книги / Статистика и анализ геологических данных

Фиг. 7.18.

Две первоначально заданные точки (светлые кружки) проектируются на первую главную компоненту. Проекции их образов (темные кружки) обратно на оси координат приводят

к меньшей дисперсии. Потеря дисперсии происходит из-за того, что не используется вторая главная компонента.

Фиг. 7 .22 . Близкий к окружности эллипс, определенный векторами дисперсий и ковариаций для рандомизированных данных фиг. 7 .21 .

Первая главная компонента дает лишь незначительно больший вклад в суммарную дис­ персию, чем любая из исходных переменных.

ковариационной матрицы, то получим два вектора:

Два собственных значения почти равны между собой: пер­ вое равно 24,3, а второе — 20,1. Мы нашли две главные оси эллипса, который почти совпадает с окружностью (фиг. 7.22). Это находится в соответствии с нашими предположениями, так как корреляция между двумя исходными переменными почти нулевая; следовательно, две исходные оси почти ортогональны. Так как две исходные переменные почти равны по величине, то найденные оси определяют эллипс, близкий к окружности. Ни­ какие другие оси, даже найденные методом главных компонент, не могут быть значительно лучше, чем эти две исходные пере­ менные. В указанной ситуации не существует такого преобразо­ вания исходных данных, которое позволило бы нам уменьшить число переменных без значительной потери информации. Ко­ нечно, маловероятно, чтобы естественные множества данных имели нулевые ковариации для всех пар переменных.

Проиллюстрируем применение МГК на искусственном при­ мере, аналогичном приведенному Кули и Лонесом [4]. Мы все хорошо знаем, что значит определить «размеры» чего-либо. Можем ли мы измерить длину, ширину, площадь, объем или

какое-либо отношение этих величин? Как установить различие между понятиями «размер» и «форма»? Чтобы получить ответы на эти вопросы, рассмотрим набор 25 объектов, имеющих форму параллелепипедов. Значения трех измерений этих тел выбира­ лись случайно в пределах 10 единиц. В полученном наборе все размеры и формы были равновероятными, от куба со стороной, меньшей одной единицы, до призмы и плоской пластины или до куба размером 10X10X10 единиц. Совокупности измерений, сде­ ланных на каждом из таких блоков, составили множество значе­ ний наших переменных. Они были выбраны следующим образом:

Xi — длинная ось Хг — средняя ось Хз — короткая ось

Х4 — самая длинная диагональ

радиус наименьшей описанной сферы

Х5 — отношение

радиус наибольшей вписанной сферы

длинная ось+средняя ось

Хб — отношение

короткая ось

площадь поверхности

Х7 — отношение

объем

Табл. 7.19 содержит 25 наблюдений семи переменных, а в табл. 7.20 приведена ковариационная матрица вместе с со­ ответствующей матрицей собственных векторов и отвечающими им собственными значениями.

Первые два собственных вектора составляют примерно 93% общей дисперсии изучаемого множества данных. Первый, со­ ставляющий примерно 60% общей дисперсии, дает наибольшие вклады в переменные Х 5 и Х 6. Обе эти переменные являются отношениями, содержащими в знаменателе переменную Хз, т. е. длину короткой оси. Отсюда можно сделать вывод, что первая главная компонента позволяет устанавливать различия в тол­ щине параллелепипедов. Из фиг. 7.23 видно, что это так: очень плоские тела размещаются далеко справа, в то время как изометричные размещаются далеко слева. Первая компонента не позволяет осуществить разделение брусоподобных и плоских тел, так как каждое из них имеет хотя бы одну очень малую короткую ось. Отсюда мы заключаем, что первая компонента характеризует высоту по отношению к остальным размерам.

Второй собственный вектор имеет большие веса по всем трем осям и по длине главной диагонали. Мы можем интерпрети­ ровать его как фактор, обобщенно отражающий размеры тела. Эта интепретация хорошо согласуется с фиг. 7.23. Вдоль второй главной компоненты параллелепипеды рассортированы в соот­ ветствии с их размерами, причем наименьший расположен внизу, а наибольший — вверху.

