книги / Статистика и анализ геологических данных

Фиг. 6.18. Распределение случайной компоненты относительно наблюдений поверхности, соответствующие структурной модели поверхности тренда.

На самом деле цель анализа заключается в определении обла­ стей данного размера по Xi и по Хг, над которыми член (yi+ei) коррелирован. На фиг. 6.18 указано теоретическое распределение величин 6i около структурной поверхности. В большинстве слу­ чаев отклонения поверхности от полиномиальной модели отра­ жает не величину ошибки, а величину локальной компоненты уь

Различие между этими двумя уравнениями для поверхностей тренда отражено в методе, с помощью которого изучается авто­ корреляция между остатками. В полиномиальном регрессионном анализе автокорреляция рассматривается как усиление ограни­ чений, принятых в модели, и вводится для обоснования (или серьезного ослабления) выводов, полученных на основании ана­ лиза. Такое положение характерно для петрографических и гео­ химических данных, так как повторения приводят к тому, что ошибки распределены нормально при сравнительно простом уравнении регрессии. Хотя отсутствие согласования заставляет предположить наличие более сложных уравнений регрессии, все же ошибка достаточно велика для того, чтобы мы могли считать, что нами учтены все отклонения.

В противоположность этому геологи, используя тренд-анализ структурных данных, находят области автокоррелированных остатков. Как было установлено выше, почти все структурные отклонения можно охарактеризовать отсутствием согласования, а наличие автокоррелированных остатков указывает некоторую область, более широкую, чем интервал опробования, в которой поверхность отклоняется от полиномиальной модели в требуе­ мом направлении. Как большие площади автокоррелированных остатков, так и одиночные точки с большими отклонениями пред­ ставляют интерес при разведке нефти, так как могут указывать области, где локальные структуры yi имеют большое влияние. Так как отклонения не являются случайными величинами, то

обычные критерии значимости регрессии в этом случае непри­ менимы. Это нельзя считать большим недостатком, так как сама регрессия представляет лишь побочный интерес.

Ловушки. Теперь нам представляется целесообразным ука­ зать некоторые факторы, которые могут значительно испортить результаты тренд-анализа, т. е. любой тип анализа карт.

Ясно, что необходимо иметь некоторый способ контроля по­ лученных результатов. Как минимум, число данных точек дол­ жно превосходить число коэффициентов в полиномиальном уравнении или в противном случае построенное уравнение ре­ грессии нельзя использовать. Если в качестве статистических критериев использовать критерии скачков, то число контроль­ ных точек определяет число степеней свободы и последнее дол­ жно быть довольно значительным для того, чтобы обоснованно применять F-критерий. Если число степеней свободы для откло­ нений невелико (вследствие того, что число полиномиальных коэффициентов близко к числу данных точек), то только крайне высокие значения коэффициентов корреляции могут быть при­ няты как значимые. Далее, мощность критерия (вероятность отсутствия ошибки второго рода) сильно убывает с уменьше­ нием объема выборки. Конечно, число и расположение контроль­ ных точек имеют прямое влияние на величину локальных откло­ нений, которые можно обнаружить при тренд-анализе структур­ ных данных, и имеют связь с допуском в их определении.

Обыкновенно мы не рассматриваем контрольные точки, ле­ жащие за пределами границ нашей карты. Зачастую, когда об­ ласть карты немного выходит за пределы действительных гра­ ниц данных точек, может быть несколько контрольных точек (конечно, необязательно), расположенных в точности на грани­ цах карты. В таких случаях почти не существует никаких огра­ ничений на форму поверхности тренда вблизи от краев карты. Какой бы наклон ни был в контролируемой области, он экстра­ полируется без ограничений вдоль границ карты. Это явление называется «краевым эффектом». Если к имеющимся данным подбирается поверхность тренда высокого порядка, то экстрапо­ лируемые значения вблизи краев карты могут достигать астро­ номических размеров. Более слабые краевые эффекты возни­ кают даже тогда, когда все поле карты равномерно покрыто контрольными точками вплоть до границы. Поэтому желательно иметь данные по площади за пределами карты. Последние об­ разуют вокруг карты «буферную область», в которой сконцен­ трированы краевые эффекты; контрольные точки в этой области определяют форму поверхности тренда внутри поля карты. Ши­ рина буферной области зависит в первую очередь от допустимой плотности контроля. Если карта содержит много контрольных точек, то достаточно узкой граничной полосы. Если контрольная

Фиг. 6.19. Влияние распределения контрольных точек на поверхности тренда.

