книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Общее выражение для угла ср в симметричном случае1 можно брать в форме следующего тригонометрического ряда:

таким образом, чтобы соотношение (12) давало минимум, получаем второе приближение для критической силы. В случае трех членов ряда получим третье приближение и т. д. Рас­ четы показали, что ошибка первого приближения составляет около 1,5%. Второе прибли­ жение для Ркр дает четыре правильные цифры, и в расчетах по высшим приближениям нет

необходимости.

Если вместо полосы рассматривается двутавровая балка, то для расчета Ркр может

быть использован тот же метод, необходимо только принять во внимание потенциальную энергию, обусловленную изгибом полок. Изгибная жесткость полки может быть принята

равной BJ2. Прогиб сжатой полки у + — /кр. Прогиб растянутой полки у ----- Лф.

Следовательно, потенциальную энергию Vlt обусловленную потерей устойчивости пло­ ской фоомы изгиба, можно представить в следующей форме:

Для расчета двутавровой балки выражение (15) необходимо подставить в соот­ ношение (7) вместо выражения (9). Выражение для Ркр остается в прежнем виде: Ркр =

_ kVBfi

(2I)2 •

Значения fc, найденные при удержании в разложении (14) двух первых членов, при­ ведены в табл. 6. Этот метод использовался также при расчете всех других таблиц.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

Расчет критической нагрузки за пределом упругости возможен тогда, когда известно соотношение между деформацией е и соответствующим напряжением р для неупругого де­ формирования. Это соотношение не является больше линейным и модуль упругости Е за пределом упругости будет переменным. Его можно определить следующим образом:

касательный модуль за пределом упругости

где 6е — приращение деформации, соответствующее приращению напряжения 6р. Величина Ег на диаграммах зависимости деформации от напряжения материала за

пределом упругости (деформация соответствует горизонтальной координате) для произволь­ ного значения р будет равна углу наклона к кривой в точке, соответствующей напряже­ нию р.

Рассмотрим конструкционную сталь, для которой Е = 2,1 10° кг/см2. Предполо­ жим, что касательный модуль Ег можно представить соотношением

6р_

(17)

6е

1 В рассматриваемом случае при сжатии стержня может быть получено много различ­ ных равновесных форм потери устойчивости, но практический интерес представляет только одна первая форма, которая является симметричной (рис. 4, б).

так что Ег уменьшается по параболическому закону. Некоторые значения отношения EJE, вычисленные на основании формулы (17), представлены во втором столбце табл. У.

Из рассмотрения изгиба балок, сжимаемых за пределами упругости, известно, что изгибная жесткость уменьшается с увеличением сжимаемых напряжений и что в случае пря­ моугольного поперечного сечения эта жесткость может быть вычислена по формуле 1

где / _ момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси, а

Некоторые значения отношения Е'/Е, вычисленные по формуле (19), приведены в третьем

столбце табл. 9.

Для того чтобы упростить задачу расчета критической силы, сделаем два предпо­ ложения:

1.Изгиб балок за пределом упругости не уменьшает ее крутильной жесткости С.

2.При расчете величины уменьшения изгибной жесткости В2 напряжения сжатия и растяжения в полках считаются постоянными вдоль пролета балки и равными максималь­

21/h в пределах упругости представлены кривой / на рис. 3; соответствующие числовые зна­ чения критических напряжений даны в табл. 2.

Предположим далее, что критические напряжения лежат за пределом упругости, напри­ мер /?кр = 2640 кг/см2. Этому напряжению на кривой I рис. 3 соответствует точка С; из

диаграммы 2l/h = 9,2. Однако известно, что кривая / дает завышенные значения ркр за пределом упругости. Точные значения ркр будут меньше и более низкое значение отношения

2l/h, по сравнению с найденным ранее, будет соответствовать напряжению 2640 кг/см1. Действительное значение 21/h может быть найдено последовательными приближениями.

Предположим, например, что действительное значение 21/h = 8. Этому значению согласно табл. 2 соответствуют а = 1,22, Р = 4,63 X 10"“4. Принимая во внимание тот

ваемое ранее, и, следовательно, второе приближение для отношения 2l/h достаточно точное. Такое решение отмечено на рис. 3 точкой А.

