книги / Статистика и анализ геологических данных

: 0 S 4 T » X 0 / X R

C 0 S 2 T = S Q R T ( ( 1 . C H C 0 S 4 T ) / 2 . 0 )

COSITaSQRK ( I • 0-*CDS2T)/ 2 .0 )

S I N I T » S Q R T ( I . 0 - C 0 S I T * C 0 S I T )

X= F ( K , I )

Y= F ( К , J )

2 0 0 5 F O R M A T ( I Н О , 4 X , ' C O L U M N 1 « I N I T I A L C O M M U N A L I T Y ' , 2 X . 1 'C O L U M N 2 « C O M M U N A L IT Y A F T E R R O T A T I O N ' , / ,

2 5 X , ' C O L U M N 3 * D I F F E R E N C E ' ) END

Программа 7.13. Подпрограмма VARMAX

Сравнение полученных результатов помогает понять некоторые задачи, возникающие в применениях факторного анализа.

Программа 7.12 предусматривает изменение и выбор после­ довательности операций по желанию исследователя. В зависи­ мости от того, используется ли программа 7.3, RCOEF, или про­ грамма 7.14, СТНЕТА, вычисляется либо матрица коэффици­ ентов корреляции между переменными, либо матрица косинусов углов. Кроме того, вводимые данные могут быть подвергнуты транспонированию. Использование этих двух возможностей мы обсудим в следующем разделе. Для анализов, приведенных в табл. 7.27, удобно вычислить корреляционную матрицу для «нетранспонированной» матрицы данных.

S X 1X 2 = S X I X 2 + X ( K , I ) * X ( K , J ) 101 C O N T I N U E

C

C . . . C A L C U L A T E C O S I N E T H E T A A N D S T O R E I N M A T R I X A

C

A ( I , J )*S X 1X2/SQRT( SX1 X1*SX2X2)

A ( J , I ) a A ( I , J ) 1 0 0 C O N T I N U E

R E T U R N

E N D

Программа 7.14. Подпрограмма CTHETA

Q-метод факторного анализа. До сих пор мы имели дело ис­ ключительно с методом, известным под названием R-метода фак­ торного анализа. Его обозначение происходит от символа мно­ жественной корреляции, так как он исследует соотношения между переменными на основании корреляционной матрицы. По­ лучаемые факторы, являющиеся линейными комбинациями ис­ ходных переменных, объявляются новыми переменными. Суще­ ствует также другой тип факторного анализа, называемый Q-методом, в котором наблюдения и переменные меняются ро­ лями. Q-метод предназначен для исследования соотношений между наблюдениями, а не между переменными. Цели этого ме­ тода сильно напоминают задачи анализа групп — разместить по­ следовательность наблюдений в разумном порядке, т. е. устано­ вить связь между наблюдениями. Впервые Q-метод факторного анализа в геологии был использован Имбри и Пэди [И]. Пре­ красное изложение различных методов факторного анализа при­ надлежит Кэттеллу [2].

Первый шаг в Q-методе факторного анализа — это вычисле­ ние матрицы порядка пХп, характеризующей сходство между наблюдениями. В качестве меры сходства можно выбрать коэф­

фициент корреляции или некоторую другую меру при условии, что она изменяется в интервале ±1,00. Для вычисления корре­ ляционной матрицы между наблюдениями мы можем использо­ вать, например, подпрограмму RCOEF (программа 7.3). Так как

понирование матрицы исходных данных порядка n X m . Так как все наши подпрограммы вычисления матриц коэффициентов сходства написаны по одному и тому же плану, то это преобра­ зование обязательно при выполнении Q-анализа независимо от того, какой коэффициент сходства нами используется. Наибо­ лее распространенной мерой, используемой в Q-методе фактор­ ного анализа, является cos 0, определяемый по формуле

s ад*

Если мы рассмотрим две точки в m-мерном пространстве и соответствующие векторы наблюдений с номерами i и j, то фор­ мула (7.50) даст косинус угла между этими двумя векторами; cos 0 в некотором смысле можно считать расстоянием по боль­

позволяет заметить между ними большое сходство; если m пе­ ременных, использованных для вычисления cos 0 были стандар­ тизированы, т. е. имели нулевое среднее значение и дисперсию

также равен 1,00. Так же, как и в корреляционной теории, уменьшение сходства характеризуется понижением значений ко­ эффициента. Так как вычисление коэффициента корреляции тре­ бует знания дисперсий переменных, то он является не очень хорошей мерой сходства между наблюдениями и может лишь замаскировать их связи.

