книги / Статистика и анализ геологических данных

жно поставить в один ряд с одномерными задачами, связан­ ными с множественной регрессией или рассмотренными выше многомерными задачами проверки статистических гипотез. По­ этому он позволяет установить дополнительную связь между од­ номерной и многомерной статистикой.

Однако вначале мы определим понятие разделения, или дис­ криминации, и покажем, чем оно отличается от близкого к нему понятия классификации. Предположим, что мы собрали две группы проб сланца, о которых заранее известно, что они обра­ зовались в пресноводном и морском бассейнах. Это можно оп­ ределить на основании исследования остатков ископаемых ор­ ганизмов. В пробах измерено некоторое число геохимических переменных, а именно, содержание ванадия, бора, железа ит. д. Задача состоит в нахождении такой линейной комбинации этих переменных, которая даст максимально возможное различие между двумя ранее определенными группами. Если нам удастся найти такую функцию, то мы сможем использовать ее для раз­ мещения новых образцов в ту или другую исходную группу. Иными словами, новые образцы сланца, не содержащие диагно­ стических ископаемых остатков, можно будет разделить на мор­ ские и пресноводные на основе линейной дискриминантной функции, построенной по их геохимическим компонентам. (Эта задача рассматривалась Поттером, Шимпом и Уиттерсом [24].)

Задачу классификации можно проиллюстрировать на анало­ гичном примере. Предположим, что мы собрали большую раз­ нородную коллекцию образцов сланца, каждый из которых был подвергнут геохимическому анализу. Можно ли на основе значе­ ний измеренных переменных осуществить разделение выборки на относительно однородные группы (или кластеры, как их обычно называют), отличающиеся друг от друга. Численные методы решения такого рода задач достаточно хорошо развиты и при­ надлежат к разделу науки, называемому таксономией. Они бу­ дут рассмотрены в следующем разделе. Существует несколько явных различий между этими методами и методами дискрими­ нантного анализа. Классификация внутренне замкнута, т. е. в от­ личие от дискриминантного анализа она не зависит от априор­ ных сведений о соотношении между пробами. [В дискриминант­ ном анализе число групп задается заранее, в то время как число кластеров, которые получаются в результате классификации, не может быть заранее определено. Каждая проба из исходного множества в дискриминантном анализе считается принадлежа­ щей к одной из заданных группу В большинстве задач класси­ фикации проба может войти в любую из групп, возникающих в результате классификации. Другие различия станут очевид­ ными при рассмотрении этих двух процедур. Результатом

Фиг. 7.3. Графическое представление двух двумерных распределений.

Указаны перекрытия распределений для групп А и В вдоль осей А", и Х2; проектирование на дискриминантную линию позволяет различить две группы.

кластерного анализа сланцев является разделение проб на не­ сколько групп. Представляет интерес проведение геологического осмысливания найденных таким образом групп.

Простая линейная дискриминантная функция осуществляет преобразование исходного множества измерений, входящих в выборку, в единственное дискриминантное число. Это число, или преобразованная переменная, определяет положение образца на прямой, определенной дискриминантной функцией. Поэтому мы можем представлять себе дискриминантную функцию как способ «сжатия» многомерной задачи в одно­

мерную.

Г Основой дискриминантного анализа является нахождение преобразования, которое дает минимум отношения разности многомерных средних значений для некоторой пары групп к многомерной дисперсии в пределах двух групп. Если мы изо­ бразим наши две группы совокупностями точек в многомерном пространстве, то легко найти такое направление, вдоль которого эти совокупности явно разделяются и в то же время имеют наи­ меньшую выпуклость^Графически эта картина представлена на

или в расширенной записи

_Dm_ —Ащ __ _Bm_

Для построения ковариационной матрицы объединенной вы­ борки мы должны вычислить матрицу сумм квадратов и сме-' шанных произведений для всех переменных в группе А и анало-^ гичную матрицу для группы В. Процедура вычисления такой матрицы рассмотрена в гл. 3. Например, если мы рассмотрим только группу А, то

