книги / Статистика и анализ геологических данных

Фиг. 6.34. Сеть расположения скважин для одного указанного значения h.

Полудисперсия вычисляется для всех пар точек с расстоянием h . а — вектор h ориен­ тирован в одном направлении; б — вектор h ориентирован перпендикулярно направлению вектора, использованного на графике а.

даст нам оценку вариограммы. Для этого нередко используются такие уравнения: T(h) = 3a lo g |h |

и

T(h) = a |h|.

Первое из них называется моделью де Вийса, а второе —ли­ нейной моделью. Первая модель имеет вид, аналогичный кривой, представленной на фиг. 6.33. Вторая — наклонная прямая ли­ ния. Возможны также другие модели, но выбор и подбор соот­ ветствующего уравнения не являются темой настоящей книги. Отметим, что именно этот шаг представляет наибольшие затруд­ нения в практических применениях крайгинга, так как выбор правильной вариограммы очень важен и в то же время его очень трудно осуществить на практике.

Так как h — вектор, имеющий определенную длину, то варио­ грамма отражает зависимость характеристик месторождения лишь в данном направлении. На фиг. 6.34, а представлена типич­ ная сеть буровых скважин. Стрелками указаны направления век­ тора h. Ковариация К(Н) и полувариограмма Y O O в ы ч и с л я ю т с я при различных значениях h=Aj, одно из которых указано на диаграмме. Можно определить вектор h, приписав ему другое направление, как это изображено на фиг. 6.34,6, а затем по­ строить вариограмму изменений в этом направлении. Обыкно­ венно строится по меньшей мере три вариограммы: две под углами 90° и одна под углом 45°. Затем они сравниваются. Если они одинаковы, то распределение значений называется изотроп: ным. Если они оказываются различными, то говорят, что струк­ турные данные обладают анизотропными свойствами, а построе­ ние уравнения крайгинга становится значительно более трудным.

Крайгинг является процедурой оценки значения пространст­ венной переменной по прилегающим значениям, в то время как взаимная зависимость переменных выражена с помощью варио­ граммы. Наиболее общая из существующих процедур называется «универсальным крайгингом», в котором значения для блоков, площадей и точек можно оценить при нерегулярной сети опро­ бования в присутствии тренда или нестационарности. Если мо­ жно предположить, что данные стационарны, то для оценки та­ ких значений можно использовать менее сложный метод, кото­ рый называется просто «крайгингом», заключающийся в оценке запасов руды в пределах блоков месторождения (оценка объема/) по содержаниям полезного компонента в пробах.

Наиболее элементарная процедура крайгинга исходит из предположения, что данные стационарны и изотропны и что они были собраны на равномерной сети опробования. В дополнение

кэтому метод предполагает, что оценки можно получить также

вточках, лежащих в узлах сети. Это так называемый «точечный крайгинг». Этот метод очень прост, однако применение его до­ вольно ограниченно. Можно сказать, что это — метод получения точечных оценок по точечным наблюдениям. Если по выбороч­ ным площадям или объемам требуется оценить площади или объемы, то приходится использовать более сложные процедуры стандартного крайгинга.

Для осуществления точечного крайгинга мы должны пост­ роить уравнение скользящего среднего, которое даст оценки ис­ тинных значений регионализованной переменной в последова­ тельных точках сети. Уравнение скользящего среднего пред­ назначено для минимизации влияния относительно высокой дисперсии выборочных значений с помощью введения ковариа­ ции между оцениваемой точкой и другими точками опробования

впределах исследуемой области.

Предположим, что мы имеем п точек в схеме скользящего среднего, расположенных вокруг точки Z сети, в которой произ­ водится оценивание. Веса, которые надо приписать каждой точке, определяются с помощью решения системы уравнений вида

(полученную из вариограммы)', соответствующую расстоянию h, равному расстоянию между точками X i и X j. Аналогично у _ Z)

является полудисперсией расстояния между точкой Xi и оцени­ ваемой точкой Z. Имеется всего п уравнений этого вида, по од­ ному для каждой точки в схеме скользящего среднего. Кроме того, имеется еще одно уравнение, которое накладывает огра­

охарактеризовать значения по целым блокам. Такие оценки ка­ жутся более реалистическими, чем построенные с помощью по­ верхностей тренда и основанные на точечных данных (отдельные скважины). Оценки, полученные с помощью крайгинга, оказы­ ваются более устойчивыми, чем оценки полиномиального тренда, построенные по тому же числу точек, если точки расположены довольно редко. Таким образом, полиномиальный тренд может дать завышенные оценки, которые будут отличаться от оценок, полученных с помощью крайгинга.

