книги / Статистика и анализ геологических данных

Поверхность тренда второй степени и соответствующая ей карта остатков приведены на фиг. 6.14, г и д. Эти карты были постро­ ены по программе, сходной с описанной в этой главе, за исклю­ чением того, что вывод осуществлялся на магнитную ленту с по­ следующим вводом ее в графопостроитель. В качестве упраж­ нения по данным табл. 6.7 с помощью программы TREND (программа 6.3) постройте поверхность тренда, описываемую полиномом третьей степени, для кровли пород ордовика. Срав­ ните полученную вами карту с фиг. 6.14, г. Постройте для вашей поверхности карту остатков и сравните ее с фиг. 6.14, <3. Изме­ нилась ли конфигурация карты остатков? На фиг. 6.15 изобра­ жена карта основных нефтегазоносных полей центрального

Фиг. 6.14.

Т а б л и ц а 6.7

Географические координаты точек наблюдения и абсолютные отметки кровли пород ордовика центрального Канзаса

условий по отношению к выборочным данным. Если эти предпо­ ложения сделаны обоснованно, то мы можем рассматривать ко­ эффициенты bi, найденные с помощью метода наименьших ква­ дратов, как оценки истинных значений коэффициентов регрессии Pi и проверить сформулированные относительно их гипотезы. Мы должны допустить, что случайная величина, рассматривае­ мая в качестве функции, распределена нормально с математи­ ческим ожиданием, равным истинному значению регрессии, и что дисперсия функции не меняется с изменением аргумента. Кроме того, в выборке, взятой из генеральной совокупности, не

должно быть пристрастного выбора. Последнее условие обычно трудно выполнимо, особенно в структурном анализе, базирую­ щемся на данных скважин, так как их положение, как правило, не является случайным. Проверка статистических гипотез о ха­ рактере поверхности тренда будет наиболее простой в случае, когда данные представляют собой результаты химического ана­ лиза проб, собранных по заданному плану.

Значимость поверхности тренда, или уравнения регрессии, можно проверить с помощью дисперсионного анализа, который основан на разделении общей дисперсии набора наблюдений на компоненты, соответствующие определенным источникам из­ менчивости. Конечно, именно это и делается при разделении

вующее уравнению регрессии V R , равно числу членов полинома, используемого для построения этого уравнения. Число степеней свободы, соответствующее отклонениям, равно разности между числами степеней свободы для упомянутых двух типов изменчи­ вости, т. е. vD = vT — V R . Формальная процедура дисперсионного анализа показана в табл. 6.8.

а п — число наблюдений, m — число членов полинома, не считая Ьо.

Значения средних квадратов вычисляются путем деления со­ ответствующих сумм квадратов на определенное число степеней свободы. Средние квадраты в свою очередь являются оценками дисперсий, и при их сравнении можно воспользоваться F-pac- пределением Фишера. Так, M S D — оценка дисперсии, возника­

ющей как следствие отклонений отдельных наблюдений от по­ верхности регрессии, a MSR — оценка дисперсии самой поверх­ ности регрессии. Если регрессия играет существенную роль, то дисперсия отклонений от поверхности регрессии будет мала по сравнению с дисперсией самого уравнения регрессии.

При общей проверке предположения о наличии или отсутст­ вии тренда рассматривается частное от деления оценки диспер­ сии уравнения регрессии на оценку дисперсии отклонений. Зна­ чение F дает вероятный ответ на вопрос: можно ли рассматри­ вать две упомянутые оценки дисперсий как несущественно отличающиеся одна от другой, т. е. что регрессия не дает како­ го-либо эффекта по сравнению со случайными отклонениями. Утвердительный ответ на этот вопрос можно интерпретировать так, что распределение случайной величины Y не зависит от зна­ чений Xi, . . Хщ или величина Y частично зависит от Хь ..., Хт , а математическая модель для описания этой зависимости вы­ брана неверно.

В большинстве вариантов формальной постановки задачи о пригодности уравнения регрессии для описания зависимости

Проверяемая гипотеза заключается в том, что все коэффи­ циенты регрессии равны нулю, или, иными словами, что ре­ грессии нет. Если вычисленное значение F превысит допустимое, соответствующее заданному уровню значимости и числу степе­ ней свободы, то проверяемая гипотеза отвергается как проти­ воречащая выборочным данным и принимается альтернатива Hi.

Некоторые исследователи, применяя полиномы в тренд-ана­ лизе, последовательно увеличивают их степень, что приводит к постепенному увеличению числа слагаемых. В подобной си­ туации дисперсионный анализ можно распространить на изуче­ ние тех вкладов в изменчивость, которые дают добавляемые ре­ грессионные компоненты, что позволит ввести меру эффективно­ сти увеличения порядка уравнения. Такой критерий строится как разность между суммами квадратов уравнений регрессии высшего и предшествующего порядков. Разделив эту разность на соответствующее число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, обусловленных увеличением степени поли­ нома. Частное от деления полученного среднего квадрата на средний квадрат регрессионной поверхности высшей степени будет F -распределено, если увеличение степени полинома не дает эффекта. Таким образом, если вычисленное значение

отношения F превысит допустимое при заданном уровне значи­ мости и соответствующем числе степеней свободы, то из этого следует, что увеличение степени полинома дает эффект. Общая схема проверки эффективности увеличения степени полинома приведена в табл. 6.9.

