книги / Статистика и анализ геологических данных

т. е. произвольный вектор [А] оказывается равным вектору раз­

ности между средними [X — р]. Таким образом, для вычисления критерия мы находим матрицу, обратную ковариационной мат­

рице, умножаем ее слева на вектор-строку [X — р]'и затем вы­ полняем умножение справа на вектор-столбец той же разности. Полученная статистика является многомерным обобщением t-статистики и называется Т2-статистикой Хотеллинга в честь математика, который впервые ее использовал. Критические зна­ чения Т2 определяются с помощью соотношения

где п — число наблюдений, а ш — число переменных. Эта фор­ мула позволяет для определения критических значений вместо специальных таблиц Т2-распределения использовать более удоб­ ные таблицы F -распределения. Более полное изложение вопро­ сов, связанных с Т2-критерием, дается во многих руководствах, как, например, в монографии Моррисона [22].

Хотя формула Т2-критерия (7.13) имеет очень простой вид, его вычисление для заданных числовых характеристик может оказаться очень трудоемким. Например, предположим, что мы измерили содержание четырех элементов в семи пробах лунного грунта. Мы хотим проверить гипотезу, что эти пробы извлечены из совокупности, имеющей то же среднее значение, как и конти­ нентальные базальты. Предположим, что мы взяли наши сред­ ние значения из «Справочника физических констант» [3]. Кри­ терий Хотеллинга Т2 оказывается вполне пригодным для про­ верки гипотезы о том, что вектор средних значений лунных проб не отличается от вектора средних значений базальтов, приве­ денных в справочнике.

Сначала мы вычисляем вектор четырех выборочных средних и матрицу дисперсий и ковариаций порядка 4X4. Далее вычис­ ляется вектор разностей между выборочными средними и сред­

ними значениями совокупности [X — р]. Затем производится обращение матрицы ковариаций и дисперсий, т. е. вычисляется [s2]"1. Наконец, мы выполняем два матричных умножения:

[X — р]' [s2]-1. [X — р], после чего умножение результата на п дает значение Т2. Из этого описания легко видеть, что объем вы­ числений быстро растет с увеличением числа переменных. Од­ нако для больших массивов данных мы можем провести вычис­ ления, используя подпрограммы, приведенные в гл. 4. Данные по семи лунным пробам, так же как и вектор средних, приве­ дены в табл. 7.5. В этой таблице даны также промежуточные результаты вычислений и окончательное значение Т2. Вычислите

Для определения критического значения Т2-статистики можно воспользоваться F -распределением, т. е.

П1 + П2— m — 1 гр2

Объединенная ковариационная матрица для табл. 7.5 и 7.6

Матрица, обратная объединенной ковариационной матрице

Т 2 = 135,30

В табл. 7.6 приведены данные семи анализов океанических базальтов Тихого океана на те же четыре элемента, что и в табл. 7.5. Предполагая, что обе выборки извлечены из много­ мерных совокупностей с нормальным распределением и с оди­ наковыми ковариационными матрицами, проверим гипотезу о том, что векторы средних значений лунных и тихоокеанских образцов одинаковы. В таблице приведены необходимые вычис­ ления. Является ли нулевая гипотеза о равенстве многомерных средних приемлемой при 5%-ном уровне значимости (а = 0,05)?

Равенство ковариационных матриц. Основное допущение, на котором основаны два предыдущих критерия, заключается в том, что выборки считаются взятыми из совокупностей, имеющих одну и ту же ковариационную матрицу. Это многомерный ана­ лог предположения о равенстве дисперсий, лежащем в основе применения t-критерия для проверки гипотезы о равенстве сред­ них значений. На практике предположение о равенстве может нарушаться, так как выборки, имеющие высокое среднее значе­ ние, часто имеют также и большую дисперсию. Как указыва­ лось в гл. 5, такое поведение характерно для многих геологиче­ ских характеристик, таких, например, как значения содержаний редких элементов. Равенство ковариационных матриц можно проверить с помощью «критерия обобщенных дисперсий», яв­ ляющегося многомерным эквивалентом F -критерия [22].

Предположим, что мы имеем к групп наблюдений и в каж­ дой из них m переменных. Для группы с номером i вычислим ковариационную матрицу [s2] и проверим нулевую гипотезу

Н ,:[ е П ^ № ] .

В тех случаях, когда к и m не превышают 5 и каждая оценка ковариационной матрицы строится на основании не менее 20 наблюдений, %2-аппроксимация является наиболее точной. Ис­ пользуя этот критерий, проверьте гипотезы о равенстве ковари­ ационных матриц по двум выборкам, приведенным в табл. 7.5 и 7.6. Для вычисления значения критерия необходимо подсчи­ тать определители трех матриц четвертого порядка [s2], [s2] и

[s2p]. Это можно сделать с помощью подпрограммы MINV

(программа 4.8) или с помощью какого-либо другого алгоритма. Как только определители будут вычислены, получение значения критерия уже не вызывает затруднений. Для удобства мы пред­ положим, что объемы выборок достаточно велики для того, чтобы %2-аппроксимация была точной.

