где для упрощения использованы следующие обозначения:
г _
яти .
/с/4
7
£ /я 2//2 ’
Е/я4 *
Выбирая для п нечетные значения, получаем следующие выражения:
з .
2
( 3
2
Л ,
/ 15
, 6 5
, 1 7 5
~а7+
•••j —0;
п
+
ап2 — у
я 2 — 2j
+
у \~Y - а3
18
аъ + 72
15
аъ +
а74-------j= 0;
—2
У + а 3
л 234 +
а я 2 — у
9я2 — 2 j + y
65
,
255
а ь я 254 +
а я 2 — у
52я2 — 2j j +
18
У + а3 — о— У +
. /
1295
,
\
л
+ у (—18_ а 7 + **-) = о;
72
7 + ° 3" 50
Y +
0s
18
у + а7 л274 +
а я 2 —
(T w -
+
II О
'
В выражения (i) входят коэффициенты ап только с нечетным индексом, и, как видно из формулы (с), этим выражениям соответствуют кривые прогибов, симметричные относи тельно середины пролета. Выбирая для п последовательно четные значения, находим сле дующую систему:
П224-|- ося* — Y(-|- *222 -
2)] + V( - ^ а4 + J * .ав+•••)= О
V +
+ ап* -
у (-| - д 242-
2) J+ у( - ^ а
в + • • • ) = 0;
(]')
а2
V + а4
V + ав |я 26« + а л 2 — у
я 2бг — 2^
+ ••• =0.
В уравнения (j) входят только коэффициенты с четными индексами. Следовательно, соответ ствующие кривые прогиба имеют точку перегиба в середине пролета.
Ясно, что для возникновения выпучивания, по крайней мере, один или больше членов ап, определяемых формулами (i) и (j), должны быть отличны от нуля. Это условие будет выполнено, если детерминант уравнений (i) или (j) будет равен нулю. Критические значе ния сжимающей силы могут быть теперь вычислены с помощью следующего метода последо вательных приближений.
Начнем со случая очень малых значений /С. Тогда, как было получено выше, кривая прогиба будет состоять только из одной полуволны, и для вычисления критической сжимаю щей силы может быть использована система уравнений (i). Возьмем, например К = 0. По лагая при этом все коэффициенты ап> кроме аъ равными нулю и оставляя только первое уравнение системы (i), получаем
Это первое приближение, эквивалентное допущению, что кривая прогиба есть синусоида, несколько превышает точное значение у = 2,06, приведенное на стр. 284. Ошибка первого приближения составляет приблизительно 4,5%.
Для того чтобы получить лучшее приближение, возьмем два последовательных коэф фициента аг и а3, а остальные коэффициенты в системе (i) положим равными нулю. Тогда первые два уравнения этой системы примут вид
а
,
15
п
+
а3 ~2~ У — 0;
«1
т
" 19-
2) ] - 0-
Эти уравнения дают для ах и а3 решение, отличное от нуля (выпучивание будет происходить лишь в этом случае), когда выполняется следующее условие:
= 0.
Решая это квадратное уравнение, находим у = 2,06. Второе приближение дает значение, представленное на стр. 284. Вычисление в третьем приближении показывает, что в этом слу чае второе приближение дает три верных знака коэффициента у.
Подобным же образом с использованием такой методики были проведены вычисления
для
К/4 = 5;
К1А
Ю;
/С/4 = 15,
16Е/
Ш1
16£/
а соответствующие значения у представлены на стр. 284. Для больших значений /(74/16£7 необходимо использовать систему (j), так как в этих случаях кривая прогиба будет иметь Две волны с точкой перегиба в середине. Ясно, что при вычислении критических нагрузок для нечетного числа волн должна быть использована система (i), а для четного числа волн — система (j).
УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ к о н с т р у к ц и й
Stability and strength of thin-walled constructions. Proceedings of the Third International Congress for Applied Mechanics.(Stockholm, August 24—29, 1930, vol. 3. Ab. Sveriges Litografiska Tryckerier, Stockholm, 1930, p. 3— 15.
Известно, что в современных металлических конструкциях часто ис пользуются тонкие пластины, трубы и оболочки. Применение таких конст рукций стало возможным благодаря повышению прочности современных ма териалов и вызвано необходимостью снижения веса, что жизненно важно, например, для самолетов и дирижаблей. Определение прочности таких тон костенных конструкций связано с некоторыми специфическими проблемами, поэтому желательно обсудить эти конструкции как отдельную группу. Ниже приводится краткий обзор таких проблем. При обсуждении считается, что силы действуют в срединной плоскости конструкций и нет поперечных нагрузок, вызывающих изгиб. В этом случае вопрос упругой устойчивости представляет особый практический интерес.