полосе; в — почти правильный тренд, полученный путем добавления нескольких допол­ нительных точек за пределами узкой полосы наблюдений.

плотность низкая, то для поглощения краевых эффектов нужен значительно более широкий пояс вокруг карты. Кстати, отме­ тим, что краевые эффекты свойственны не только поверхностям тренда, но также встречаются при построении контурных карт, поверхностей скользящего среднего, а также других типов ап­ проксимирующих поверхностей.

Расположение данных точек в пределах карты также влияет на форму регрессии. Примеры на фиг. 6.19 приведены для того, чтобы показать влияние распределения данных на полиномиаль­ ные поверхности тренда [10]. Множество точек было случайно размещено на поверхности, имеющей форму бассейна, и для них была найдена поверхность тренда второго порядка. Регрес­ сионное уравнение затем было использовано для вычисления значений зависимой переменной в точках, размещенных в соот­ ветствии с различными выборочными планами. В идеале по­ верхности, построенные по этим точкам, должны быть идентич­ ными поверхностям, для которых эти данные были получены. На фиг. 6.19, а показана поверхность, построенная по случайно

фиг. 6.19,6 выборочные точки распределены вдоль узкой полосы. Точность аппроксимации еще высокая (93%), но форма поверх­ ности регрессии сильно смещена в направлении, параллельном выборке. Для того чтобы исправить это смещение, достаточно лишь несколько контрольных точек вне этой полосы, как пока­ зано на фиг. 6.19,в (где точность аппроксимации также 93%). Эти примеры показывают, что вид полиномиального уравнения сильно зависит от формы площади, занимаемой картой. Если данные не распределены приблизительно равномерно, то поверх­ ность тренда вытягивается в направлении расположения точек.

Напомним, что эти примеры составлены для идеализированных моделей, т. е. моделей, не содержащих локальных или случайных компонент; смещения будут более значительными, если имеется незначительный «шум».

Отметим, что имеется ряд работ, в которых содержатся предостережения, касающиеся плохого влияния групповых скоп­ лений точек на поверхность тренда. Группирование контрольных точек причиняет особое беспокойство при разведке нефти, так как скважины наиболее густо расположены в пределах уже известных нефтяных полей. Такие площади могут оказывать зна­ чительное влияние на региональный тренд, хотя очевидно, что этот эффект не столь страшен, как это иногда кажется {10]. На фиг. 6.20, а изображена модель поверхности тренда третьей степени, используемая для вычисления значений в данной точке с целью изучения эффекта группирования. Были взяты точки из различных групп и была сделана попытка воссоздать перво­

ной изменчивости. Еще более отчетливая группировка указана на фиг. 6.20, в, но кубическая поверхность учитывает 100% сум­ марной изменчивости. Фигуры 6.20,6 и в в сущности идентичны исходной поверхности. Эти эксперименты показывают, что ме­ тоды тренд-анализа, по-видимому, более устойчивы относительно группирования, чем это обычно предполагается. Напомним еще

Фиг. 6.20. Влияние группировки контрольных точек на поверхности тренда.

по контрольным точкам, расположенным по частичным пересечениям проверяемой поверх­ ности.

раз, что указанные критерии по существу своему не содержат шума и что при наличии локальных изменений возможны более серьезные изменения поверхности тренда.