С целью иллюстрации процедуры проверки гипотез с исполь­ зованием многомерных статистик мььрешим следующую задачу. При этом заранее предположим, что число выборок допускает возможность применения некоторой аппроксимации.

В восточном Канзасе на некоторой территории вся питьевая вода добывается из скважин. Одни из них пробурены в аллю­ виальных отложениях долин рек, в то время как другие про­ низывают водоносный известняковый горизонт, являющийся ис­ точником многочисленных ключей в данном районе. Население предпочитает использовать воду из аллювиальных отложений, так как считает, что она вкуснее. Однако водные ресурсы ал­ лювия ограниченны, и иногда желательно было бы пополнить их за счет известнякового водоносного горизонта.

Для того чтобы доказать, что качество воды из этих двух источников одинаково, были взяты пробы в разных скважинах. Пробы анализировались на содержание тех химических ком­ понентов, которые определяют качество воды. Некоторые из этих анализов приведены в табл. 7.7. В ней приведены также кова­ риационные матрицы, их обратные матрицы и определители для двух заданных совокупностей и для объединенной выборки. По этим данным можно проверить гипотезу о равенстве векторов средних значений. Мы предполагаем, что выборки взяты случайно из многомерных совокупностей с нормальным распределением.

Используя статистику М, определенную по формуле (7.19), проверим сначала гипотезу о равенстве ковариационных матриц двух совокупностей:

М = (2 0 + 2 0 - 2 ) In2,0725 • 10s - (1 9 In 1,8838X X 108+ 1 9 In 2,2582 • 10®) = 0,1835.

Чтобы использовать %2-аппроксимацию, вычислим множитель

Значение %2-статистики равно 0,158, а число степеней сво­ боды

V = 4 - ( 2 - 1 ) ( 5 ) ( 5 + 1 ) = 1 5 .

Критическое значение х 2 при V = 1 5 * H 5 % - н о м уровне зна­ чимости равно 25. Вычисленное значение намного ниже этой ве-

"5,1614800 0,5133812 7,3683410 -1,4102910 -3,4401890

0,5133812 21,0247300 10,6948600 -4,0895870 -25,3971700

7,3683410 10,6948600 102,8046000 -38,5268000 -58,1688200

Xi — кремнезем; Х2 — железо; Х3 — магний; Х4 — натрий+кальций; Хб— кальций.

личины, и потому мы можем заключить, что ничто не мешает нам принять гипотезу о равенстве ковариационных матриц изу­ чаемых совокупностей. Далее, используя Т2-критерий (7.16), мы можем проверить гипотезу о равенстве многомерных средних:

т2= - ж т ж 1 1’5661 = 15’66-

В скобках указан результат, полученный после выполнения соответствующих матричных умножений, указанных в формуле

(7.16). Используя формулу (7.17), мы вычислим соответствую­ щее значение F -статистики:

Числа степеней свободы таковы: v1= 5,

V 2 = 2 0 + 2 0 - 5 - 1 = 3 4 .

Критическое значение F -критерия при 5 и 34 степенях сво­ боды и 5% -ном уровне значимости равно 2,49. Так как вычис-' ленная нами статистика превосходит это критическое значение, то мы можем заключить, что наши выборки указывают на су­ ществование различия между векторами средних двух изучае­ мых совокупностей. Иными словами, имеется статистически зна­ чимое различие в составе воды из двух водоносных горизонтов. Этот простой критерий не позволяет выделить те переменные, которые обусловливают различие в химическом составе воды, но он позволяет подтвердить мнение населения о том, что вода из этих двух источников различается по своим свойствам.

Можно также использовать многомерные методы, являю­ щиеся обобщением процедур дисперсионного анализа, изложен­ ных в гл. 3. Все они основаны на сравнении двух матриц по­ рядка m X m , являющихся многомерными эквивалентами внут­ ригрупповых и межгрупповых сумм квадратов, используемых в обычном дисперсионном анализе. Проверяемая статистика ос­ нована на наибольшем собственном значении матрицы, исполь­ зуемой для сравнения. Мы не будем рассматривать этих кри­ териев здесь, так как их формулировка сложна, а приложение к геологическим задачам весьма ограничено. Из этого, однако, не следует делать вывод, что потенциальные возможности этих методов уже исчерпаны. Заинтересованные читатели могут обра­ титься к книге Кули и Лонеса [4], в которой имеются вычис­ лительные программы многомерного дисперсионного анализа и примеры его использования, а также к книгам Моррисона [22], Коха и Линка [14], в которых содержится краткое изложение процедуры исследования геохимических данных с помощью мно­ гомерного дисперсионного анализа.

Дискриминантные функции

Одним из наиболее широко используемых в науках о Земле многомерных методов является дискриминантный анализ. Мы рассматриваем его здесь по двум причинам: во-первых, он является мощным статистическим методом и, во-вторых, его мо­