Однако наибольшее преимущество крайгинга состоит в том, что он дает возможность получить меру вероятной ошибки, свя­ занной с оценками содержаний полезного компонента в каждой точке. Кроме того, требуется, чтобы в крайгинге при применении схемы скользящего среднего данные использовались оптималь­ ным образом, так как построение весовой функции основано на знании ковариационной структуры пространственно распределен­ ных данных. Там, где используются весовые функции, методы скользящего среднего могут не иметь преимуществ по сравнению с полиномиальным трендомс и могут даже не выдерживать срав­ нения с ним. Подбор, достигаемый простыми скользящими сред­ ними, вообще хуже, чем результаты, полученные с помощью по­ линомиальных уравнений. В дополнение к этому данные должны быть либо расположены по сети, либо усреднены по блокам. Первое является в большинстве случаев ненужным ограниче­ нием, а второе может нанести ущерб решению.

Методы тренд-анализа поверхностей, несомненно, являются разновидностью методов построения множественной регрессии и при подходящих условиях представляют собой мощный стати­ стический аппарат. Методы скользящего среднего, заимствован­ ные из анализа временных рядов, и критерии значимости в этой области нигде так хорошо не разработаны, как в регрессионном анализе. Точная связь двумерных методов скользящего среднего с другими разделами анализа временных рядов в настоящее время неясна; наоборот, полиномиальная регрессия на географи­ ческих координатах подробно описана в литературе по стати­ стике. Геологи развили основы статистической теории, включаю­ щей крайгинг, но ни терминология, ни основные понятия теории регионализованных переменных не нашли еще широкого приме­ нения в математической статистике.

Подводя итог, можно сказать, что крайгинг, или методы скользящего среднего, по-видимому, имеет значительные преиму­ щества в некоторых случаях. Однако, как и любой другой стати­ стический метод, он иногда неправильно применяется. По-види­ мому, большинство дискуссий по поводу относительного превос­ ходства методов полиномиального тренд-анализа по сравнению с методами скользящего среднего происходит из-за неправиль-

ного применения обоих методов и чрезмерного усердия некоторых их сторонников. Полного анализа условий применимости мето­ дов скользящего среднего к структурному анализу и геохимиче­ скому картированию в настоящее время не существует; нет также хорошей оценки пригодности методов тренд-анализа по­ верхностей для разведки месторождений. Действительно, новые исследования показывают, что процедуры, соединяющие в себе преимущества того и другого метода, окажутся весьма полез­ ными во многих случаях.

Сравнение карт

Обычная задача большинства геологических исследований заключается в сравнении друг с другом двух или более карт не­ которой территории. Это могут быть карты различных петрогра­ фических и минералогических составляющих, различных пара­ метров, характеризующих размер зерен, или структурные карты различных геологических горизонтов. Прямые сравнения поверх­ ностей тренда различных горизонтов делались для выявления пе­ риодов структурной деформации. Связанная с этой, но не более трудная задача заключается в сравнении карт одного параметра для двух или более регионов. Геологи постоянно сравнивают карты различных районов и выделяют характерные геологиче­ ские особенности. Конечно, искусство интерпретации геолога ос­ новано на его предшествующем опыте и его способности мыс­ ленно сравнить новый район с тем, который он изучал в прошлом. Несмотря на то что количественные сравнения картированных переменных оказываются потенциально полезными для гео­ логов, существует весьма ограниченное число попыток измерять сходство между картами. К счастью, много лет назад этой за­ дачей заинтересовались географы, которые создали несколько полезных методов сравнения пространственных распределений, как, например, карта расхождений между двумя поверхностями, или общая усредненная мера сходства.

По-видимому, роль сравнения карт должна значительно воз­ расти в будущем, так как интерпретация большого числа дан­ ных, получаемых со спутников Земли, требует развития схем автоматического распознавания и анализа карт. Соответствую­ щие алгоритмы должны быть созданы геологами и другими уче­ ными, исследующими Землю, которые обладают достаточными знаниями для интерпретации этих данных. В свою очередь гео­ логи должны учиться методам количественной обработки и их систематизации с тем, чтобы машины смогли взять часть работы на себя. Если это не будет сделано, то мы будем буквально по­ гребены под грудой карт, фотографий, полученных со спутников,

с орбитальной геофизической аппаратуры и с других экзотиче­ ских средств будущего.

Общее сходство. По-видимому, простейший путь сравнения двух карт состоит в вычислении коэффициентов корреляции ме­ жду картируемыми переменными. Если две карты построены для переменных, измеренных в одних и тех же точках, то этот метод состоит просто в вычислении коэффициента корреляции между картированной переменной 1 и картированной переменной 2, сов-' сем не принимая во внимание расположение точек. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле (3.17) и дает меру общего соответствия между двумя переменными.

На побережье Северной Каролины, как показано на карте фиг. 6.36, а, был собран ряд донных проб из осадка лимана. С целью изучения распределения размеров зерен осадка, были вычислены обычные статистические характеристики (среднее, стандартное отклонение, асимметрия и эксцесс). Многие авторы высказали предположение, что различные комбинации моментов распределения являются эффективным средством установления условия осадконакопления. Исследуя связи между различными статистиками, была сделана попытка установить, достаточны ли они для определения областей в лимане, в которых условия осад­ конакопления существенно различаются.