1 К а г m а п Th. Untersuchungen iiber Knickfestigkeit. Gottingen, Dissertation, 1909. Эта работа опубликована под тем же названием в «Mitteilungen iiber Forschungsarbeiten», herausgegeben vom Kerein deutscher Ingenieure, 1910, Hft 81,44 S. [Перепечатка: К а г m a n Th. Collected works. Butterworths scientific publication Ld., 1956,. vol. 1, p. 90— 140.]

слишком большое.

Во втором приближении предположим, что 2l/h = 5,3. Тогда, как и выше, подобным образом найдем а = 1,20, Р = 4,67 10“ 4, ркр = 3360 кг/см2.

Это значение ркр тоже слишком большое. Полагая в качестве третьего приближения

2l/h = 5,48, получаем достаточно точный результат. На рис. 3 этот результат отмечен точ­ кой В.

Подобным образом можно найти величину 2l/h для любого другого значения ркр за

пределом упругости и построить соответствующую кривую, связывающую между собой ркр и 2l/h. Эта кривая, как следует из расчетов, лежит выше линии MN (формула прямой

линии), которая ранее предлагалась в качестве приближенного решения, т. е. расчеты по этой формуле будут всегда давать коэффициент безопасности несколько выше, чем соответ­ ствующее решение, основанное на формуле прямой линии (см. рис. 4).

СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ВЫСОКОМ ДАВЛЕНИИ

Properties of matter under high pressure. Mechanical Engineering, 1925, vol. 47, N 6, June, p. 513—515.

В очень интересной статье, недавно представленной профессором П. Бриджменом под названием «Свойства вещества при высоком давлении» \ эксперименты, касающиеся разрушения материалов, казалось бы, противо­ речили хорошо известным теориям прочности. Так как такие теории проч­ ности имеют большое практическое значение и это касается пластических материалов, автор полагает, что упомянутые эксперименты не исключают использования указанной теории в рамках обычных случаев применения.

Справедливость теории касательных напряжений. В первую очередь следует заметить, что не существует единственной теории, которую можно было бы рассматривать как подходящую для всех случаев и применять для всех видов материалов и для всех типов разрушения. Обычно рассмат­ ривается два вида разрушения: а) разрушение, обусловленное отрывом частиц по некоторой плоскости, перпендикулярной направлению одного из главных напряжений, и б) разрушение, связанное со скольжением.

Удовлетворительная теория прочности, находящаяся в хорошем соот­ ветствии с известными экспериментами, существует только для второго вида разрушения. Эта теория, развитая О. Мором *, основана на том допу­ щении, что все плоскости проходят через какую-нибудь точку тела, находя­ щегося в напряженном состоянии, и нагружены теми же самыми нормальны­ ми напряжениями, наименьшее из которых имеет место там, где касательное напряжение имеет наибольшее значение. При таком допущении прочность будет зависеть от отношения между максимальным и минимальным значения­ ми главных напряжений в рассматриваемой точке. Третье главное напряже­ ние не влияет на прочность. При практическом применении эта теория ис­ пользуется только для предварительного определения нагрузки, при кото­ рой в опасной точке конструкции начнется течение материала.

Для такого пластичного материала, как конструкционная сталь, пределы текучести при простом растяжении и простом сжатии могут счи­ таться равными, откуда можно без существенной ошибки предположить, что во всех случаях, когда максимальное и минимальное значения напряжений21

1 B r i d g m e n P . W. Properties of matter under high pressure. Mechanical Enginee­ ring, 1925, vol. 47, N 3, p. 161— 169.

2 M о h г О. Welche Umstande bedingen die Elastizitatsgrenze und den Bruch eines Materials? Zeitschrift des Vereines deutschen Ingenieure, 1900, Bd 44, N 45, S. 1524— 1530.

имеют противоположные знаки (одно является растягивающим, другое — сжимающим), теория Мора совпадает с теорией максимальных касательных напряжений. Отсюда следует, что в таких важных случаях, как растяжение, сжатие, изгиб, кручение и одновременное нагружение изгибом и кручением призматических стержней, может быть использована простая теория мак­ симальных касательных напряжений.