Q-метод факторного анализа основан на нахождении главных осей n-мерного эллипсоида, который определяется внутренними связями между п векторами наблюдений. Однако каждый век­ тор состоит из m компонент, причем число m значительно меньше п, поэтому истинная размерность задачи не может быть больше числа переменных.

Вычислив матрицу характеристик сходства порядка п Х п , мы затем должны найти главные оси. Это делается с помощью

нахождения собственных значений и собственных векторов, что для задач с большим числом наблюдений оказывается очень трудным делом1. Так как нам нужно сохранить только неболь­ шую часть факторов, то нет необходимости находить все соб­ ственные значения. Это позволяет значительно сократить время вычислений. После того как требуемое число факторов извле­ чено, необходимо применить к ним процедуру вращения с целью нахождения положения, в котором дисперсия нагрузок наблюде­ ний на оси максимизируется. Для этого имеется два пути. Мо­ жно полагать, что факторы являются «идеализированными» заключительными членами последовательности наблюдений, а сами наблюдения считать возникшими от «смешивания» этих идеализированных наблюдений, имеющих экстремальные свой­ ства. При другом подходе делается попытка, используя враще­ ние факторов, совместить каждый из них с одним из исходных наблюдений, после чего они объявляются заключительными чле­ нами ряда наблюдений. Обычно для выполнения такого вра­ щения приходится использовать неортогональное вращение. Так как множество заключительных членов, найденных с по­ мощью такого вращения, является коррелированным, то ранее сделанные замечания о применении методов неортогонального вращения имеют силу и в отношении Q-метода факторного ана­ лиза. Это значит, что, хотя выбранные наблюдения и являются «наиболее экстремальными» в множестве данных, они не явля­ ются «чистыми» в том смысле, что каждое из них содержит в себе нечто, характеризующее другие заключительные члены последовательности. Это не является помехой, если цель нашего анализа — просто расположить наблюдения в определенном по­ рядке от одного экстремального наблюдения к другому. Однако если мы хотим получить более глубокие выводы, то более по­ лезным оказывается исследование происхождения заключитель­ ных членов даже в тех случаях, когда оно оказывается не вполне достоверным.

Опубликовано множество программ по Q-методу факторного анализа, среди которых содержатся также программы, предназ­ наченные для обработки геологических данных. Среди них сле­ дует указать программы Мэнсона и Имбри [20] и Ондрика и

1 В последние годы, уже после выхода в свет настоящей книги, разрабо­ тан метод, позволяющий избегать вычисления собственных векторов и собст­ венных значений матриц сходства больших порядков. Этот метод, использую­ щий дуализм главных компонент в пространстве признаков и в пространстве наблюдений, в геологии впервые, по-видимому, применен в работе М. David, G. Woussen, Correspondence analysis — a new tool for geologists, опубли­ кованной в сборнике «Горнорудный Пшибрам в науке и технике», доклады секции «Математические методы в геологии», 1973. В этой работе впервые получила подтверждение мысль автора о том, что «истинная размерность задачи не может быть больше числа переменных».— Прим, перев.

Сривастава [23]. В случаях когда обрабатываются значитель­ ные массивы наблюдений, большинство из них требует исполь­ зования больших ЭВМ. Однако программа 7.12, FACTOR, пре­ дусматривает выполнение Q-анализа с использованием той же

которой затем вычисляется матрица сходства пХп между наб­ людениями. Программа также в качестве меры сходства вычис­ ляет не коэффициент корреляции, a cos0.

Хотя порядок матрицы сходства между наблюдениями равен п Х п , она имеет только m ненулевых собственных значений. Та­ ким образом достигается редукция размерности задачи. Однако мы надеемся, что значительное снижение размерности задачи возможно и другим способом. Для иллюстрации рассмотрим пример, взятый из петрологии изверженных пород. В табл. 7.28 представлены данные по главным химическим составляющим 20 образцов, взятых из сложного и отчетливо дифференцирован­

рассчитываем поместить каждый образец на его настоящее ме­ сто в ряду дифференцированной серии. Для выполнения Q-ана- лиза мы используем программу 7.5, в результате чего получим идеализированный ряд наблюдений. Порядок следования наблю­ дений в пределах последовательности можно изобразить графи­ чески как нагрузки на пары факторов. Так как наши наблюде­ ния были приведены к стандартному виду, то они изображаются

Т а б л и ц а 7.31

Факторные нагрузки после вращения и факторные значения, вычисленные по методу варимакс