группе. Конечно, при j = к эта величина даст сумму квадратов переменной с номером к. Аналогично можно найти матрицу сумм квадратов и смешанных произведений для группы В:

Для сокращения матрицу сумм произведений для группы А мы обозначим через [SPA], а для группы В — через [SPB]. Ко­ вариационную матрицу объединенной выборки теперь можно за­ писать в виде

Легко видеть, что это определение дисперсионной матрицы объединенной выборки в точности такое же, как и использован­ ное при рассмотрении Т2-критерия для проверки гипотезы о ра­ венстве многомерных средних. Хотя объем вычислений, которые необходимо провести для того, чтобы получить коэффициенты дискриминантной функции, на первый взгляд и кажется боль­ шим, фактически он значительно меньше. В качестве примера мы построили дискриминантную функцию для двух групп дан­ ных, приведенных в табл. 7.8. Группа А представлена пробами

песка, взятого с морского пляжа; две переменные — это средний размер зерен и коэффициент сортированности. Группа В представлена пробами песка, взятого в отдалении от берега. Переменные в этом случае такие же, как и для группы А. Диа­ грамма рассеяния исходных наблюдений представлена на фиг. 7.4. Хотя два облака точек и перекрываются, совершенно очевидно, что разделяющая их линия проходит между ними так, что большинство наблюдений группы А находится по одну

Эти три точки изображены на фиг. 7.5. Аналогично можно каждое наблюдаемое значение подставить в дискриминантное уравнение и затем нанести полученное число на график. Все это можно сделать на одной диаграмме; заметим, что несколько точек группы А попали в группу В, т. е. расположены по правую сторону от Ro, а несколько точек группы В попали в группу А. Это — точки, неправильно расклассифицированные с помощью дискриминантной функции.

Критерии значимости. Если поставить некоторые условия для данных, используемых при построении дискриминантной функ­ ции, можно провести проверку значимости разделения на две' группы. Основными условиями являются:

а) наблюдения в каждой группе выбираются случайно; б) вероятности того, что неизвестное наблюдение принадле­

жит любой из групп, равны между собой; в) внутри каждой из групп переменные рассматриваются как

случайные величины, распределенные нормально; г) ковариационные матрицы различных групп имеют одина­

ковый порядок; д) ни одно из наблюдений, используемых для построения

дискриминантной функции, не было ложно расклассифицировано. Наиболее трудно удовлетворимы условия «б—г». К счастью, дискриминантная функция меняется незначительно при малых отклонениях от нормальности или при малых отклонениях дис­ персий. Выполнение условия «б» зависит от априорно заданного уровня относительных вкладов исследуемых групп. Если усло­ вие о равенстве вкладов относительных содержаний не выпол­ няется, можно сделать некоторые другие допущения, которые приводят к смещению значения Ro. (Подробное изложение во­ просов принятия альтернативных решений в дискриминантном

анализе содержится в книге Андерсона [1].)

Фиг. 7.5. Проекция выборок, представленных в табл. 7.8, на дискриминантную прямую, изображенную на фиг. 7.4.

что рассмотрим одну простую процедуру, позволяющую устанав­ ливать степень «важности» переменной. Читателю, интересую­ щемуся более точными процедурами, можно порекомендовать руководство Шульца и Гоггенса [26].

Относительный вклад j -й переменной в расстояние между средними двух групп измеряется величиной

XjDj

где Dj — разность между средними по j -й переменной для двух групп. Это мера прямого вклада только одной переменной с но­ мером j; она не учитывает взаимодействия между переменными. Если две или более переменные, входящие в дискриминантную функцию, не являются независимыми, то их совместный вклад в функцию D2 может быть более значительным, чем это следует из величин E j . Эту меру можно считать прямым аналогом стан­ дартизованных коэффициентов частной регрессии в уравнении