В более сложных случаях трехмерных напряженных состояний, в ко­ торых все три главных напряжения имеют один и тот же знак, может при­ меняться обобщенная теория прочности О. Мора. Экспериментальным пу­ тем было показано \ что если на простое растяжение наложить всесторон­ нее гидростатическое давление, то предельное касательное напряжение, при котором начинается скольжение, увеличивается. Если все три главных напряжения являются растягивающи­ ми, то скольжение может начаться при очень малых значениях касатель­ ного напряжения, а разрушение плас­ тического материала при таких усло­ виях не указывает на присутствие заметной остаточной деформации. При­ мерами такого типа разрушения, оче­ видно, будут случаи разрушения, вы­ званного остаточными напряжениями

или напряжениями, обусловленными неравномерным нагревом. В случае существования внутренних трещин или дефектов в поковках или отлив­ ках из пластичного материала поломка может произойти внезапно, сопро­ вождаясь похожим на взрыв звуком и без заметной остаточной деформации.

Цилиндры при внутреннем давлении. В экспериментах П. Бриджмена с цилиндрами, нагруженными внутренним давлением, отмечалось, что те­ чение материала начиналось на внутренней поверхности. Однако из этого еще нельзя заключить с достаточным основанием, что разрушение также бу­ дет начинаться на внутренней поверхности. За пределом упругости рас­ пределение напряжения по толщине стенки цилиндра не будет следовать простому закону, полученному согласно формуле Ляме, и может быть представлено с достаточной точностью с помощью теории пластических де­ формаций 2.

Если предположить, что материал цилиндра полностью находится в пластической области, то главные напряжения в радиальном и окружном направлениях 321 можно представить следующими выражениями (см.рисунок ):

deutscher Ingenieure, 1911, Bd 55, N 51, S. 1749— 1757. [Перепечатка: К а г m a n Th. Col­ lected works, vol. 1. Ld. Butterworths Scientific Publication, 1956, p. 274— 303].

2 См. резюме статьи Б. Сен-Венана. ( S a i n t - V e n a n t B . Sur l’intensite des forces capables de deformer, avec continuite, des blocs ductiles, cylindriques, pleins ou evides, et places dans diverses circonstances. Comptes Rendus des Seances de L ’Academie des Sciences, 1872, t. 74, N 16, p. 1009— 1015.) в книге: T o d h u n t e r I., P e a r s o n K. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, vol. 2, pt 1. Cambridge, University Press, 1893, <$261, p. 172— 174.

3 Согласно исследованию Л . Турнера (Т и г п е г L. В. The stresses in a thick hollow cylinder subjected to internal pressure. Trans, of the Cambridge Philos. Soc., 1908, vol. 21, N 14, p. 377— 396; см. стр. 388) следует, что продольные напряжения никогда не будут на­ столько велики, чтобы стать составляющими пластического сдвига.

в которых Rt — главное напряжение в радиальном направлении (см. рису­ нок); /?2 — главное напряжение в окружном направлении; S — предельное

Сравнивая оба случая и предполагая, что огибающая предельных кру­ гов в теории Мора обычного типа, получаем, что разрушение следует ожи­ дать на внешней поверхности. Течение должно перемещаться к центру приблизительно по логарифмической спирали. Это находится в хорошем соответствии как с экспериментами П. Бриджмена, так и с некоторыми экспериментами, опубликованными ранее *.

Интересно отметить, что когда происходит внезапное разрушение ци­ линдра, то на внутренней части его в некоторых случаях заметны линии скольжения. Этот тип разрушения очень похож на разрушение при испыта­ нии на растяжение мягкой стали. На внутренней части образца обычно за­ метно разрушение, которое произошло в некоторой плоскости, перпендику­ лярной к оси образца, в то время как на внешней части заметны линии сколь­ жения.

Истинное удлинение при испытании. Ненормальное удлинение внешней поверхности без возникновения разрушения, которое было обнаружено П. Бриджменом в некоторых его экспериментах, не является проявлением каких-либо удивительных особенностей, оно имеет то же самое значение, что и при обычных экспериментах на растяжение. Для того чтобы показать это, необходимо только учесть, что в испытаниях на растяжение пластиче­ ская деформация сосредотачивается главным образом в поперечном сечении, в котором возникает разрушение. Поэтому относительное удлинение, за­ меренное на базе в 5,08 см измерителя деформаций, не имеет физического значения. Для того чтобы получить максимальное удлинение в поперечном сечении, в котором произошло разрушение, следует замерить уменьшение площади поперечного сечения. Пусть через F0 будет обозначена начальная площадь поперечного сечения, а через F — площадь после разрыва. Тогда, полагая, что плотность материала остается неизменной, получаем следующее

выражение для истинного относительного удлинения при разрушении в про­ центах:

Gleichgewichtszustande bildsamer Massen und die Nachspannungen bleibend verzerrter Korper. Zeitschrift fur Physik, 1924, Bd 30, N 2, S. 106— 138; CM. crp. 113.

