Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистика и анализ геологических данных

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5853 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

О О О о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

. . .

PROGRAM 7 .1 0
PRINCIPAL		COMPONENT ANALYSIS
THE PROGRAM ACCEPTS AN N BY M DATA							MATRIX WHERE N IS THE NUMBER
OF OBSERVATIONS AND M IS THE NUMBER OF VARIABLES. IF THE
FIRST OPTION			IS	I ,	AN M BY M MATRIX OF COVARIANCES				BETWEEN
COLUMNS WILL			BE	COMPUTED.		IF TH IS	OPTION IS 2 , AN		N BY N
MATRIX OF COVARIANCES BETWEEN ROWS WILL BE COMPUTED. IF THE
OPTION IS		0 ,	THE	PROGRAM CALLS E X IT , AS THE PROGRAM					LOOPS BACK
AND RESTARTS AFTER COMPLETION OF AN ANALYSIS. IF THE SECOND
OPTION IS		I ,	A STANDARDIZED COVARIANCE (CORRELATION) MATRIX
IS	CREATED.		IF	TH IS OPTION IS 2 ,			A RAW	COVARIANCE	MATRIX
IS	CREATED.
FORMAT OF CONTROL CARD
	COL	1 -3	0	*	END OF	JOB	INPUT	DATA MATRIX
			1 *		DQ NOT TRANSPOSE
			2	*	TRANSPOSE INPUT		DATA MATRIX
	COL	4 -6	1 = CALCULATE CORRELATION MATRIX
			2 .« CALCULATE COVARIANCE MATRIX
SUBROUTINES			REQUIRED ARE			READM, PRINTM,		STAND, RCOEF, COV,
EIG ENJ, AND			MMULT.
DIMENSION		X ( 5 0 ,5 0 ) , A ! ( 5 0 , 5 0 ) ,A 2 ( 5 0 , 5 0 ) ,SCORE(5 0 ,5 0 )
M D*50
ND=50
MM*50
READ CONTROL			CARD

О О О

1 READ ( 5 ,1 0 0 0 ) IT R A N S ,IS IM

I F (ITRANS .L E . 0 ) CALL E X IT

. . . READ AND PRINT INPUT DATA MATRIX

О О О О

CALL	READM (X,N,M,ND,MD)
CALL	PRINTM( X , N , M, ND, MD)
WRITE	(6 ,2 0 0 1 )
. . . IF CORRELATION MATRIX IS TO BE CALCULATED, STANDARDIZE
INPUT	DATA MATRIX AND PRINT STANDARDIZED DATA MATRIX

О О О

IF (IS IM .N E . I ) GO TO 2

	CALL		STA ND(X,N,M ,ND,M D)
	CALL		PR IN T M (X ,N ,M ,N D ,M D )
	WRITE			(6 ,2 0 0 6 )
. . .	TRANSPOSE				INPUT	DATA	MATRIX ( I F REQUIRED)
2	IF	(ITRANS			.N E .	2 ) GO	TO 3
	MT*M			.G T .	M) MT=N
	IF	(N
	DO	110		1 * 1 , MT
	DO	110		J * I,M T

X S * X ( I,J )

X ( I , J ) * X ( J , I )

X (J ,I) = X S

110CONTINUE MT*M

О О О О О О

. . .

M=N

N=MT


CALCULATE			AND PRINT S IM ILA R ITY MATRIX
3 IF	(IS IM		.EQ. I ) CALL	R C O E F(X ,N ,M ,N D ,M D ,A l, MM)
IF	(IS IM		.EQ . 2 ) CALL	COV ( X ,N ,M ,N D ,M D ,A 1,MM>
CALL		PRINTM (AI,M ,M ,M M ,M M )
WRITE		(6 ,2 0 0 2 )
CALCULATE			EIGENVALUES	AND-EIGENVECTORS

О О О О

. . .

CALL E IC E N J(A l',A 2,M ,M M )

MOVE EIGENVALUES TO FIRST COLUMN CALCULATE SUM OF EIGENVALUES

SUME=0.0

DO 100 1 = 1 ,M

A 1 ( 1 , 1 ) = A I( 1 , 1 ) SUME=SUME+AI( 1 , 1 )

100 CONTINUE

О О О

. . .

