книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Приравнивая это выражение приращению потенциальной энергии троса, имеем

Коэффициенты аъ а2, а3, ... могут быть вычислены для каждого частного случая, как было показано выше, так что уравнение (18) устанавливает опре­ деленное соотношение между р и величиной подвижной нагрузки р. Простей­ ший путь решения этого уравнения для любого частного распределения нагрузки состоит в принятии некоторого значения для р, т. е. некоторого уве­ личения горизонтальной составляющей натяжения троса, и вычисления из уравнения (18) интенсивности подвижной нагрузки /?, необходимой для того, чтобы вызвать такое натяжение троса. Тогда, полагая, что для малых из­ менений натяжения троса величина р пропорциональна р, легко можно вы­ числить дополнительное натяжение для любого значения величины р.

Для того чтобы показать эту процедуру, возьмем рассмотренный выше числовой пример и положим, что f = 44,29 м\ F = 1774 см2 — площадь поперечного сечения троса, a w = 8660 кг/м — интенсивность постоянной нагрузки. Тогда, используя предыдущие данные, имеем

i

определяется выражением (13). Предположим, что интенсивность р подвижной нагрузки такова, что вызывает некоторое увеличение натяжения троса.

— 288,0 = 0, откуда р = 119,8 кг/см. Это — интенсивность подвижной на­ грузки, необходимой для того, чтобы вызвать увеличение Н горизонтальной составляющей, равное 0,2Hw. Увеличение натяжения троса для любой другой интенсивности подвижной нагрузки может быть легко вычислено. Предположим, например, что подвижная нагрузка 5952 кг/м занимает про­ лет фермы в пределах от х = 0 до х = И4, тогда соответствующее увеличение горизонтальной составляющей натяжения троса будет равно

В этих вычислениях было принято, что |3 изменяется пропорционально нагрузке р, но, как можно видеть из основного уравнения (18), данное пред­ положение не совсем верно. Для того чтобы показать, какие ошибки может

вует пропорциональная зависимость между (3 и р. Таким образом, был получен второй столбец таблицы. Во втором слу­

чае нагрузки р' были вычислены из уравнения (18) независимо для каж­ дого значения |3.

Как видно из таблицы, отклонение от пропорциональности между Р и р' мало, а именно, р возрастает несколько быстрее, чем р'. Это означает, что с увеличением нагрузки большая ее часть, пропорциональная р, будет восприниматься тросом. В то же самое время это отклонение от пропорцио­ нальной зависимости мало, и может быть сделан вывод, что при вычислении р из уравнения (18) грубое приближение для р будет вполне достаточно для получения р с заданной точностью.

При вычислении отклонения общего выражения для работы, произ­ водимой нагрузкой, действующей на трос [см. выражение (17)], использо­

валось среднее значение w + - у . Это совершенно верно только тогда, когда

прогибы пропорциональны нагрузкам. Для того чтобы найти ошибки, вно­ симые таким методом вычисления, были проделаны дополнительные вычисле­ ния путем разделения процесса нагружения на два этапа. Каждый этап пред­ ставляет нагружение нагрузкой, составляющей половину окончательной интенсивности. При вычислении натяжения троса на первом этапе исполь­ зовался предыдущий метод. Вычисления натяжения троса на втором этапе были выполнены с учетом изменений натяжения троса и нагрузки, вызван­ ных нагружением на первом этапе. Эти вычисления показывают, что ошибки, вносимые таким методом при определении работы, выполненной нагрузками, действующими на трос, для обычных значений очень малы и ими можно пре­ небречь.

1 Эти сычисления были выполнены профессором Дж. Пристером (Р г i е s t е г G. С. Application of trigonometric series to cable stress analysis in suspension bridges. Engineering Research Bulletin N 12. University of Michigan. Michigan, Ann Arbor, 1929, 52 p.). В этом случае для а было принято более точное значение, а именно 1,746 и все вычисления выполне­ ны с четырьмя значащими цифрами.

Для уже рассмотренного числового примера положим, что 1г = 217,5 м, Wi = 9121 кг/м, Е1г =6,22 1014 кг см?, L = 1052 м.

Тогда для нагружения, показанного на рис. 5, линия прогиба среднего пролета фермы будет, как и прежде, определяться уравнением (19). Линии прогиба боковых пролетов ферм будут представлены формулой (14а), так что, подставляя численные значения и выбирая (5 = 0,2, получаем

пролета, как показано на рис. 5, то увеличение горизонтальной составляю­ щей будет равно

ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

Этот же метод можно также использовать при вычислении дополни­ тельной горизонтальной составляющей Н натяжения троса, вызванного из­

менением температуры. Пусть со = 1,11 10” 5 — коэффициент линейного i

расширения на 1° С, a Lt = ds. Тогда работа сил натяжения троса,

о

вызванных изменением температуры, равна 1 i

Используя, как и прежде, для изменения потенциальной энергии троса выражение (10), получаем суммарную работу сил натяжения троса

Эта работа должна быть равна работе, совершаемой вертикальной нагруз­ кой, действующей на трос. Для определения этой последней работы восполь­ зуемся формулами (17) и (20). Уравнение для искомого Н будет равно

Теперь для любого изменения температуры может быть легко вычисле­ на дополнительная горизонтальная составляющая Н. Допуская, например, что температура возрастает относительно нормальной на 30,9° С, получаем

Н --------Hw 274 = — 113 400 ка.