Например, в случае мягкой стали, имеющей относительное удлинение, равное 36%, и уменьшения площади на 70%, истинное относительное удли­ нение при разрыве равно

H - n = W - ' ) 100=233% ’

что в 6 раз превышает величину, полученную при обычном методе расчета. Для случая отожженной меди \ имеющей относительное удлинение, равное 54%, и боковое обжатие, равное 75%, истинное относительное

удлинение равно

в = (T = W - 0 10 0 = зоо% >

что в 5,5 раза больше, чем значение, полученное согласно обычному расчету. Относительное удлинение, полученное с помощью формулы (4), имеет такое же значение, которое П. Бриджмен получил в своих экспериментах. Интересно отметить, что относительные удлинения, которые получаются при обычных установившихся в практике изгибных испытаниях, также значительно больше, чем те, что подсчитываются обычным путем на основе

испытаний на растяжение.

Величина относительного удлинения на внешней поверхности, когда действительно появляется разрушение, должна зависеть не только от каса­ тельного напряжения, на также и от продольного растягивающего напряже­

нии величина относительного удлинения на внешней поверхности е будет сравнительно мала.

Внешнее обжатие. Разрушение пластических материалов, связанное с эффектом обжатия, имеет очень интересное свойство. Создается впечатле­ ние, что до сих пор не проводились испытания такого рода. Полученные результаты могут быть приведены в соответствие с теорией Мора. Необхо­ димо только предположить, что касательное напряжение, которое необхо­ димо для того, чтобы вызвать разрушение при сжатии, должно быть больше, чем это же напряжение для случая растяжения.

Совпадение предела текучести и предела разрушения в случае эффекта обжатия зависит не от свойств материала, а от испытательной аппаратуры. Легко видеть, что образовавшаяся на образце шейка в этих экспериментах вызывает увеличение продольной растягивающей силы, в то время как при обычном испытании на растяжение образование шейки частично разгружает образец.

Эффект обжатия для случая хрупкого материала находится в хоро­ шем соответствии с подобными экспериментами, ранее проведенными А. Фёпплем. Он показал12, что в бетоне максимальное касательное напря­ жение, необходимое для возникновения разрушения, когда главные напря­ жения являются сжимающими и равны гидростатическому давлению по всем плоскостям, включая и ось, имеет ту же величину, что и в случае прос­ того сжатия.

Цилиндры, нагруженные внешним давлением. При обсуждении экспе­ риментов с цилиндрами, нагруженными внешним давлением, П. Бриджмен

1 Данные эксперимента взяты из статьи L u d w i с k Р. Festigkeit und Materialpriifung. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1924, Bd 68, N 10, S. 212— 214.

2 F 6 p p 1 A. Weitere Erfahrungszahlen fur die Festigkeit von Beton. Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Kaiserlichen technischen Hochschule, MOnchen, Neue Folge. 1909, Hft 31, S. 43—51.

высказал мнение, с которым автор не может согласиться. Он утверждал, что „сплющивание цилиндра, нагруженного внешним давлением, зависит от очень малых отклонений от идеальной геометрической симметрии и в боль­ шинстве случаев обусловлено некоторым незначительным геометрическим несовершенством” Известно, что сплющивание в пределах упругости зави­ сит только от размеров трубы и величины модуля упругости. Геометрически совершенная труба будет сплющиваться, когда внешнее давление достигнет определенного критического предела, а геометрически несовершенная тру­ ба будет выдерживать давление, если оно будет находиться ниже критиче­ ской величины.

