книги / Статистика и анализ геологических данных

что образцы А и В аналогичны по составу, но что А обладает пониженными содержаниями металлов в сравнении с В. Кон­ центрации металлов в В и С близки, но отношения их содер­ жаний различны.

Необходимо пояснить, что коэффициент корреляции указы­ вает на наибольшее .сходство в тех случаях, когда он имеет вы­ сокое положительное значение, в то время как расстояние ука­ зывает на наибольшее сходство в тех случаях, когда оно наи­ меньшее. Поэтому коэффициент корреляции выявит наличие связи при его высоких значениях, а расстояние — при низких.

Критерий объединения двух объектов в группу требует, чтобы оба они имели наибольшую корреляцию относительно друг друга. Возможны также и другие критерии. Так, напри­ мер, известен простой метод образования групп, называемый простым объединением, основанный на использовании наивыс­ шего коэффициента сходства между некоторым фиксированным

Фиг. 7.9. Графики переменных, измеренных на трех объектах.

Кривые А к В сильно коррелированы, но разделены большим расстоянием. Кривые В и С ■отрицательно коррелированы, но «близки» в смысле расстояния.

объектом и любым объектом группы. Результаты анализа групп этим методом по корреляционной матрице, приведенной в табл. 7.15, изображены на фиг. 7.10. Так как объекты вво­ дятся в группу на основании наивысшего значения коэффици­ ента корреляции с любым объектом, уже принадлежащим группе, то теснота связи в этом случае оказывается более вы­ сокой, чем в методах группового объединения. При этом, кроме сжатия дендрограммы, возникают и другие отличия. Так, на­ пример, группа СЕ прямо соединена с группой BFD в силу на­ личия высокой корреляции между Е и D. Если корреляции с С и Е усреднить, то наивысшей будет корреляция между СЕ и А.

Простое объединение прямо приводит нас к окончательной характеристике, среднему арифметическому мер сходства объ­ ектов, которые уже определены по группам. При использова­ нии этого метода образования групп никакого усреднения со­ всем не делается. Методы, проиллюстрированные на фиг. 7.8, а и б и в предыдущем примере (см. фиг. 7.6), называются мето­ дами взвешивания, хотя на самом деле их следовало бы назвать равным взвешиванием. На фиг. 7.8, а С и Е соединены в начале образования групп. Корреляции новой группы СЕ находятся комбинированием строк и столбцов С и Е и делением каждого из элемента на 2. Далее в группу вводится объект А, и коэф­ фициент корреляции новой группы АСЕ находится комбиниро­ ванием строк и столбцов группы СЕ со строками и столбцами А и делением их на 2. Иными словами, СЕ считается единст­ венным объектом, в то время как на самом деле он состоит

Фиг. 7.11. Дендрограмма корреляционной матрицы, приведенной в табл. 7.15.

Группы построены на основании метода невзвешенного усреднения. Кофенетический ко­ эффициент корреляции'равен 0,72.

который трактуется как индикатор малых изменений в дендро­ грамме. Значения кофенетических коэффициентов корреляции, меньшие 0,8, могут указывать на столь сильные изменения в дендрограмме для слабых связей, что диаграмма оказывается ошибочной. В анализе групп матрицы расстояний обычно ис­ пользуются с большим успехом, чем матрицы коэффициентов корреляции, так как дают более высокую кофенетическую кор­ реляцию. По-видимому, матрицы расстояний также менее чув­ ствительны к замене метода при анализе групп. Однако недо­ статок состоит в том, что они ограничивают использование ка­ ких-либо статистических методов. (Для других методов анализа групп имеются некоторые теоретические обоснования; см., на­ пример, Свицер [27].) Большинство исследователей, использую­ щих методы анализа групп, применяют различные меры сход­ ства и процедуры построения групп, а затем выбирают те из них, которые дают наиболее удовлетворительные результаты

сPROGRAM 7 .6

с

сCLUSTER ANALYSIS

с

для их данных. Это вносит некоторую степень субъективизма в процедуры, цель которых — выявить объективно действующие закономерности, однако кофенетическая корреляция позволяет управлять этим процессом. Ценность анализа групп состоит в том, что он дает возможность относительно просто классифи­ цировать объекты, а результаты этой классификации предста­ вить в понятной и легко доступной форме.

