книги / Статистика и анализ геологических данных

где Х0 снова принимает значения 1 для всех наблюдений. Ма­ тричное уравнение после вычисления смешанных произведений выглядит следующим образом:

Коэффициенты Pi регрессионной модели оцениваются с по­ мощью выборочных частных коэффициентов регрессии Ьь Они носят название частных коэффициентов регрессии по той при­ чине, что каждый из них характеризует скорость изменения (или наклон) по отношению к одной независимой переменной при ус­ ловии, что все остальные переменные фиксированы. В некоторых руководствах для отражения этого факта используется следую­ щая запись:

Y = b o -|-b i>23X i-{ -b 2,13X2+63,12X3- f - £,

где коэффициент bi,23 называется коэффициентом регрессии пе­ ременной Y на Xi при фиксированных переменных 2 и 3. Эти коэффициенты в общем случае отличаются от общих регрессион­ ных коэффициентов, которые характеризуют простую регрессию переменной Y на каждой отдельной переменной X. Как и следо­ вало ожидать, множественная регрессия вносит в общую измен­ чивость Y больший вклад, чем любой из общих регрессионных

СPROGRAM 7 . I

с

C A L L P R IN T M ( X ,N ,M ,N D ,M D )

W R IT E ( 6 , 2 0 0 5 )

Программа 7.1. MULTR

коэффициентов. Это происходит по той причине, что множест­ венная регрессия строится на основе учета всех возможных взаи­ модействий между переменными и их комбинациями.

Выше мы неоднократно рассматривали вопрос о построении и решении множества нормальных уравнений. Поэтому мы не будем снова останавливаться на нем подробно. POLYD (про­ грамма 5.5) и TREND (программа 6.3) могут рассматриваться как модели регрессионных программ. Приведенная ниже про­ грамма MULTR (программа 7.1 ) будет использована в следую­ щем упражнении. Позже мы изменим ее таким образом, чтобы она была менее чувствительной к ошибкам округления, и рас­ смотрим другое упражнение, цель которого — указать опасности, подстерегающие вычислителя в некоторых случаях. Кроме коэф­ фициентов уравнения регрессии по программе MULTR, можно вычислить суммы квадратов S S T , SS R и S S D , определенные в гл. 5, величины R и R2, а также значения зависимой перемен-

ной Yi, ее оценок Yi с помощью уравнения регрессии и отклоне­

ний Yi — Yi.

В качестве типичного примера использования уравнения мно­ жественной регрессии мы рассмотрим задачу из геоморфологии. Для этой цели некоторый район в восточной части штата Кен­ тукки был разделен на относительно однородные в геологиче­ ском отношении области. Изучаемый район охватывает ряд дре­ нажных бассейнов различных размеров, из которых были

пользуется в качестве зависимой переменной. Уравнение регрес­ сии позволяет оценить влияние всех переменных на величину бассейна. Измерения значений этих переменных для 92 бассей­ нов третьего порядка в изучаемом районе приведены в табл. 7.1, которая взята из книги Крамбейна и Шрива [16].

Т а б л и ц а 7.1

Семь геоморфологических переменных, измеренных в речных бассейнах третьего порядка штата Кентукки

mXm обозначается через [гхх]. Например, нормальное уравне­ ние для трех независимых переменных имеет вид

Отметим, что в этом уравнении на одну строку и один стол­ бец меньше, чем в эквивалентном уравнении (7.5).

Однако этот метод, основанный на вычислении корреляцион­ ной матрицы и получении стандартизованного уравнения регрес­ сии, имеет тот недостаток, что он увеличивает объем вычислений. Для сохранения точности коэффициенты корреляции рекомен­ дуется вычислять не по формуле (3.17), а на основании опреде­ ляющего уравнения. Использование формулы (3.17) нецелесооб­ разно по той причине, что она содержит квадраты величин 2 ^ 1 и Если эти суммы велики, то их квадраты могут оказаться неточными за счет отбрасывания разрядов, выходящих за пре­ делы разрядной сетки. Этой проблемы не возникает, если до вы­ числения сумм квадратов из каждого наблюдения вычесть сред­

вать исходные данные дважды — первый раз для вычисления среднего значения, а затем при вычитании полученного значения из наблюдений. В то время как при вычислениях вручную это приводит к значительному увеличению объема работы, на вы­ числительной машине такая операция производится очень просто. Вычисленные коэффициенты должны выдаваться в «нестандартизированном» виде, так как они затем используются для по­ строения уравнения прогноза вместе с необработанными дан­ ными. Однако этот недостаток окупается преимуществами воз­ растающей устойчивости и точности матричного решения, а стандартизованные коэффициенты' дают возможность оценить величины вкладов отдельных переменных в уравнение регрессии. Коэффициенты частной регрессии можно получить из стандарти­ зированных коэффициентов частной регрессии с помощью преоб­ разования

Несмотря на то что при стандартизации данных и использо­ вании уравнения, матрица которого состоит из коэффициентов корреляции, различные суммы квадратов изменяются, отноше­ ния сумм квадратов остаются неизменными. Поэтому критерии

значимости, основанные на стандартизованной регрессии, иден­ тичны критериям, основанным на нестандартизованной регрес­ сии. Такие величины, как коэффициент множественной корреля­ ции (R) и процентное выражение точности аппроксимации (100% R2), также остаются неизменными.

Вычислительные процедуры, используемые при определении стандартизированных множественных коэффициентов корреля­ ции по существу такие же, как и в программе 7.1. Однако, для того чтобы эта программа вместо матрицы суммы квадратов использовала корреляционную матрицу, в нее требуется внести значительные изменения, главным образом потому, что данные, должны быть использованы дважды. По этой причине мы при­ водим модифицированный вариант программы линейной корре­ ляции, которая основана на использовании более точного ме­ тода. Эта программа называется RMULT (программа 7.2); для вычисления корреляционной матрицы она использует подпро­ грамму RCOEF (программа 7.3), а для стандартизации исход­ ного множества переменных — программу STAND (программа 7.4). Для вычисления уравнения множественной регрессии в ни­ жеследующих задачах мы будем использовать программы MULTR (программа 7.1) и RMULT (программа 7.2). Примеры подобраны таким образом, чтобы дать представление о различ­ ных ситуациях, которые возникают при решении некоторых за­ дач численными методами.

Данные, приведенные в табл. 7.4, представляют собой харак­ теристики нефтегазоносного бассейна в Арканзасе. Зависимой переменной является оценка запасов нефти в некотором месте бассейна, вычисленная на основании метода материального ба­ ланса. Уравнение материального баланса в сущности является соотношением между добычей нефти, добычей газа и давлением. В него включаются также допущения об объеме резервуара и на­ чальных объемах нефти, газа и воды. Независимыми перемен­ ными являются время заполнения резервуара, давление в нем, общая добыча нефти, кумулятивное отношение добычи газа к добыче нефти. Так как между зависимой переменной и аргу­ ментами в уравнении материального баланса имеется неявная связь, то мы вправе ожидать необычно высокую внутреннюю корреляцию. Действительно, если модель материального баланса выбрана удачно и наши представления о начальном состоянии и объеме резервуара правильны, то корреляция будет высокой. Неудачные попытки полностью оценить размеры нефтяных запа­ сов могут быть связаны с ошибками в начальных допущениях или с неполным исследованием всех факторов, входящих в урав­ нение материального баланса.

Эти данные содержат некоторые характеристики, которые представляют трудности для анализа. Так как порядки значений