Большие влияния гистерезисов. Необычно большое влияние гистере­ зиса, полученное в экспериментах с цилиндрами, нагруженными циклически меняющимся внешним давлением, может быть объяснено следующим обра­ зом. В процессе приложения давления на внутренней поверхности возни­ кает текучесть стали и образуются остаточные линии скольжения. После снятия давления на внешней части цилиндра, работающей в упругой области, возникают усилия, достаточные для того, чтобы вызвать во внутренней час­ ти цилиндра пластическое скольжение в обратном направлении. Площадь петли гистерезиса будет при этом отражать не свойства материала, а свойства самой конструкции и в рассматриваемом случае будет зависеть от отношения между внешним и внутренним радиусом цилиндра.

Тот факт, что в капиллярных стеклянных трубках были получены исключительно высокие напряжения, которые не вызвали разрушения, является очень интересным. В связи с этим можно упомянуть важную статью А. Гриффитса1. В этой работе, в которой использовалось стекло, А. Гриф­ фитсу удалось получить без возникновения разрушения такие напряжения, как 63 300 кг/см2. В той же статье развивается очень важная теория проч­ ности полосы, ослабленной трещиной. Возможность распространения тре­ щины рассматривалась с точки зрения изменения полной энергии системы.

В заключение следует отметить, что эксперименты П. Бриджмена вы­ явили некоторые очень интересные особенности, которые могут оказаться существенными при развитии теорий прочности, но в них не представлена теория максимальных касательных напряжений в качестве критерия тече­ ния для таких важных случаев, как растяжение, сжатие, изгиб и кручение стержней из пластического материала.

1 G r i f f i t h A. A. The phenomena of rupture and flow in solids. Philosophical Trans­ actions of the Royal Soc. of London. Ser. A, 1921, vol. 221, p. 163— 198; Stress concentrations

in theory and practice. Report British Association for the Advancement of Science, 1921, (Vol. 89, p. 316—324.

в основном, тем фактом, что коэффициенты безопасности, которые исполь­ зуются при проектировании, обычно достаточно велики, чтобы обеспечить необходимый запас прочности для любой концентрации напряжения, кото­

рая может возникнуть при эксплуатации.

Так как современная тенденция состоит в увеличении / рабочих напря­ жений и в создании, таким образом, более экономичных конструкций, то проблема концентрации напряжения становится практически очень важ­ ной, и, следовательно, концентрацию напряжения необходимо принимать во внимание при конструировании. Однако прежде чем приступить к этому, необходимо что-либо знать о величине действующих напряжений. Ниже обсуждаются различные методы решения таких задач о концентрации на­ пряжения и приводятся некоторые практические рекомендации на основа­ нии этих решений х.

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ

Для изучения концентрации напряжения можно использовать несколь­ ко методов и они будут обсуждены в следующих параграфах.

Аналитический метод. Этот метод дает возможность вычислять концен­ трацию напряжения для таких простых случаев, как круговое или эллипти­ ческое отверстие в предположении, что материал однороден и совершенно упруг. Приближенный метод решения задач подобного рода будет развит ниже.

Метод фотоупругости. Этот метод можно использовать для изучения кон­ центрации напряжения, вызванной отверстиями или галтелями, если только задача двумерная. Ниже будет дано приложение этого метода к решению задачи о концентрации напряжения в галтели.

Методы линий Людерса. Когда напряжения достигают некоторой вели­ чины, то на полированной поверхности образца из мягкой стали, подвер­ женного действию простого растяжения или сжатия, появляются определен­ ные линии, называемые линиями Людерса. Это свойство может быть ис­ пользовано для обнаружения точек наибольшей концентрации напряжения и для оценки максимального напряжения. Ниже будет дано приложение метода к задаче о концентрации в галтеле.

Точные экстензометрические измерения также можно использовать для определения концентрации напряжения, вызванной галтелями или от­ верстиями. Некоторые эксперименты подобного рода были выполнены не­ мецкими исследователями12. Полученные результаты очень хорошо согла­ суются с аналитическим решением.

КРУГОВЫЕ ОТВЕРСТИЯ

Если пластина с небольшим круговым отверстием подвержена равномер­ ному растяжению (рис. 1), то распределение напряжения вблизи отверстия можно найти из общих уравнений теории упругости. Приближенное решение

1 Здесь будут рассмотрены только задачи концентрации напряжения в конструкциях при растяжении, сжатии или изгибе. Задача концентрации напряжения в валах при круче­