книги / Статистика и анализ геологических данных

Фиг. 6.23. Тренды от одной, двух и трех независимых переменных для поли­ номиальных уравнений первой, второй и третьей степеней [13].

Двойные ряды Фурье

Как уже отмечалось выше, использование полиномиальных выражений в качестве аппроксимирующих функций для поверх­ ности тренда объясняется главным образом той легкостью, с ко­ торой их можно вычислить. Опыт показывает, что распределение многих геологических переменных, в особенности абсолютных отметок структурных горизонтов, хорошо описывается поверх­ ностями тренда сравнительно небольшого порядка. Однако нет никаких особых оснований для. использования в качестве аппрок­ симирующих функций многочленов, так как возможны и другие варианты выбора таких функций, которые в некоторых случаях могут лучше подходить для тренд-анализа. В качестве таких функций широко используются двойные ряды Фурье.

Терминология, используемая в теории двойных рядов Фурье, заимствована главным образом из электротехники и анализа временных рядов. Необходимые определения и понятия были даны в гл. 5, где мы рассмотрели простые ряды Фурье; здесь же мы дадим соответствующие обобщения этих понятий. Напом­

Фиг. 6.24. Двумерные синусоидальные волны.

а — единственная гармоника в направлении оси Xi; б — две гармоники в направлении оси Хг, в — единственная гармоника в направлении обеих осей Xi и Х2; г — две гармоники

вдвух направлениях.

вточках средних значений Yij по всей карте, некоторой регио­ нальной компоненты, а также локальной компоненты, совме­ щенной со случайной компонентой. Именно эта модель неявно подразумевается при большинстве анализов, выполняемых на основании двойных рядов Фурье, особенно тех, которые посвя­ щены исследованию структурной деформации слоистых оса­ дочных пород (Харбух и Мерриэм [14]). Другие исследования, такие, как изучение распределения рудных тел в некотором

регионе или выяснение химического или минералогического со­ става породы, основываются на более известных моделях тео­ рии временных рядов (Агтерберг [1]). При этом распределение Yjj рассматривается как функция линейного тренда, различных периодических компонент и случайной компоненты. Как и в первой модели, линейный тренд лучше устранить до выпол­ нения анализа с помощью двойных рядов Фурье. Эти две мо­ дели отличаются тем, что в первой просто стремятся разделить изменчивость на крупномасштабную и мелкомасштабную, в то время как во второй делаются попытки дать физическую интер­ претацию более значимым гармоникам. Следовательно, метод временных рядов является более предпочтительным из этих двух, и, так как в нем делаются попытки извлечь больше инфор­

i =1 j =1

где обозначения имеют тот же смысл, что и в формуле (5.56), за исключением Х\ и Яг— длин основных волн вдоль взаимно перпендикулярных направлений координатных осей Xi и Хг — и п и m — номеров гармоник в двух направлениях Xi и Хг. Как уже отмечалось выше, мы обычно не знаем Ai и Яг и поэтому дол­ жны воспользоваться их оценками Li и Ьг. Кроме того, в дей­ ствительности ряд будет не бесконечным, а поэтому пределы суммирования нужно изменить.

Если ввести те же сокращенные обозначения для членов ряда, которые были использованы в гл. 5, то запись двойного ряда Фурье можно упростить. Пусть

Уравнение (6.27) можно теперь переписать следующим об­ разом:

чить систему нормальных уравнений для неизвестных коэффи­ циентов и решить ее точно таким же образом, как это делалось для уравнений поверхностей тренда (Джеймс [17]). Однако так как в уравнение входят дважды индексированные коэффициенты и в каждый член входит произведение двух рядов гармоник (один в направлении Xi, другой в направлении Хг), то даже в этих упрощенных обозначениях полученные уравнения оказы­ ваются сложными. Структура матрицы сумм и смешанных произведений станет яснее, если мы введем обозначения для ее строк и столбцов, как это было сделано для простого ряда Фурье в гл. 5. Матрица сумм и произведений [А] входит в ма­ тричное уравнение |Д | [р] [с]

где [р] — неизвестные коэффициенты, а матрица [С] содержит суммы смешанных произведений между Y и различными гар­ мониками. Мы находим неизвестную матрицу [р] с помощью матричных операций обращения и умножения:

[?] = [A]"1 [CJ.