CALCULATE PERCENT CONTRIBUTION OF EACH EICENVALUE

О О О О О О О


	SUM EE-0.0
	DO 101		1 = 1 ,M
	A i d , 2 ) =A 1 (1 , I )*1 0 0 .0/SUME
	SUMEE=SUMEE+A1 ( 1 ,1 )
101	A I ( 1 , 3 ) =SUMEE*I 0 0 . 0/SUME
	CONTINUE
. . . PRINT EIGENVALUES AND PERCENT CONTRIBUTION
	CALL	PRINTM( A I , M, 3 , MM, MM)
	WRITE	(6 ,2 0 0 3 )
. . .	PRINT	EIGENVECTORS
	N O T E ...		EIGENVECTORS ARE STORED COLUMNWISE

О О О

. . .

CALL	PR INTM( A 2, M, M, MM, MM)
WRITE	(6 ,2 0 0 4 )

CALCULATE AND PRINT SCORES

CALL		MMULT(X,A2,SCORE,N,M,M,ND,MD,MM,MM,ND,MD)
CALL		PRINTM(SCORE,N,M,ND,MD)
WRITE			(6 ,2 0 0 5 )
1000	00	TO	I.
	FORMAT		(2 1 3 )	DATA	MATRIX - ' , 1 X ,
2001	FORMAT		(IH 0 ,4 X ,'IN P U T
1	'COLUMNS = VARIABLES, ROWS = OBSERVATIONS')
2002	FORMAT		( IH 0 .4 X ,'S IM IL A R IT Y		M A T R IX ')
2003	FORMAT		( I Н О ,4X,'COLUMN	I =	El GENVALUES',2X,
1	'COLUMN 2 = PERCENT OF T R A C E ',/,
2	5X,'COLUMN 3 = CUMULATIVE PERCENT OF TRACE')
2 0 0 4	FORMAT		( IH 0 ,4 X ,'P R IN C IP A L		AXIS MATRIX - ' , IX ,
I	'COLUMNS = EIGENVECTORS,				ROWS = VARIABLES')
2 005	FORMAT		( I Н О ,4 X , 'P R IN C IP A L		COMPONENT SCORES - ' , I X ,
I	'COLUMNS = EIGENVECTORS,				ROWS = OBSERVATIONS')
2 0 0 6	FORMAT		(1 Н О ,4X,'STANDARDIZED			INPUT DATA MATRIX - ' . I X ,
I	'COLUMNS = VARIABLES,			ROWS =		OBSERVATIONS')

END

Программа 7.10. МГК

EIGENJ (программа 4.10). Программа 7.10 представляет воз можность выбора ковариационной матрицы для стандартизиро ванных и для нестандартизированных переменных. Стандарти зированные ковариации, конечно, являются корреляциями и вы числяются по подпрограмме RCOEF (программа 7.3). В этом примере подпрограмма COV (программа 7.11) используется для вычисления необработанной ковариационной матрицы. Главные компоненты, т. е. собственные векторы, приведены в табл. 7.23. Отметим, что две первые главные компоненты учитывают 90% изменчивости данных. Натрузки по переменным для двух компо нент представлены на фиг. 7.24. Из этого графика видно, что первая главная компонента характеризует относительные доли тонких и очень тонких фракций в осадке, т. е. отношение песок/глина + ил. Вторая компонента характеризуется отношением содержаний мелкого и очень мелкого песка, а все другие пере менные имеют веса, близкие к нулю. Этих двух компонент вполне достаточно для описания почти всей изменчивости исход ных данных, из которого вытекает, что разделение на илистую и глинистую фракции несущественно. Основные различия между

