книги / Статистика и анализ геологических данных

к решению системы линейных уравнений. Таким образом, между этими двумя процедурами нет принципиальной разницы. В ка­ честве примера построения линейной поверхности тренда рас­ смотрим следующую задачу.

Одна английская нефтяная компания приобрела концессию в весьма удаленной части северо-восточной Африки. Террито­ рия эта была крайне необжитой, труднодоступной и почти пол­ ностью геологически неизученной. По условиям концессии ком­ пания должна была пробурить в течение года десять скважин или же, в случае невыполнения, потерять свои права. Руко­ водство компании приняло решение бурить серию далеко рас­ положенных друг от друга разведочных скважин, предназна­ ченных для создания геологической основы, необходимой для продолжения поисков. На фиг 6.12 показано расположение этих

рах от юго-западного угла территории, и абсолютные отметки подошвы меловых отложений, зафиксированные в скважинах, приведены в табл. 6.5.

КМ1UU

км

Фиг. 6.12. Карта расположения скважин и абсолютных отметок подошвы меловых отложений в северо-восточной Африке по данным нефтяной ком­ пании.

Отметки даны в метрах ниже уровня моря. За единицу масштаба выбран километр.

23 Заказ № 455

Т а б л и ц а 6.5

Координаты скважин и абсолютные отметки подошвы меловых отложений на территории концессии

Задача в данном случае заключается в построении линейной поверхности тренда и выявлении областей положительных откло­ нений от нее, которые можно рассматривать как заслуживающие внимания для проведения дополнительных исследований.

Для построения поверхности тренда мы должны сначала подсчитать суммы значений Х[, Х2 и Y, суммы квадратов Xi и Х2, а также суммы соответствующих смешанных произведений, т. е.

дены в табл. 6.6.

Кроме того, мы можем охарактеризовать качество прибли­ жения поверхности тренда к наблюдаемым результатам, исполь­ зуя формулы с (5.9) по (5.15), выведенные для случая линии.

Фиг. 6.13. Карта поверхности тренда по данным нефтяной компании, напеча­ танная с помощью подпрограммы PLOT (программа 6.2).

Полоса, заполненная знаком доллара, соответствует отметкам от 550 м (край, ближайший к символу 1) до 500 м (край, ближайший к символу А). Интервал между контурами равен 50 м.

Хотя этот простейший вид анализа и является удовлетвори­ тельным в данном примере, необходимо отметить, что вполне возможны ситуации, когда плоскости будет недостаточно для описания геологического тренда, который может быть весьма сложным. Более того, мы очень редко располагаем априорными сведениями о форме функции, описывающей тренд. Физики, на­ пример, могут заранее сказать, что брошенный камень полетит по параболе, так как они располагают некоторыми сведениями о факторах, контролирующих этот процесс, т. е. об ускорении силы тяжести и др. Геологи крайне редко могут говорить апри­

ори о найлучшей форме функции, описывающей поверхность тренда. Самое лучше, что они могут сделать,— это проводить последовательные приближения к неизвестной функции, начиная с некоторой функций произвольной формы. В частности, они расширяют возможности представления линейной поверхности с помощью полиномов, вводя степени выше первой и смешанные произведения географических координат. Полиномы исключи­ тельно чувствительны, и, если использовать их достаточно высо­ кие степени, с их помощью можно описывать весьма сложные поверхности.

Необходимо отметить, что полиномиальные функции исполь­ зуются в тренд-анализе главным образом как удобное средство описания полученных данных. При этом уравнения, по которым

к мнению, что геологические процессы являются полиномиаль­ ными функциями и даже их линейными вариантами. Нужно помнить, что природа этих процессов остается неизвестной и

спомощью полиномов может быть описана только приближенно.

Вотдельных примерах могут быть более приемлемы и другие варианты приближения, что будет рассмотрено в данном

разделе.

Как уже отмечалось в гл. 5, метод наименьших квадратов может быть применен не только к уравнению прямой, но и к кривой второго (и более высокого) порядка путем добавле­ ния соответствующих компонент:

Поверхность тренда второго порядка будет описываться уравнением

Заметим, что эти уравнения содержат такие компоненты, как квадраты географических координат и их смешанное произве­ дение. Перейти от этого уравнения к уравнению более высокого порядка сравнительно легко. Для этого каждая географическая координата просто возводится в заданную степень и добавля­ ются соответствующие смешанные произведения. Так, например,

коэффициенты bi и Ь г . Коэффициенты Ь з , Ь 4 и bs соответствуют второй степени и стоят перед переменными, которые имеют сле­ дующую структуру: Х з= (Xi-Xi), Х4=(Х2*Х2), Xs = (Xi-X 2). Та­ ким образом, новые переменные представляют собой различные варианты произведений исходных переменных. Аналогично ко­ эффициенты Ь6, Ь7, Ь8 и bg соответствуют компонентам третьей степени, которые имеют следующую структуру: Х6= (Xi • Xi • Xi), Х7 = (Х2 • Х2 - Х2) , Х8= (X i. X i. Х2) и Х9 = (Xi • Х2 • Х2).