Четырехмерный тренд-анализ -

Логическое обобщение полиномиального тренд-анализа тре­ бует введения третьей географической координаты (а также ее степеней и смешанных произведений с другими пространствен­ ными координатами) в качестве независимой переменной. Полу­ чаемая регрессия имеет несколько названий: «гиперповерхность», «изоплетная огибающая», «U-V-W-тренд» или просто четырех­ мерная поверхность тренда. В этом методе зависимая перемен­ ная, обычно процентное содержание некоторой компоненты, регрессирует с востока на запад, с севера на юг и по высотной координате, и контурные линии представляют собой линии уровня поверхностей более высоких размерностей. Результаты анализа изображаются в виде тела (в трехмерном простран­ стве), содержащего вложенные в него поверхности уровня. Эти поверхности допускают ту же интерпретацию, как и контурные линии на обычной карте; они заключают равные значения со­ става. Так же как площади между двумя последовательными контурными линиями на топографической карте заключают точки, имеющие почти одинаковую высоту, так и объем между двумя последовательными поверхностями четырехмерной поверх­ ности тренда заключает точки, имеющие почти одинаковые значения состава.

В качестве простого примера рассмотрим данные, приведен­ ные в табл. 6.12. В ней представлено процентное содержание окиси урана в небольшом карнотитовом теле в юрских отложе­ ниях плато Колорадо. Такие небольшие, но богатые рудные тела сформировались в результате замещения скоплений орга­ нических остатков в осадочной толще урановыми и ванадиевыми минералами. Рудное тело имеет форму эллипсоида; содержание урана увеличивается по направлению к центру. Протяженность рудного тела, грубо говоря, определяется общей длиной скопле­ ний органических остатков, которые образуют ядро. Рудное тело было тщательно опробовано, а анализ собранных проб дал прекрасный пример данных, пригодных для построения четы­ рехмерной поверхности тренда.

Легко убедиться, что как построение стереоскопической или перспективной карты, так и создание пространственной модели переменной, изменяющейся в трехмерном пространстве, явля­ ются нелегкой задачей. Трудность увеличивается, если значения переменной в контрольных точках содержат случайную компо-

Т а б л и ц а 6.12 Содержание окиси урана (в %) в карнотитовом теле

ненту. Традиционный метод построения состоит в создании карт для различных уровней или ряда сечений, оконтуривании их и совместном их изображении. К сожалению, метод оконтуривания оперирует с градиентами лишь одномерных или самое боль­ шее двумерных векторных полей. Почти весь процесс построе­ ния и сглаживания изображений является субъективным, и мо­ дель, построенная по контурным уровням, может значительно отличаться от модели, построенной по оконтуренным сечениям, за исключением лишь самых простых примеров.

Четырехмерный тренд-анализ особенно полезен при построе­

плоскости. Градиенты векторных полей могут рассматриваться независимо от направления. По подобранной методом наимень­ ших квадратов поверхности тренда строится сглаженное изо­ бражение или простая форма, которая затем может быть рас­ положена бесчисленным множеством способов. Вычислитель­ ные программы предусматривают получение «скользящих карт» (сечений, перпендикулярных любой из координатных плоско­ стей), которые затем собираются в модель требуемого вида. Используя графопостроитель, многие более сложные программы выдают перспективные, изометрические или стереоскопические

проекции контурных огибающих.

Так как мы добавили одну независимую переменную, то для построения поверхности тренда первой степени мы должны ре­ шить систему четырех совместных уравнений. Нормальные урав­ нения приведены ниже. Для упрощения обозначений снова опу­ щены пределы суммирования. Суммирование распространяется на все наблюдения по i от 1 до п:

SY = bon—|—biEXi—(—b2SX2 -f- b3EX3,

SX 1Y = b0SX1+ b 1EXi + b2SX 1X2+ b 3SX 1X3>

EX2Y = b0EX2+ b iE X 1X2+ b 2E X l+ b 3EX2X3,

EX3Y = ЬоЕН з+Ь^Х ^з+ЬгЕХ гХ з+ЬзЕХз.

