книги / Статистика и анализ геологических данных

исходных дисперсий каждой переменной, соответствующих ос­ тавленным факторам. В этом примере все они близки к 1,00.

Аналогично тому, как это было сделано на фиг. 7,23 при рассмотрении метода главных компонент, мы можем графически изобразить факторные значения, соответствующие повернутым факторам (фиг. 7.34). Отметим, что в действительности первый фактор отражает общие характеристики параллелепипедов по всем измерениям, так как менее крупные тела располагаются слева, а более крупные — справа. Второй фактор позволяет отли­ чить изометричные тела от плоских и брусоподобных одного

итого же объема, но не дает возможности разделить плоские

ибрусоподобные формы и поэтому не может служить для описа­ ния формы самой по себе. Как и при МГК, двух факторов недо­ статочно для описания первоначальной изменчивости, содержа­ щейся в трех независимых переменных. Если сравнить фиг. 7.23

и7.34, то легко увидеть, что МГК и факторное представление очень похожи, а главное отличие состоит в том, что две оси по­ менялись местами.

Графическое изображение факторных значений (до вращения или после него) более сложно, чем в методе главных компо­ нент. Главные компоненты получаются в результате применения линейных преобразований, в то время как факторные значения представляют оценки вкладов различных факторов в каждое исходное наблюдение. Так как факторы находятся по тем же данным, вычисление факторных нагрузок является в некотором

5 6

Фиг. 7.33. Графическое изображение тех же нагрузок после выполнения вра щения по методу Кайзера.

Использованы данные по 25 блокам, а значения переменных приведены в табл. 7.19.

которая затем используется для вычислений истинной матрицы факторных значений по формуле

[X] [в]= [ р ] ,

[X][L] IS]-1 = [ F ] ,

Та же процедура используется для получения проекций фак­ торных значений на факторные оси до или после выполнения вращения по методу Кайзера. Отметим, что в матрице данных [X] представлены стандартизированные переменные, а не исход­ ные, как в МГК, так как нагрузки в МГК вычислялись на ос­ новании ковариационной матрицы исходных данных, в то время как факторные нагрузки вычисляются на основании стандарти­ зированной, или корреляционной, матрицы. Конечно, если бы мы стандартизировали данные, используемые в МГК, то вычислили бы факторные значения на главные оси для стандартизирован­ ных данных.

Теперь задача определения числа р сохраняемых факторов приобретает важное значение. Число факторов влияет на раз­ меры воспроизведенной и остаточной корреляционной матриц, на общности и на нагрузки специфической компоненты. Сами факторные нагрузки при этом не изменяются. Это значит, что если из исходного множества данных мы извлекли р = 2 фак­ тора, то факторные нагрузки на факторы I и II не изменятся при добавлении третьего фактора. Однако если мы подвергнем вращению два фактора, то нагрузки могут сильно отличаться от нагрузок, полученных в случае, если бы мы извлекли из тех же данных и подвергли вращению три фактора. Вращение двух факторов при р = 2 не ограничено никакими условиями. Вра­ щение тех же двух факторов не может выполняться так же сво­ бодно при р = 3. так как третья ортогональная ось накладывает некоторые ограничения, которые также должны быть согласо­ ваны с базисом m-мерного пространства, определенного перемен­ ными.

Схема вращения по методу Кайзера сохраняет ортогональ­ ность факторных осей. Несмотря на то что после вращения фак­ торные оси не совпадают больше с главными осями эллипсо­ ида ковариаций, они образуют прямые углы друг с другом и,

35 Заказ № 455

интерпретацию факторов. Неортогональные решения вносят эле­ мент субъективности в уже и без того довольно произвольное решение задачи, которого надо тщательно избегать всем, за исключением экспертов. Интересующийся читатель может обра­ титься к книге Хармана [10] и ранней работе Тэрстоуна [28].

Т а б л и ц а 7.27

Восемь переменных, измеренных на образцах угля из основных угольных месторождении США

Табл. 7.27 содержит измерения, сделанные на 25 образцах угля из основных угольных месторождений США. Восемь вы­ бранных переменных характеризуют экономические показатели

35*

угля. Факторный анализ позволяет привести эти переменные к нескольким факторам, позволяющим контролировать каче­ ство и дать классификацию углей. Программа 7.12, FACTOR, предназначена для выполнения факторного анализа и вращения факторов по методу Кайзера. В ней для вычисления главных компонент используется подпрограммаEIGENJ (программа 4.10). Некоторое число компонент сохраняется и объявляется факторами. Далее, используя подпрограмму VARMAX (про­ грамма 7.13), основная программа выполняет вращение факторов

IF ( I S I M . N E . I ) GO T O 2

4 C A L L E I G E N J ( A 1 , A 2 , M , M M )

S U M E E = 0 . 0

DO 101 1 * 1 , M

A I ( I , 2 ) * A 1 ( 1 , I ) * IO O . O / S U M E S U M E E * S U M E E + A 1 ( 1 , 1 )

A l ( I , 3 ) * S U M E E * 1 O O . O / S U M E 101 C O N T I N U E

C A L L P R I N T M ( A 2 , M , M , MM, MM)

D E T = D E T + A 2 ( I , K ) * A 2 ( J , K )

1 1 3 C O N T I N U E

11 2 C O N T I N U E

D E T * D E T + A 2 ( K , 1 ) * A 2 ( K , J )

1 0 4 C O N T I N U E

A 3 ( I , J ) * = D E T

A 3 ( J , I ) * D E T

1 0 3 C O N T I N U E

C A L L P R I N T M ( A 2 , M , L , M M , M M )

W R I T E ( 6 , 2 0 0 6 )

C

C . . . C A L C U L A T E A N D P R I N T V A R I M A X F A C T O R S C O R E S C

D E T * D E T + A 2 ( К, I ) * A 2 ( K , J )

1 0 6 C O N T I N U E

А3 ( I , J ) = D E T

А3 ( J , I ) = D E T 1 0 5 C O N T I N U E

2 0 0 3 FO R M A T ( I Н О , 4 X , 'C O L U M N I * E l G E N V A L U E S , ' , 2 X ,

1 'C O L U M N 2 = P E R C E N T O F T R A C E ' , / ,

2 5 X , ' C O L U M N 3 = C U M U L A T I V E P E R C E N T O F T R A C E ' )

2 0 0 4 F O R M A T ( 1 H 0 , 4 X , ' P R I N C I P A L A X I S M A T R I X - ' , I X ,

2 0 1 0 F O R M A T ( I H 0 , 4 X , ' R E P R O D U C E D C O R R E L A T I O N M A T R I X ' ) 2 0 1 1 FO R M A T ( I H 0 . 4 X , ' R E S I D U A L C O R R E L A T I O N M A T R I X ' )

END

Программа 7.12. FACTOR

с целью определения положения, в котором дисперсия квад­ ратов нагрузок максимальна. Программа предусматривает вы­ дачу разнообразных результатов, что позволяет проследить все этапы вычислений. Можно провести поучительный эксперимент, получив только два фактора для данных по углям и сделав по­ пытку их интерпретации. При этом оказывается, что графиче­ ское изображение факторных значений по факторам I и II дает интуитивно предсказуемую группу точек, а сами факторы можно