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
Хорошо известно, что при действии сжимающих сил, приложенных в срединной плоскости, пластина может оказаться неустойчивой и выпу читься из своей плоскости. Критическое значение сжимающих сил, при ко торых происходит выпучивание, может быть найдено из дифференциального уравнения прогиба пластины. Пусть оси х и у расположены в срединной плос кости пластины так, как показано на рис. 1. Кроме того, используем следую щие обозначения: w — прогиб пластины перпендикулярно к плоскости ху\ h — толщина пластины; D = Eh3/12 (1 — v2) — изгибная жесткость плас
тины; 7\ = — £ axdz— результирующая сжимающая сила на единицу дли-
+Л/2
ны, действующая в сечении, перпендикулярном к оси х; Т2 = — \ ®ydz—
— Л/2
результирующая сжимающая сила на единицу длины, действующая в се-
+л/2
чении, перпендикулярном к оси у\ S = — \ %xydz— р езультирую щ ая
—h / 2
сдвигающая сила на единицу длины, действующая в сечении, перпендику лярном к осям х и у.
D d*w
+ 2
d*w
d*w \
т
т
2S d2w
= 0.
~дх*
дх2ду2
ду4 ) '
1 дх2 '
2 ду2
дхду
Для частного случая равномерного сжатия вдоль оси х (рис. 1) уравнение
(1) упрощается и имеет вид
D
I d4w
+ 2
d*w
d*w
\ .
гр дгw
\ д х г
дх2ду2 +
ду*
)
11 ~дхг
Простейший случай выпучивания соответствует свободному опиранию кро мок пластины. Если принять решение уравнения (2) в виде
оосо
w = \
Yi °тп sin
тих
ппу
а
sin ~ Т ~ 9 (3 )
т =\ п= 1
то можно
показать,
что
самое
низкое
значение
сжимающей
силы Т19
при ко
тором
может возникнуть
выпучивание
У
пластины,
определяется выражением
= 0.
(2)
<5
X
а
Рис. 1.
Гкр —
(4)
где m -— число волн при выпучивании вдоль стороны а пластины.
В каждом частном случае m должно быть выбрано так, чтобы Тк?а
было минимальным. Самое низкое значение Ткр достигается при aim =
6,
т. е. когда alb постоянная и пластина подразделяется при выпучивании
на
квадраты. Тогда имеем
АпЮ/Ь\
(5)
ГКр =
В общем случае
kn2D/b\
(6)
Гкр =
где k—постоянный коэффициент, зависящий от величины отношения alb. Для длинных прямоугольных пластин, например при а > ЗЬ> этот коэф фициент для всех случаев может быть с достаточной точностью принят рав ным четырем.
Вслучае, если пластина сжата равномерно распределенными силами
иТ2 в двух перпендикулярных направлениях \ критические значения этих сил определяются из уравнения
7 > 2 + 7 > 2 -£• =
(яг2 + я2 4 - ) 2
(7)
При Т2 = 0 и п = 1 уравнение (7) совпадает с выражением (4).
Критическое
значение сжимающей силы для случая Тг =
Т2 на основании
(7) равно
=
(! + -
£ - ) .
(8)
Для любых других отношений Тх к Т2критические значения этих сил могут
быть найдены из соотношения (7) путем соответствующего выбора чисел m и п
1 В г у a n G. Н. On the stability of a plane plate under thrusts in its own plane, with application to the «buckling» on the side of a ship. Proceedings of the London Mathematical Society, Ser. 1, 1891, vol. 22, p. 54— 67.
Если кромки х = 0 и х = а пластины (рис. 1) свободно оперты, а по двум другим кромкам условия закрепления иные, то решение уравнения
(2) может быть принято в форме1
w = Y sin rrnx/a,
( 9 >
где у *— функция у> которая должна быть определена из условия вдоль кро мок у = 0 и у = Ь. Вычисления показывают, что во всех этих случаях кри тические значения сжимающих сил 7\ определяются формулой (6). Числовой коэффициент k±в этой формуле зависит от отношения alb.