На фиг. 6.36, б представлена карта стандартного отклонения размеров зерен осадка в лимане. Фиг. 6.36, в является картой асимметрии распределения размеров зерен для той же выборки. Высказывалось предположение, что асимметрия и стандартное отклонение, рассматриваемые вместе, являются эффективным средством классификации осадков, поэтому важно, чтобы была получена оценка соотношения между ними. Так как обе перемен­ ные были вычислены для исходных данных, собранных в одних и тех же точках, коэффициент корреляции может быть вычислен прямо по исходным данным. Коэффициент корреляции между двумя картами равен г = 0,52. Заметим, что географические ко­ ординаты точек не рассматривались. Это является самым боль­ шим недостатком метода общего сравнения, так как данная кор­ реляция может отражать степень соответствия двух картируе­ мых площадей целиком или может быть результатом большого отклонения в малой области карты.

Предположим, что теперь мы хотим сравнить две карты, в ко­ торых переменные измерены не в одних и тех же точках. Один из возможных способов получения меры общего сходства — оценка значений двух переменных на множестве точек сетки, общей для двух карт. Так как процедура вычисления оценок свя­ зана с появлением ошибок, величины которых мы не в состоянии оценить, то желательно разместить точки получения оценок на­ столько близко к точкам опробования, насколько это возможно.

Фиг. 6.36. Изменчивость размеров частиц донных осадков, собранных на по­ бережье залива в Северной Каролине.

а — карта, показывающая связь изучаемой площади с побережьем залива; б — стандарт­ ное отклонение размеров зерен в фи-единицах, заштрихованы площади, имеющие стан­ дартные отклонения размеров зерен, больше 1,0; в — асимметрия распределения размеров

в каждой точке расположения пробы во второй переменной. По­ сле этого можно оценить корреляцию между двумя перемен­ ными. Однако никакой статистической значимости приписать полученному значению коэффициента корреляции мы не можем, так как оно целиком основано на интерполированных значениях. Очевидно, надежность корреляции повышается с увеличением плотности контрольных точек.

Сравнение карт с помощью корреляции между оценками в контрольных точках легко осуществить в том случае, если ис­ ходные данные оконтуривались с помощью ЭВМ. Так, например,

программа 6.1 предназначена для построения сети значений с целью последующего оконтуривания. Если по этой программе произвести оконтуривание двух множеств данных, то получим две матрицы значений в точках сети, и эти интерполированные точки можно прямо сравнивать между собой. Несмотря на то что, преодолев некоторые затруднения, мы могли бы написать программу, которая, используя части программ 6.1 и 3.4, вы­ числяла бы коэффициент корреляции для двух поверхностей, мы не сделаем этого, а вместо этого перейдем к рассмотрению бо­ лее интересного вопроса о построении карт сходства.

Карты сходства. Примером простейшего сравнения двух карт переменной одного типа в одной и той же области является карта изопахит, полученная по двум структурным контурным картам. Карта изопахит — это карта мощностей или разностей абсолютных отметок двух поверхностей. Аналогичные карты можно построить для разностей переменных, таких, как размер зерен или процентное содержание компонента, измеренное для двух горизонтов. Простые примеры представлены на фиг. 6.37, а и б картами уровня подземных вод в штате Небраска. Карта а изображает уровень подземных вод по данным, собранным в 1950 г. Карта б построена по данным, собранным через 10 лет после возведения большой дамбы недалеко от середины пло­ щади. Изменение уровня подземных вод значительно и представ­ лено картой разностей (фиг. 6.37,в). Так же как и исходные карты, построенные с помощью автоматических программ окон­ туривания, карта разности была построена путем вычитания двух матриц значений в узлах сети друг из друга и последую­ щего оконтуривания данных полученной матрицы. Конечно, если для обоих карт были использованы одни и те же наблюдения в скважинах, то разности между двумя множествами исходных данных легко вычислить и затем оконтурить. Однако, как вы, наверное, заметили, не все точки являются общими для двух карт.

В этом примере обе карты построены в одних и тех же еди­ ницах и сравнение их производится с помощью простого вычи­ тания значений, соответствующих разным картам. Однако за­ дача сравнения значительно усложняется, если картированы две разные переменные. Обратимся теперь к рассмотрению случая, когда требуется сравнить две карты, выраженные в разных еди­ ницах и построенные по различным контрольным точкам.

Наиболее перспективными методами предсказания геологиче­ ских структур, которые могут содержать нефть, являются методы отражения сейсмических волн. Время, требуемое сейсмическим волнам для того, чтобы пройти от поверхности до отражающего горизонта, можно точно измерить. По этим измерениям можно построить сейсмический разрез, который даст конфигурацию от­