СPROGRAM 7 . И

С	SUBROUTINE ТО CALCULATE THE MATRIX OF VARIANCE AND
C	COVARIANCES BETWEEN COLUMNS OF				DATA MATRIX	X
C	SUBROUTINE			COV( X ,N ,M ,N 1 ,M I,A ,M 2 )
	SUBROUTINE			COV( X ,N ,M ,N 1 ,M I,A ,M 2 )
	DIMENSION			X ( N I , M 1 ) ,A (M 2 ,M 2 )
	AN=N			.
C	A N I= N -I			.
C	CALCULATE			VARIANCE-COVARIANCE	BETWEEN COLUMNS I AND J
C . . .	CALCULATE			VARIANCE-COVARIANCE	BETWEEN COLUMNS I AND J
C	DO	IOO	1 = 1 ,M'
	DO	IOO	1 = 1 ,M'
C	DO	100	J « I,M
C	ZERO SUMS
C . . .	ZERO SUMS
C	S X 1 = 0 .0
	S X 1 = 0 .0
	S X 2 = 0 .0
C	SX 1X 2 = 0 .0
C	CALCULATE			SUMS AND SUM OF CROSS PRODUCT
C . . .	CALCULATE			SUMS AND SUM OF CROSS PRODUCT
C	DO	101	K = 1 ,N
	DO	101	K = 1 ,N
	S X 1 = S X I+ X (K ,I)
	S X 2 = S X 2 + X (K ,J>
' l ‘d l	S X IX 2 * S X 1 X 2 + X ( K ,I) * X ( K ,J )
' l ‘d l	CONTINUE
C	CALCULATE			VARIANCE-COVARIANCE	AND STORE IN	MATRIX A
C . . ,	CALCULATE			VARIANCE-COVARIANCE	AND STORE IN	MATRIX A
C	A( I , J )= ( SX1X2-SXI*SX2/AN)/AN 1
	A( I , J )= ( SX1X2-SXI*SX2/AN)/AN 1
	A ( J ,I ) = A ( I ,J )

IOO CONTINUE

RETURN

END

Программа 7.11. Подпрограмма COV

						Т а б л и ц а 7.23
Собственные значения и собственные векторы (главные
	компоненты) ковариационной матрицы, указанной
			в табл.	7.22
В е к т о р	С о б с т в е н н о е		В к л а д В д и с п ер		С у м м а р н а я
1	з н а ч е н и е		с и ю , %		д и с п е р с и я
1	659,7759		64,18			64,19
II	318,4384		30,98			95,17
III	35,1959		3,42			98,59
IV		6,7528	0,66			99,25
V		3,8193	0,37			99,62
VI		2,3763	0,23			99,85
VII		1,5540	0,15			100,00
П ере			С о б с т в е н н ы й в е к т о р
П ере	I	II	III	IV	V	VI	VII
м е н н а я	I	II	III	IV	V	VI	VII
X,	-0 ,0 0 1 9	0,0039	- 0 ,0 6 8 9 - 0 ,5 8 2 9		0,7554	0,2793	0,0818
X,	0,7710	-0 ,4 7 7 7	0,3194	0,1885	0,1169	0,1581	0,0326
Хз	0,4167	0,8647	0,0531	0,2116	0,1123	0,1294	0,0421
Х4	-0 ,3 9 0 7	0,0761	0,8844	0,0704	0,0490	0,2280	0,0028
Х5	- 0 ,1 8 9 5	-0 ,0 7 9 4	- 0 ,0 7 7 5	0,6308	0,6255	—0,3240	- -0,2401
Хв	- 0 ,1 6 1 8	- 0 ,0 8 1 3	- 0 ,1 6 2 9	0,3330	0,0526	0,2570	0,8723
Х7	- 0 ,1 3 0 8	- 0 ,0 7 3 5	- 0 ,2 7 5 0	0,2570 ■-0 ,0 8 1 5		0,8107	- -0,4146
Х ,=	1 -2 ф, Х2 = 2-Зф , Х3 ==3-4ф, Х4 = 4-5ф, Ха = 5-6ф, Хв= 6 -7 ф. X, = 7-8ф.

осадками можно почти полностью описать только с помощью двух переменных.