Хотя анализ групп для небольшого массива исходных дан­ ных осуществляется сравнительно просто, он становится все более сложным по мере увеличения объема данных. Естест­ венно, что в этих случаях графические процедуры при построе­ нии дендрограмм также становятся очень сложными. Для облег­ чения этой процедуры мы написали программу CLUSTR (программа 7.6), которая на основании матрицы сходства осуще-

СPROGRAM 7 .7

СSUBROUTINE TO PERFORM WEIGHTED PAIR-GROUP AVERAGE CLUSTERING.

C

SUBROUTINE WPGA(X,M,MI, IPAIR,XLEV,ISIM) -DIMENSION X(MI,MI),IPAIR(2,MI),XLEV(M1) DIMENSION II(IO O )f 12(100),XSIM(I 00)

C

C . . . INITIALIZE C

WRITE ( 6 t 2001) DO МО I - 1,M

I I ( I ) « I

110CONTINUE XXXX— 9.0E+35

IF (ISIM .NE. I) XXXX-+9.0E+35

M3^M-I

IC-0

C

C . . . FOR A CORRELATION MATRIX FIND LARGEST SIMILARITY IN

13X X -X(J,I) IX-J

101CONTINUE I2 (I) - IX

честве меры сходства. Матрицы коэффициентов корреляции вы­ числяются по программе RCOEF (программа 7.3), а матрицы расстояний — по подпрограмме DIST (программа 7.9). Большин­ ство наших массивов исходных данных, включая и приведенный ниже, размещается в гп столбцах, представляющих переменные, и п строках, соответствующих наблюдениям. Если наша цель, как обычно,— анализ групп наблюдений, то матрица исходных данных должны быть считана и транспонирована для того, чтобы программа позволила нам получить матрицу порядка п хп , ха­ рактеризующую сходство между наблюдениями. В вычислитель­ ных центрах обычно имеется множество программ анализа групп' различной сложности. Среди них можно назвать программы из Computer Contribution Series, NT-SYS — систему численной так­ сономии и BCTRY — систему, созданную Трайоном (Трайон и Бейли [29]). Информацию о них читатель может найти в при­ ложении.

Вкачестве упражнения в анализе групп мы используем

программу CLUSTR (программа 7.6) для исследования набора

Т а б л и ц а 7.16

Десять отношений, полученных по результатам измерения десяти видов кембрийских трилобитов, собранных в штате Юта а

СPROGRAM 7.8

СSUBROUTINE ТО PRINT A DENDROGRAM

С

SUBROUTINE DENDRO(IPAIR,XLEV,M,MI, ISIM) DIMENSION IPAIR(2VMI) , XLEV(Ml) DIMENSION 11(100),12(100)

DIMENSION I0UT(6I) , XX<13)

DATA IBLNK,ICI, ICP,ICM/IH , IHI, 1 H 1Н-/

C

C . . . DETERMINE ORDER THAT BRANCHES HILL BE PRINTED IN C

M2*M-1

DO 100 1 *1 ,M

I l t n - 0 I 2 ( I ) - 0

100 CONTINUE

12 12(1)e1

GO TO 15 13 K *II(J>

IF (K .EQ. 0) GO TO 14 J-K

GO TO 13 14 I I ( J ) - I

15 DO 102 J - I , I

K - J

IF (IPAIR(2,I> .EQ. IPAIR(I, J )) GO TO 16

102CONTINUE GO TO 101

161 2 0 0 * 0 I I ( I ) *K

101 CONTINUE

C

C. . . FIND STARTING CLUSTER C

DO 103 1*1,М2 JS - I

IF (12(1) .NE. 0) GO TO 20 103 CONTINUE

CALL EXIT

20 NODE=IPAIR(I,JS)

C

C . . . FIND LARGEST AND SMALLEST SIMILARITY COEF. C

XMIN=XLEV(I)

XMAX*XMIN

DO 104 I=*I,M2

IF (XLEV(I) .LT. XMIN) XMIN-XLEV(I)

IF (XLEV(I) .GT. XMAX) XMAX-XLEV(I)

104CONTINUE DX*(XMAX-XMIN)/25.0 XMIN*XMIN-DX XMAX*XMAX+DX DX*(XMAX-XMIN)/6 0 .0

IF (ISIM .NE. 2) GO TO 21 DX— DX

XMIN-XMAX

C

C . . . BLANK OUT PRINT LINE ARRAY C

21 DO 105 1*1,61 IOUT( I)*IBLNK

105 CONTINUE

C

C...PRINT DENDROGRAM C

X*XMIN

DO 106 1-1,13 XX(I)-X X*X+DX*5.0

106 CONTINUE