Т а б л и ц а 6. 9

Общая схема проверки эффективности увеличения степени полинома в уравнении регрессии

а Проверка значимости поверхности тренда (р + 1)-степени,

бПроверка значимости поверхности тренда р-степени.

вПроверка эффективности увеличения степени полинома от р до р+1.

Таким образом, производится проверка следующей гипотезы:

при альтернативе

Hi : Рк+Ь Рк + 2.

Согласно нулевой гипотезе, все коэффициенты регрессии, начиная с к + 1 = 2 0 номера, равны нулю, поэтому введение в уравнение регрессии членов с номерами, превышающими k, не дает никакого эффекта (не следует забывать, что полиному степени р соответствуют к коэффициентов регрессии, а полином

степени (р + 1) содержит m коэффициентов). Если вычисленное значение F превышает табличное, то гипотеза отклоняется. Проверочная процедура для нелинейного случая подробно опи­ сана в работе Ли [23].

В ряде геологических задач может потребоваться оценить эффект, обусловленный одним коэффициентом регрессии в урав­ нении, описывающем поверхность тренда. Такую оценку можно провести путем простого устранения данного члена полинома с последующим повторным вычислением сумм квадратов для регрессии и отклонения. Вклад исключенного члена является разностью двух сумм квадратов. Значимость этого члена можно проверить с помощью вычисления отношения среднего квадрата для уравнения с исключенным членом и среднего квадрата для полного уравнения регрессии. F-отношение имеет числа степеней свободы, равные 1 и (п — m — 1). В табл. 6.10 приведена схема дисперсионного анализа (ANOVA) для проверки значимости одного исключенного коэффициента.

При добавлении новых переменных к каждому члену урав­ нения регрессии можно применить тот же критерий, вычисляя приращение SS R. Однако на практике этот прием не рекомен­ дуется, так как имеется тенденция после появления нескольких последовательных незначащих коэффициентов считать все сле­ дующие члены незначащими, хотя это не всегда так. В анализе поверхностей тренда после прибавления полного набора членов более высокого порядка для их исключения требуется индиви­ дуальная проверка каждого из них. Сокращенные совокупности членов высокого порядка нельзя приписать слепо, если на то нет особых оснований. В одном примере из-за ограничений, свя­ занных с машиной, для данных по нефти была построена «ги­ перповерхность» третьего порядка, уравнение которой не содер­ жало членов третьей степени с разными переменными. Это уравнение сильно отличалось от уравнения, полученного по тем же данным на более мощной ЭВМ с использованием программы построения полного кубического уравнения. Более того, если коэффициенты корреляции членов низкого порядка малы, то добавленные члены имеют тенденцию быть значимыми.

Два вышеприведенных множества данных (см. табл. 6.3 и 6.5) характерны для задач структурного тренд-анализа. Цель обоих исследований состоит в нахождении площадей, на кото­ рых структурные поверхности можно представить полиномиаль­ ными уравнениями. В этих задачах распределение ошибки та­ ково, что пригодность критериев значимости для коэффициентов уравнения регрессии вызывает подозрение. Однако в следующем примере условия сбора данных и проведения эксперимента, повидимому, хорошо согласованы с условиями применимости регрессионных критериев.

24 Заказ № 455

эти отклонения от поверхности тренда могут быть структурно или гидродинамически ассоциированы с нефтяными ловушками. С другой стороны, регрессионные поверхности использовались для определения регионального тренда по петрологическим и геохимическим данным. В этих двух приложениях различны как задачи, так и основные допущения, но метод по-прежнему остается общим.

Поверхности тренда, подбираемые к структурным данным, можно представить следующим уравнением:

которое показывает, что данное наблюдение (абсолютная от­ метка кровли изучаемого слоя) равно сумме постоянного члена, связанного со средними значениями географических координат, плюс полиномиальное разложение степени р этих координат, плюс локальная компонента, плюс случайная компонента. Обычно последние два члена совмещаются и исследуются в со­ вокупности.

Наоборот, поверхность тренда, подбираемая для петрогра­ фических или подобных данных, обычно описывается следующей простой моделью, называемой уравнением поверхности отклика:

которое во всех отношениях похоже на уравнение поверхности тренда, но в нем отсутствует локальная компонента уь В этом случае представляет интерес исследование природы тр е^ а, т. е. получение оценок для коэффициентов Pi полинома.

Петрографические и геохимические переменные обычно ха­ рактеризуются высокой дисперсией между повторениями. Эта изменчивость возникает в силу неоднородности в пределах ана­ лизируемых выборок, локальной или мелкомасштабной измен­ чивости в составе (в масштабе, большем, чем проба, но мень­ шем, чем интервал между пробами), а также из-за наличия ана­ литических или инструментальных ошибок. Обычно последние совмещаются, а это в свою очередь приводит к тому, что ошибка наблюдения является нормально распределенной случайной ве­ личиной. Хотя каждый источник изменчивости можно изолиро­ вать и измерения провести повторно, этого обычно не делается из соображений экономии, а также по ряду других причин.

Поверхность тренда или регрессии, построенная по географи­ ческим переменным, хорошо подходит к таким данным, если выполнены основные допущения. В последние входят требова­ ния, чтобы случайные компоненты ei были нормально распреде­ лены относительно регрессии, чтобы они имели нулевое среднее и постоянную дисперсию. В свою очередь это означает, что эти компоненты независимы друг от друга. Если эти условия выпол-