Мы можем проверить результаты нашего анализа путем построения проекций наблюдений на первые две главные компо ненты, что также осуществляется программой 7.10 (МГК). На фиг. 7.25 изображено распределение проекций для первых двух главных компонент; пять различных типов осадочных по род представлены различными символами. Сравните различие между типами осадочных пород на этой диаграмме и диаграмме на фиг. 7.26, на которой изображена зависимость медианы раз меров зерен от коэффициента сортированности (квартиль откло нения). Вероятно, что еще больший интерес представляет фиг. 7.27, где изображено отношение процентного содержания мелкой и очень мелкой песчаных фракций. Все эти диаграммы имеют приблизительно одинаковую эффективность с точки зре ния разделения пяти типов осадков, хотя для построения диа граммы, изображенной на фиг. 7.27, требуется больше экспери ментальных данных, чем для диаграммы на фиг. 7.26. Таким образом, для разделения образцов на семь разных классов по размеру достаточно только двух операций просеивания. Кроме того, результаты анализа с использованием МГК показывают, что осадки в бассейне можно рассматривать как смесь двух

	О
10 “		о
10 “		о				\
		®о				\
		®о
о	~~	о							♦
	~~	о							♦
о 1										*
о 1
									f	^
-20	—						▲	▲
п								▲
п								\
-30								\
-30								•
			0					•
			0
-40									О	1
									О	1
-50	—								■	2
-50	—								•	3
									•	3
-60									А	4
					О					5
-70	______ I______ I______ 1______ 1					1	1	1	1	5
-70	______ I______ I______ 1______ 1					1	1	1	1	+10 +20
- 70		- 60	- 50	- 40	- 30	- 20	-10		0	+10 +20

Фиг. 7.25. Проекции анализов осадков залива Баратария на плоскость двух главных компонент.

Различные символы соответствуют пяти различным типам осадочных пород [15]: 1 — пля жевые и прибрежные пески, 2 — алевритистые русловые пески; 3 — алевритистые берего вые пески; 4 — органический донный алеврит, органические илы.

соответствующий из критериев ANOVA, указанных в гл. 3, опре делите, которая из трех переменных является наиболее эффек тивной.

Возможны и другие методы исследования, которые подтверж дают пользу набора статистик и квазистатистик, используемых для характеристики осадочных отложений. Вычислив эти статис тики, можно использовать их в качестве переменных в МГК, а также выбрать из них те комбинации, интерпретация которых позволит получить эффективную характеристику осадков. Опре деления различных статистик, используемых при изучении раз меров зерен, приведены во многих справочных изданиях по оса дочной петрологии. Напишите короткую программу вычисления некоторых из них и примените ее к необработанным данным табл. 7.21. Используйте статистики в качестве новых перемен ных в программе главных компонент (программа 7.10) и про думайте полученные результаты. (Аналогичные исследования приводят Гриффитс и Ондрик [8].)

R-метод факторного анализа. Основой метода главных ком понент является линейное преобразование ш исходных перемен ных в ш новых переменных, где каждая новая переменная яв ляется линейной комбинацией старых. Этот процесс осуществ ляется таким образом, чтобы каждая новая переменная давала возможно больший вклад в суммарную дисперсию. При вычис лении новых переменных учитываются все исходные дисперсии. Так как МГК, вообще говоря, не является статистическим мето дом, мы ничего не можем сказать о вероятности, связанной с проверкой гипотез. Это просто математический метод. Однако при принятии решений об отбрасывании некоторых новых пере менных или компонент, дающих очень малый вклад в суммар ную дисперсию, приходится использовать некоторые статистиче ские критерии, несмотря на то что последние имеют сильные ограничения и редко применимы (обзор этих критериев приводит Моррисон [22]). Метод главных компонент, как и анализ групп, относится к той категории методов, о пригодности которых судят после их применения, а не на основании теоретических рассуж дений.

Фиг. 7.26. Диаграмма зависимости квартиля от медианы в осадках залива Баратария в ср-единицах.

Символы те же, что и на фиг. 7.25.

Песок (%)

Фиг. 7.27. Диаграмма зависимости процентного содержания песка от отноше ния содержания мелкого песка к очень мелкому в осадках залива Баратария.

Символы те же, что и на фиг. 7.25.

Факторный анализ, который принято считать статистическим методом, несколько отличается от этих методов, так как в его основе лежат некоторые предположения о природе изучаемой совокупности. Эти предположения позволяют указать те опе рации, которые должны быть выполнены, а также путь, по кото рому надо следовать при интерпретации результатов. Для неко торых процедур факторного анализа созданы даже критерии значимости (см. Лоули и Максвелл [17]), которые, однако, редко используются.