Суммируя этот результат, обусловленный действием температуры, с уже подсчитанным для случая распределенной нагрузки, показанной на рис. 5, получаем полное изменение горизонтальной составляющей натяже­ ния троса Н = 406 900— 113 400 = 293 500 кг, которое отличается от ре­ зультатов Дж. Джонсона, К. Брайена и Ф. Турнора 1 приблизительно толь­ ко на 2,5%. Такое совпадение кажется удовлетворительным, так как все вычисления были выполнены на логарифмической линейке и использовалось приближенное значение коэффициента линейного температурного расшире­ ния. Лучшее приближение получится, если в качестве первого приближения использовать данные значения и более точные значения |3из уравнения (22).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показано, что при использовании тригонометрических рядов для ли­ нии прогиба пролетной фермы становится возможным непосредственное вы­ числение изменения горизонтальной составляющей натяжения троса и что при таком вычислении легко может быть принято во внимание действительное распределение подвижной нагрузки. Вычисления прогибов и изгибающих моментов пролетной фермы вследствие быстрой сходимости рядов, пред­ ставляющих линии прогибов, могут быть выполнены без затруднений и го­ раздо быстрее, чем при использовании обычных методов.

ОТВЕТ НА ДИСКУССИЮ ПО СТАТЬЕ

Преимущества применения тригонометрических рядов для исследова­ ния натяжения троса висячих мостов подтверждались в различных работах, опубликованных в течение 1928 г. Мартин 2 предложил этот метод независи-

мо от автора в то же самое время и использовал его при обсуждении работы Л. Моисеева 1 относительно моста в Деловере. Е. Штаерман 2 показал, что этот метод может быть использован не только тогда, когда момент инерции подкрепляющей фермы постоянен в пределах целого пролета, но и тогда, когда он переменный. Дж. Карпинский 3 получил очень хорошие результа­ ты для изгибающих моментов в подкрепляющей ферме, используя для про­ гиба фермы метод тригонометрических рядов, предложенный автором, а также приближенные формулы Дж. Резала 4*и Г. Пигуда 6 для вычисления изменения натяжения троса. Г. Пристер 6 применил метод тригонометриче­ ских рядов для случаев, когда трос подкреплен пилонами, а на пролет дей­ ствует сосредоточенная нагрузка. На основе этой работы он заключил, что численные расчеты с помощью тригонометрических рядов проще, чем расче­ ты по методу перемещений.

В дискуссии по статье автора Л. Фрост 7 заявил, что практическое зна­ чение применяемого метода как средства уменьшения работы несколько со­ мнительно, так как «он почти не имеет значения для инженеров-практиков этой профессии». Автор должен принести извинения, если заглавие статьи может ввести в заблуждение относительно возможности его использования для предварительных оценок стоимости. Наша цель — развить метод анали­ за натяжения троса висячих мостов без включения некоторых произвольных допущений обычного метода и в то же время путем введения допущений, которые были бы достаточно просты для практического использования. Тот факт, что получается более точное решение с меньшими затратами, оправды­ вает применение рядов с инженерной точки зрения. Автор согласен с Фрос­ том, что работа такого рода необходима для узкого круга и не представляет интереса для инженеров-практиков. Однако время от времени необходимо обсуждать основные допущения, на которых основаны инженерные методы анализа, и убедиться, что они достаточно точны и просты.

X. Роде 8, ссылаясь на первый числовой пример в работе, поднимает вопрос об изменении натяжения троса вследствие подвижной нагрузки. Это изменение может быть вычислено с помощью метода, развитого в работе. Можно показать в этом случае, что оно мало и им можно пренебречь при вы­ числении приближенного значения прогиба. Относительно уравнения (23) заметим, что, к сожалению, полной производной выражения не приведено, это не позволяет сравнить расчеты, проделанные на основе обычно приме­ няемого уравнения (4) с вычислениями по более точному уравнению X. Роде.

Обсуждение Е. Штаермана является очень интересным развитием мето­ да рядов Фурье. Показано, что с помощью этого метода может быть легко

проанализирован случай фермы переменной жесткости. Таким образом, Е. Штаерман пришел к интересному выводу, что значительное уменьшение жесткости фермы на опорах лишь незначительно влияет на величину натя­ жения троса. Этот результат имеет практическое значение и дает преимуще­ ства при проектировании подкрепляющих ферм различной жесткости.

При обсуждении Г. Пристер привел несколько интересных примеров применения предлагаемого метода. Он представил также расчеты, которые подтверждают точность этого метода при определении натяжения троса. Обсуждение последовательного приложения подвижной нагрузки, увеличен­ ной в два раза, выясняет ошибку, которую можно ожидать, если использо­ вать принцип наложения при рассмотрении таких конструкций, как висячие мосты. Анализ натяжения неподвижного троса на пилоне дает простое реше­ ние в форме рядов задачи, которая обычно решалась только методом после­ довательных приближений. Использовав ряд методов, Г. Пристер получил линию влияния натяжения троса и изгибающих моментов. Это позволяет определить наиболее неблагоприятные нагрузки для каждого поперечного сечения фермы.