Если кромка у = 0 свободно оперта, а кромка у = Ъпросто свободна, то значения коэффициента k в уравнении (6) следующие:
а/Ь
0,5
1,0
1,2
1,4
1,6 1,8
2,0
2,53,0
4,0
5,0
k
4,40
1,44
1,14
0,952
0,835 0,755
0,698
0,610
0,546
0,516
0,506
Отсюда видно, что устойчивость таких пластин уменьшается непрерывно с
увеличением отношения а/Ь.
а кромка у =
Ъсвободна,
то
Если кромка у = 0 жестко защемлена,
коэффициент k в формуле (6) имеет следующие значения:
а/Ь
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,02,2 2,4
k
1,70
1,56
1,47
1,41
1,36
1,34
1,33
1,33
1,34
1,36
1,38
1,45 1,47
Вычисления
показывают,
что
k
имеет
минимальное
значение
при
alb = 1,635, следовательно, длинная пластина для упомянутого случая краевых условий на кромках будет подразделяться в процессе выпучивания на такие волны, что отношение длины волны к ширине пластины будет при ближаться к значению 1,635.
Если продольная кромка у = 0 пластины упруго защемлена и изгибаю щий момент вдоль длины этой кромки пропорционален углу поворота кром ки, то условия защемления кромки принимают вид
( 10)
где С зависит от жесткости защемления. С увеличением С краевые условия приближаются к жесткому защемлению. Значения коэффициента k для двух различных величин С приведены в табл. 1. Из этой таблицы видно, что каждо му значению величины Ссоответствует определенное отношение alb, при кото ром k имеет минимум. Очевидно, что длинная пластина при этих краевых условиях стремится в процессе выпучивания подразделиться на волны та кой длины, чтобы коэффициент k был минимален. Если С возрастает, то коэффициент k стремится к соответствующим значениям для абсолютно жесткого защемления, которые приведены выше.
1 Б у б н о в
И. Г.
Строительная
механика
корабля, часть
1. С.-Петербург, тип.
Морского министерства, 1912. См. также: Т и м о ш е н к о С .
П.
К вопросу об устой
чивости
сжатых
пластинок. Изв. Киевского политехнического института,
1907,
год 7,
книга 2, стр. 35—94. Отд. оттиск, Киев, тип. С. В. Кульженко,
1907, 60 стр. [Перепечатка:
Т и м о ш е н к о
С. П. Сб. «Устойчивость стержней, пластин и оболочек». М., Физматгиз,
1971, стр. 116— 165]; T i m o s h e n k o
S. Р. Einige Stabilitatsprobleme
der
Elastizi tats-
theorie.
Zeitschrift fur
Mathematik und
Physik,
1910, Bd 58, Hft
4, S.
337—385.
[Пе
ревод на русский
язык: Т и м о ш е н к о
С. П.
Некоторые
теоретические
проблемы
упругой устойчивости. См.-сборник «Устойчивость стержней, пластин и оболочек». М.,
Физ
матгиз,
1971, стр. 384— 433]. См. также: R e i s s n e r Н. Uber die
Knicksicherheit ebener
Bleche. Zentralblatt der Bauverwaltung,
1909, Bd 29, N 14, S. 93—96.
Если продольные кромки пластины защемлены, то коэффициент k в фор муле (6) для определения критического значения сжимающих сил Т± имеет следующие значения:
а/Ь
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
k
9,44
7,69
7,05
7,00
7,29
7,83
7,69
Видно, что k принимает минимальное значение при alb = 0,7, т. е. длинная пластина с защемленными продольными кромками подразделя ется при выпучивании на волны длиной примерно 0,7 ширины пластины.
Т а б л и ц а !
alb
C = 2/b
C = 8lb
a/b
C= 2/b
C = 8/b
1,0
1,49
1,58
2,3
0,89
1,18
1,3
1,13
1,25
2,5
0,90
1,23
1,5
1,01
1,16
2,7
0,93
1,22
1,8
0,92
M l
3,0
0,98
1,16
2,0
0,90
1,12
4,0
0,90
1,12
В общем случае увеличение жесткости защемления вдоль продольных кромок пластины вызывает увеличение коэффициента k и уменьшение дли ны волн выпученной пластины.
Решение (9) может быть без труда применено в случаях, когда продоль ные кромки сжатых пластин оперты на упругие стержни, которые изгиба ются, если пластина выпучивается. Определение необходимой жесткости для этих стержней является практически важной проблемой цри проектирова нии мостов, кораблей и самолетов х.
СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ ТРУБЧАТЫХ И ПРОФИЛИРОВАННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть исполь зованы при обсуждении устойчивости сжатых профилированных элементов. Рассмотрим, например, сжатие равнобокого уголкового профиля. Когда фланцы достаточно толстые, а пролет длинный, потеря устойчивости проис ходит в соответствии с теорией Эйлера. Для случая тонких полок каждая сто рона уголка может терять устойчивость так, как показано на рис. 2, а выпу чивание сопровождается поворотом профилированного сечения 1.2 Каждая сторона уголка находится в условиях равномерно сжатой длинной пластины, опертой вдоль трех кромок и свободной по четвертой кромке. Критические сжимающие напряжения могут быть получены в этом случае с помощью значений, приведенных на стр. 298.
В предыдущем обсуждении предполагалось, что сжимающие напряже ния равномерно распределены вдоль ширины b сторон уголка. Если в силу
1 См.: Ч а л ы ш е в К . [ А . ] К вопросу о расчете пластинок, лежащих на упругом кон туре. Изв. С.-Петербургского института инженеров путей сообщения, 1914, выпуск 87. Отд. оттиск, С.-Петербург, 1914, 22 стр. См. также: Р а к В. Об устойчивости сжатой прямо угольной пластины, подкрепленной по краю уголком жесткости. Изв. Института инженеров путей сообщения, Петроград, 1916. Отд. оттиск, Петроград, 1916, 15 стр.
2 См. работы С. П. Т и м о ш е н к о , приведенные в сноске на стр. 298. См, также: W a g n e r Н. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen. Ftinfundzwanzig JahreTechnische Hochschule Danzig, 1929, S. 329—343.
эксцентриситета е сжимающее напряжение вдоль свободных кромок уголка становится равным (1 + 6elb) T/h, то критическое значение среднего сжи мающего напряжения определяется следующим приближенным соотно шением г:
ТКр= (о,456 +
j
ь + 4е -^Г ~ -
(11)
Если сжатие уголкового профиля
производится с помощью
пресса,
то выпучивание фланцев сопровождается уменьшением сжимающих напря жений на свободных кромках и увеличением напря
жений в углу профиля.
В результате
выпучивание
происходит при других
значениях
критической
на
грузки.
Если свободные кромки уголка усилены фланца
ми так,
как
показано на рис. 2, в, то
каждая сторо
на
сжатого
углового сечения
представляет в
этом
случае пластину с одним свободно
опертым краем и
с другим краем, опертым на упругий стержень. Мож
но показать,
что для относительно коротких стержней
4 4
такое усиление уголкового профиля значительно
улучшает его устойчивость.
упругое
ограничение
Если
имеется
некоторое
вращения
уголка,
показанного на рис. 2, то условия
на каждой стороне уголка такие же,
как в приведен
ном выше соотношении
(10). Устойчивость зависит в
4 4
V
этом случае
от жесткости защемления (см. табл. 1), и
при выпучивании стороны уголка могут подразделять
ся
на несколько волн.
сжатия
Т-образного се
Рис.
2.
В случае равномерного
чения
или
швеллера
(рис.
3,
а, б) с
относительно
тонкими вертикальными сторонами, каждая из этих сторон находится
в ус
ловиях сжатой пластины с одним свободным
продольным
и другим упруго
защемленным краями. Устойчивость зависит
от жесткости
закрепления, а
критическое значение сжимающих сил может быть найдено с использованием для k таблицы, аналогичной табл. 1.
В случае равномерно сжатой квадратной трубы постоянной толщины (рис. 4, а) стенки теряют устойчивость так, как показано на рис. 4, б, без взаимного влияния, а краевые условия приближаются к условиям свобод ного опирания кромок. Критические значения сжимающих напряжений опре деляются при этом формулой (4). Если же эта труба сжата с помощью прес са, то некоторое выпучивание сторон сопровождается снижением сжимаю щих напряжений в средней части сторон и догружением материала в углах трубы.
Имеется также другая сторона вопроса, которая должна рассматривать ся при экспериментах с такими трубами, а именно, продольное сжатие трубы сопровождается поперечным расширением. Этому расширению препятствует трение на концах трубы, так что на первой стадии нагружения происходит изгиб сторон на концах трубы. Этот изгиб влияет на выпучивание трубы.
Равномерное сжатие прямоугольной пластины имеет место также при изгибе трубы прямоугольного поперечного сечения (рис. 5). Если считать вертикальные стороны трубы очень жесткими, то средняя часть АВ верхней1
1 См. работы С. П. Т и м о ш е н к о , приведенные в сноске на стр. 298.