В факторном анализе предполагается, что связь между m переменными можно считать отражением корреляционной зави симости каждой из переменных с р взаимно некоррелирован ными факторами. Обычное допущение состоит в том, что р < ш. Поэтому дисперсия для ш переменных может быть вычислена с помощью дисперсии р факторов плюс вклад, происхождение которого одинаково для всех ш исходных переменных. В фак торном анализе р независимых факторов носят название общих факторов, а независимая от них суммарная добавка обычно

34 Заказ № 455

называется фактором специфичности. Факторная модель выра жается в виде

X j = 2 /jrfr+ e j ,	(7.34)
Г = I

где fr — r-й общий фактор, р — заранее заданное число факторов и ej — случайная компонента, присущая исходной переменной Xj. Так как имеется ш исходных переменных X], то существует и ш случайных переменных ej; рассматриваемые вместе, они состав ляют вектор факторов специфичности. Коэффициент 1$ называ ется нагрузкой j -й переменной на г-й фактор. В компонентном анализе этому понятию соответствуют нагрузки или веса на главные компоненты.

Предположим, что переменные Xj имеют многомерное нор мальное распределение. Дисперсии и ковариации образуют мат

рицу порядка m X m . Из	формулы (7.34)	вытекает, что диаго
нальные элементы этой	матрицы — дисперсии ш переменных —
можно выразить формулой
s n = 2 / j r + v a r e j ,		( 7 . 3 5 )

Г= 1

анедиагональные элементы, или ковариации, имеют вид

covjk= 2 V k r -	(7.36)
Г = 1

Основную гипотезу факторного анализа в матричной форме можно сформулировать следующим образом. Наблюдаемая ко вариационная матрица, которую мы обозначим через [s2], явля ется произведением матрицы порядка ш Х р факторных нагрузок (которую мы обозначим [L]) и ее транспозиции плюс диаго нальная матрица порядка гпХш дисперсий факторов специфич ности [varej]:

[s2] = [L] [L]'-f-[vare^.

(7.37)

В результате умножения матрицы порядка т Х р на ее транс понированную получим матрицу порядка m X m , которая, однако, будет иметь только р положительных собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Если р = гп, то мат рица [var ejk] оказывается тождественной и наша задача в точ ности эквивалентна МГК. В тех случаях, когда р < т , мы дол жны оценить матрицу параметров [L], т. е. матрицу факторных нагрузок, и дисперсии факторов специфичности, т. е. матрицу [var ej]. Отметим, что в факторном анализе предполагается, что число факторов р известно до анализа, так как исследователь на основании некоторых предварительных рассмотрений в со-

х2

Фиг. 7.28. Множество данных до стандартизации.

Необработанные данные имеют средние значения

и Х2“ Ю.

стоянии предсказать число факторов, от которых зависит рас сматриваемая модель. Если число факторов р заранее предска зать нельзя, то разделение дисперсий между общими факторами и фактором специфичности становится неопределенным. Этот важный момент иногда остается незамеченным эксперимента торами, которые пытаются использовать факторный анализ для «ловли рыбы».

2 г

		1- •
-2	-1I	•	•	J
-2	-1I	_________L		J
		•	1	2

Фиг. 7.29. Данные фиг. 7.28 после стандартизации, имеющие нулевые средние значения и единичное стандартное отклонение.

Отметим, что пределы изменения обеих переменных одинаковы.

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5853 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202338.86 Mб1Станочные приспособления. Т. 2.pdf
#
19.11.202334.49 Mб85Старая Пермь Дома. Улицы. Люди, 1723-1917.pdf
#
12.11.20231.58 Mб11Статика в задачах биомеханики..pdf
#
19.11.202329.96 Mб1Статика сооружений..pdf
#
12.11.202314.69 Mб0Статика сыпучей среды..pdf
#
12.11.202321.12 Mб2Статистика и анализ геологических данных..pdf
#
12.11.20233.39 Mб3Статистическая механика и теория надежности..pdf
#
12.11.20236.7 Mб1Статистическая механика композитных материалов..pdf
#
12.11.20232.43 Mб4Статистическая обработка результатов экспериментального иcследования технологических процессов..pdf
#
12.11.202312.3 Mб3Статистические закономерности малоциклового разрушения..pdf
#
12.11.20238.94 Mб27Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования..pdf