Матрица сумм и смешанных произведений вычисляется на основании разложения в ряд Фурье с любым заранее заданным числом гармоник, скажем п в направлении Xj и m в направле­ нии Х2. Столбцы и строки матрицы, сумм и произведений тогда имеют вид

Зпш- -XVSnS*.

Так как для каждой гармоники необходимо вычислить че­ тыре коэффициента, то матричное уравнение при большом числе гармоник становится очень сложным. Например, вычисление коэффициентов для пяти гармоник в двух направлениях требует определения примерно сотни коэффициентов.

Как указывалось в гл. 5 при обсуждении одномерных рядов Фурье, синус угла, равного нулю градусов, есть нуль; это при­ водит к тому, что члены

МЛ2

обращаются в нуль, если п или ш равно нулю. Поэтому все члены ряда, содержащие синус нулевой гармоники, равны нулю, а один столбец и одна строка матрицы сумм и произведений обращаются в нуль. Столбец и строка, соответствующие нуле­ вым элементам матрицы, заштрихованы на фиг. 6.25. Со и С*

равны 1,0, так как косинус нуля градусов равен единице. Это позволяет упростить выражение одной строки и одного столбца матрицы, содержащей эти члены. При расположении коэффици­ ентов, изображенном на фиг. 6.25, блок 0 содержит только один член, порождающий горизонтальную плоскость, соответствую­ щую значению этого коэффициента. Блок 1 состоит из восьми членов, каждый из которых представляет поверхности, соответ­ ствующие длинам основных волн. Блоки 0 и 1 в совокупности составляют коэффициенты первой гармоники поверхности тренда. Блок 2 содержит 16 дополнительных членов, которые представ­ ляют поверхность второй гармоники, имеющей длины волн, рав­ ные половинам длин основных волн. Полная вторая гармоника поверхности тренда содержит коэффициенты блоков 0, 1 и 2. Каждая последующая гармоника поверхности тренда строится с помощью членов следующего блока.

Двойные ряды Фурье обычно применяются в классе задач, аналогичных тем, для которых использовался полиномиальный тренд-анализ. Аппроксимирующая функция, построенная по гео­ графическим координатам заданных точек, подбирается к не­ регулярно расположенным в пространстве данным. При обобще­ нии представления аппроксимирующей функции наша цель — разделить изменчивость данных на две компоненты: регио­ нальный тренд, представленный подобранной функцией, и локальные остатки, характеризующие отклонения от поверхности тренда. В тех случаях, когда данные содержат пространственно повторяющиеся элементы, ряды Фурье оказываются более под­ ходящими аппроксимирующими функциями, чем степенные ряды. Так как точный подбор поверхности к выборочным дан­ ным совсем не обязателен (даже' нежелателен), то для проведе­ ния анализа оказывается достаточно ограниченного числа

Гармоники, в направлении

Фиг. 6.25. Коэффициенты двойного ряда Фурье, расположенные в соответст­ вии с длинами волн [17].

Заштрихованные квадраты соответствуют нулевым коэффициентам.

гармоник. Обычно в задачах тренд-анализа данные располага­ ются нерегулярно, и поэтому для вычисления коэффициентов Фу­ рье нужно решить общую систему нормальных уравнений (6.29). В связи с тем что порядки матриц, с которыми приходится оперировать, оказываются очень большими, на малых ЭВМ удается вычислить лишь несколько гармоник. Например, на фиг. 6.25 показано, что для получения двойного ряда Фурье всего лишь с тремя гармониками требуется вычислить 49 ко­ эффициентов, а матрица, обращение которой требуется для на­ хождения этих коэффициентов, содержит 2450 элементов! При этом мы вынуждены учитывать не только допустимый объем памяти ЭВМ, а также ошибки округления, которые устрашающе растут при обращении матриц очень больших порядков. Из-за

этих ограничений мы не пытались писать программу анализа с применением двойных рядов Фурье. Основные вопросы, свя­ занные с построением такой программы, были рассмотрены при написании программы полиномиального тренд-анализа, и требу­ емая программа явилась бы лишь громоздким, но прямым ее обобщением.