Типичная программа построения поверхности тренда для ЭВМ состоит из трех основных частей: подпрограммы вычисле­ ния элементов матрицы сумм соответствующих степеней й сме­ шанных произведений изучаемых переменных, подпрограммы ре­ шения системы уравнений и алгоритма графического представле­ ния. Подпрограмму построения матрицы целесообразно строить

за исключением того, что два аргумента должны быть возведены в степень и взаимно перемножены. Как только будет построено матричное уравнение, с помощью программы SLE (программа 4.9) можно найти неизвестные коэффициенты. Полученное с помощью метода наименьших квадратов уравнение поверхно­ сти тренда можно использовать для вычисления значений кар­ тируемого признака в точке равномерной сети с последующим выводом на печать с помощью подпрограммы PLOT (программа 6.2). Если потребуется рассмотреть отклонения теоретической поверхности от реальных данных, можно воспользоваться про­ граммой GRID (программа 6.1) с последующим построением карты остатков и вычислить статистические характеристики име­ ющихся данных, но на этом мы остановимся несколько позднее.

Выше приведена программа TREND (программа 6.3), в ко­ торой представлены все перечисленные выше части.

Эта программа позволяет строить поверхности тренда, опи­ сываемые полиномами любой заданной степени. Полиномы степени выше четвертой можно построить путем введения в про­ грамму соответствующих изменений, но при этом могут возник­ нуть значительные трудности, связанные с процессом обраще­ ния матриц, из-за крайне больших значений некоторых элемен­ тов матрицы сумм соответствующих степеней и смешанных произведений. Эта проблема будет рассмотрена в гл. 7.

Задачи решения систем уравнений, свойственные подавляю­ щему большинству случаев применения тренд-анализа, требуют применения программ обращения матриц, но используемые при этом данные могут оказаться такими, что вызовут сбой в работе ЭВМ. Причинами сбоя могут быть наличие плохо обусловленной матрицы, недостаточное число точек в исходных данных или же

значительные нарушения непрерывности поверхности, на кото­ рой лежат данные. Некоторые программы обращения матриц обладают тенденцией к потере устойчивости при увеличении порядка матрицы. Это обычно является следствием использо­ вания недостаточного количества значащих цифр в вычислениях; ошибки округления постепенно*накапливаются и становятся столь велики, что правильное решение не может быть получено. Этот вопрос доставляет много беспокойства, особенно в тех случаях, когда полученная поверхность тренда близка к резуль­ татам наблюдения. Даже удвоенная точность арифметических действий не может дать в подобной ситуации существенного эффекта.

Теперь нам нужно получить ответ на вопрос: «что такое вы­ сокое (или низкое) соответствие поверхности тренда резуль­ татам наблюдения, т. е. корреляция»? В геологических исследо­ ваниях, чтобы получить ответ на какой-либо вопрос, мы часто должны доверяться опыту и интуиции. Так, например, структур­ ный анализ данных, полученных при изучении Канзаса, Окла­ хомы, Техаса, Вайоминга, Калифорнии (США), Англии и других мест, показал, что приближение плохое, если коэффициент кор­ реляции меньше 0,3. Если же он принимал значение в интервале от 0,4 до 0,6, то это интерпретировалось как необходимость со­ ставить наряду с картой тренда карту остатков, а если коэффи­ циент корреляции превышал 0,7, то делался вывод о хорошей согласованности поверхности тренда и исходных данных. Необ­ ходимо отметить, что при рассмотрении степени приближения поверхности тренда к исходным данным нужно обязательно учи­ тывать цель проводимого исследования. Во всех этих структур­ ных исследованиях мы изучали бассейны, имеющие относительно простую форму, и выбирали те из них, которые характеризова­ лись небольшими отклонениями от поверхности тренда по срав­ нению с общими размерами бассейна. При этом весьма хорошее приближение (коэффициенты корреляции около 0,8) обеспечи­ вали полиномы третьей и четвертой степени. Заметим, что в мо­ делях, построенных с помощью случайных чисел, принимающих значения в том же интервале, что и реальные данные, для поли­ номов четвертой степени коэффициенты корреляции оказывались близкими к 0,3. Таким образом, реально существующий тренд можно отделить от случайных отклонений, что и делается геоло­ гами при интерпретации тренда и карты остатков.

На фиг. 6.14, а приведена карта, построенная по данным табл. 6.7, характеризующей абсолютные отметки кровли верх­ ней формации ордовика центрального Канзаса. На фиг. 6.14,6 приведена поверхность тренда первой степени, представленная плоскостью, построенной по этим же данным, а на фиг. 6.14, в изображена карта отклонений (остатков) от этой плоскости.