Хотя МГК и привел к результату, который мы ожидали в этом эксперименте, разделение форм не является вполне опре­ деленным. Третья главная компонента дает вклад в дисперсию лишь около 4%, и ее можно рассматривать как фактор, отра­ жающий длину средней по величине оси. По-видимому, в соеди­ нении с двумя первыми компонентами эта компонента позволяет осуществить полное разделение плоских и брусоподобных тел. Этот результат не является неожиданным, так как в качестве независимых переменных в эксперименте выбирались значения длины осей. Хотя двух компонент достаточно для характери­ стики большей части изменчивости изучаемых данных, все же третья компонента является необходимой для выделения суще­ ственных деталей. Этот пример показывает, что МГК является мощным методом определения истинного числа линейно незави­ симых векторов, содержащихся в матрице. Поэтому он позво­ ляет измерить избыточность множества переменных.

В качестве примера применения МГК к геологическим зада­ чам рассмотрим данные, взятые у Крамбейна и Эбердина [15],

Т а б л и ц а 7.19

Результаты измерения 25 параллелепипедов, имеющих случайную длину сторон

приведенные в табл. 7.21. Они представляют собой результаты 50 гранулометрических анализов проб осадков, взятых со дна залива Баратария в западной части дельты Миссисипи (штат Луизиана). Эти пробы принадлежат различным донным фациям, соответствующим разным типам седиментации. Ситовой анализ

Фиг. 7.23. Проекции данных по параллелепипедам на первые две главные компоненты.

Горизонтальная ось соответствует первой компоненте, вертикальная — второй. Параллеле­ пипеды нанесены с сохранением их относительного расположения по отношению к двум главным компонентам.

производился с помощью комплекса сит с интервалом 1<р. По­ лученные данные представляли собой весовые процентные от­ ношения фракций различного размера.

В качестве изучаемых переменных рассматривались про­ центные содержания фракций определенного размера в каждой пробе. Те же переменные использовались при вычислении таких статистических характеристик, как среднее значение, коэффици­ ент сортированности и асимметрия распределения размера зе­ рен. С помощью МГК мы можем исследовать взаимосвязь ме­ жду различными фракциями и найти наиболее эффективную их комбинацию, причем термин «наиболее эффективный» соответст­ вует фактору, дающему наибольший вклад в суммарную дис­ персию. Мы вправе ожидать, что нагрузка на первую главную компоненту некоторым образом является аппроксимацией сред­ них значений, так как набор этих величин обычно является наи­ более эффективной из всех возможных статистик.

Анализ начинается с вычисления элементов ковариационной матрицы. Стандартизация в этом случае необязательна, так как исходные данные измерены в одних и тех же единицах для всех переменных. Необходимо отметить, что данные представляют

собой приближенно замкнутую матрицу (т. е. в большинстве слу­ чаев сумма переменных составляет 100%), которая снова напо­ минает нам о теоретически интересном и важном вопросе, свя­ занном с индуцированными отрицательными зависимостями. Ко­ вариационная матрица «переопределена», т. е. она содержит

а Модифицированные данные Крамбайна и Эбердина [15].

I — пляжевые и прибрежные пески; II — алевритистые русловые пески; III — алевритистые береговые пески;

IV — органический донный алеврит; V — органические илы.

больше строк и столбцов, чем это необходимо. Очевидно, если мы знаем А, В и С и сумму А + В + С, то имеем информации больше, чем нам нужно в действительности, и одна переменная является избыточной. Неизбежно, что одно собственное значение матрицы, построенной по таким данным, будет обязательно ну­ левым. В рассмотренном примере сумма по всем переменным не составляет в точности 100%, так как наблюдения меньшие 8<р отбрасываются. Последнее собственное значение ковариационной матрицы поэтому очень мало, но не равно нулю, как это было бы в случае замкнутой матрицы.

Мы можем использовать программу 7.10 (МГК) для нахож­ дения семи собственных значений и собственных векторов, со­