Однако, если наши наблюдения получены в результате опробования по регулярной сети, из этого вычислительного тупика можно найти выход. В этой ситуации все недиагональные члены (смешанные произведения) нормальных уравнений обра­ щаются в нуль. Матрица, которую требуется обратить, стано­ вится диагональной, и решение матричного уравнения осущест­ вляется просто. Более того, в этом случае можно вычислить много гармоник, а не ограниченное их число, как это приходится делать при решении общих уравнений для двойного ряда Фурье. Это открывает возможности осуществления двумерного гармо­ нического анализа и содержательного изучения спектров карт, фотографий и вообще различных образов.

Методы двойных рядов Фурье обычно используются в двух больших группах геологических задач. Одна из них включает поиск значимых периодичностей в поведении концентраций ме­ таллов в пределах рудных зон и в размещении рудных тел в пределах металлогенической провинции. Многие месторожде­ ния твердых полезных ископаемых тесно связаны с системами разломов, которые в свою очередь являются следствием регио­ нальных деформаций. В расположении этих систем в больших регионах земной коры может проявиться некоторая периодич­ ность или регулярность. Если это верно и удается получить не­ которые оценки спектра разломов, то можно сделать и некото­ рые предсказания. Используя результаты анализа пространствен­ ных длин волн между известными рудными месторождениями, можно указать местоположения других возможных месторож­ дений. Та же идея была использована, но в меньшем масштабе, при изучении отдельных рудных месторождений с целью опре­ деления перспектив развития рудника.

Широкое использование в нефтяной геологии получило со­ вместное применение двойных рядов Фурье и двумерных мето­ дов фильтрации (Робинсон, Чарлзворт, Эллис [34]). При этом вычисляется двумерный энергетический спектр структурной кон­ турной карты, по которому определяются пространственные длины волн. Затем фильтры (являющиеся не чем иным, как разновидностью скользящих средних) используются для отделе­ ния этих установленных длин волн и для выявления структур-, пых характеристик заданного типа и/или ориентации для струк­ турной контурной карты. Выявленные положительные аномалии могут быть связаны с нефтью. Опытные исследователи могут

обнаружить в осадочных толщах структуры, которые отражают деформацию подстилающих пород, расположенных на глубине многих тысяч миль. Вообще эти периодические компоненты при­ глушены и завуалированы на обычной структурной карте, но там, где их можно выявить, они оказывают значительную по­ мощь при разведке и предсказании месторождений на более глубоких горизонтах.

Вторая группа геологических задач связана с применением двумерного анализа Фурье при изучении размещения зерен ми­ нералов в шлифах и для исследования пористости пород в пре­ делах нефтеносного бассейна (Девис и Престон [9]). В послед­ ней работе авторы стремились к получению простых численных характеристик для описания чрезвычайно сложных картин пористости в песчаниках и известняках и в целях их использо­ вания для оценки проницаемости этих пород. Такие характери­ стики были получены из энергетического спектра изучаемой породы. Рассматриваемые данные представляют собой замеры оптической плотности в точках на фотографии шлифа, на ко­ торой зерна породы выглядят черными, а поры — белыми. Фото­ графии были подвергнуты числовой обработке с помощью элек­ тронного устройства, которое измеряет оптическую плотность в тысячах точек, расположенных на регулярной пространствен­ ной сетке. Эти данные затем подвергаются преобразованию Фурье, в результате чего получаем двумерный спектр. Дальней­ шие преобразования позволяют определить нужные параметры спектра, а последние используются в моделях, предсказывающих поведение флюида в изучаемых породах.

Недавно создан метод, обобщающий анализ Фурье для одного и двух переменных, названный усиленным преобразова­ нием Фурье (FFT), а также вычислительный алгоритм, позво­ ляющий значительно сократить время вычислений и облегчить практический анализ больших массивов данных. В сочетании с вычислительным устройством специального назначения этот алгоритм, обеспечивающий численное представление сейсми­ ческой записи, получил большое распространение в геофизиче­ ской разведке. Методы, использующие усиленное преобразова­ ние Фурье, нашли применение в других областях анализа вре­ менных рядов и пространственного анализа, даже несмотря на то, что потребовались дополнительные ограничения на объем и структуру рассматриваемого набора данных. Этот метод позво­ ляет достичь большого быстродействия благодаря ряду специ­ альных матричных преобразований, которые можно сравнить с построением «циклической» матрицы, в которой начало ряда значений помещается в центр, а данная последовательность «вращается вокруг» центра. Применяемые при этом операции состоят в умножении со сдвигом и сложении соседних элемен-