Если сравнить эту систему уравнений с системой (6.14), то легко убедиться, что она является ее прямым обобщением, а система (6.14) в свою очередь является обобщением уравнений (5.7) и (5.8). Эту систему в матричном виде можно переписать следующим образом:

Построение аналогичной матрицы для получения уравнений поверхности тренда более высоких порядков требует тех же операций, какие используются в тренд-анализе, лишь с добав­ лением в смешанных произведениях дополнительной коорди­ наты. В качестве упражнения получите матричное уравнение для полиномиальной поверхности тренда второй степени с тремя независимыми переменными. Сколько членов содержит матрица системы? Этот вопрос затрагивает одно из наиболее серьезных ограничений этого метода, так как матрицы систем уравнений для поверхностей высокого порядка содержат очень большие элементы. Следовательно, решения становятся неустойчивыми, и выход состоит в стандартизации данных с учетом шкалы матричных коэффициентов, после чего требуется использование наиболее эффективных и сложных процедур обращения матриц. Даже с этими предосторожностями часто невозможно получить надежное решение задачи построения поверхности тренда вы­ сокого порядка по заданному множеству точек.

На фиг. 6.21, а изображена полиномиальная поверхность тренда первой степени, построенная по результатам определения содержаний урана. Тренд имеет форму параллельных пластин,

между которыми заключены объемы равных содержаний. Как и следовало ожидать, точность линейной модели невысокая, т. е. только 2,3%. Поверхность второй степени изображена на фиг. 6.21,6; точность этой модели значительно выше по сравне­ нию с простой линейной моделью, и соответствующий ей вклад в суммарную дисперсию содержаний урана составляет примерно 59,9%. На фиг. 6.21, в изображена поверхность регрессии третьей степени, имеющая приблизительно ту же форму, что и поверх­ ность второй степени, однако суммарная дисперсия увеличилась до 79,3%.

Описанные выше эффекты, связанные с распределением ис­ ходного множества данных и имеющие значительное влияние на анализ поверхностей тренда, нельзя устранить и в четырех­ мерном случае, где они играют даже большую роль, так как не­ редко возможны затруднения в получении проб с требуемых интервалов глубины. В идеале выборка должна быть равно­ мерно распределенной внутри куба или, в худшем случае, внутри толстой призмы* как это имело место в нашем примере. Хотя иногда и возможно осуществить равномерные схемы опро­ бования, часто это не осуществимо, так как интересующий нас район бывает в двух измерениях намного больше, чем в глу­ бину. Такова ситуация, например, в задачах исследования рас­ пределения стратиграфических составляющих в пределах задан­ ных интервалов. Даже если исследуемая область распространя­ ется на большую глубину, недоступность проб часто заставляет нас ограничиваться рассмотрением тонкой плиты, что приводит к сокращению интервала на глубину. Это трехмерный аналог задачи, иллюстрация к которой приведена на фиг. 6.20, б.

При изучении стратиграфических единиц, таких, как фор­ мации, указанное затруднение преодолевается с помощью изме­ нения масштаба, вертикальные расстояния обычно измеряются в футах, в то время как горизонтальные — в милях. Это при­ водит к растяжению в вертикальном направлении, и нарушения выборочной схемы несколько скрадываются на чрезмерно вы­ тянутой вертикальной шкале. Конечно, если окончательную регрессию привести к истинной шкале измерений, то эти нару­ шения вновь появляются. Существует лишь один компенсирую­ щий фактор, а именно: изменения в составе в пределах осадоч­ ной стратиграфической единицы более ярко выражены в направ­ лении, параллельном стратификации, причем изменения вблизи кровли и подошвы слоя уменьшают влияние смещения. Од­ нако при изучении состава тел, которые распространяются на большие глубины, как, например, граниты магматического происхождения, смещения, вызванные ограниченным выбороч­ ным пространством, могут быть очень сильными. В этих случаях большие градиенты на поверхности вблизи нижней границы кон-