книги / Статистика и анализ геологических данных

личения содержания. В богатой части штольни изменения значе­ ний более сильные, чем это характерно для интервала значений в бедных частях той же штольни. Суммируя, можно сказать, что эта зависимость сортности руды от расстояния характеризуется экспоненциальным законом, а дисперсия является гетероседастичной.

В этом случае данные можно преобразовать, взяв логарифмы значений содержаний рудного компонента. Тогда экспоненциаль­ ная кривая тренда превратится в прямую, а гетероседастичная дисперсия относительно тренда станет постоянной. Логарифмы тех же данных представлены на фиг. 6.30, б.

Другая особенность многих рудных месторождений заклю­ чается в том, что среднее содержание полезного компонента в блоке чаще всего не зависит от размера блока, если превышен некоторый минимальный объем. Однако часто оказывалось, что дисперсия содержаний в пробах руды находится в обратной связи с размером блока, уменьшаясь по мере увеличения объема пробы. Вероятно, это приводит к задаче оценки запасов, так как объемы проб, на основании которых должны быть получены оценки, во много раз меньше, чем блоки руды, которые затем будут отработаны. (Этот вопрос рассматривают Кох и Линк [20].) Поэтому дисперсия содержаний в пробах может оказаться настолько высокой, что реальную оценку содержаний руды в блоках дать нельзя. Для получения оценок с меньшей диспер­ сией можно воспользоваться методом скользящего среднего по выборке в надежде усреднить большую изменчивость, связан­ ную с отдельными пробами.

Двумерные методы скользящего среднего^ являются обобще­ нием процедур сглаживания данных, рассмотренных в гл. 5. В общем случае требуется оценить переменную в ряде точек сети или приписать значения последовательно примыкающим друг к другу квадратам или прямоугольникам на карте. Данные, на основании которых делаются оценки, разбросаны на площади карты и могут лежать или не лежать в узлах связи. Фигура, аналогичная сглаживающему интервалу в анализе временного тренда, располагается так, чтобы ее центр лежал в точке, в кото­ рой должна быть получена оценка. Всем данным точкам, лежа­ щим внутри этой фигуры, например квадрата или круга, припи­ сываются некоторым образом веса, которые затем используются при получении оценки в центральной точке. Простейшая схема метода скользящего среднего состоит в том, что оцениваемой точке приписывается значение, равное среднему арифметиче­ скому всех наблюдений, лежащих внутри рассматриваемой фи­ гуры. Фигура затем передвигается в следующий узел сетки, и процесс повторяется снова. Когда будут вычислены оценки для одной строки или столбца сети, переходят к следующей строке

или столбцу, и так до тех пор, пока вся площадь карты не будет покрыта полностью.

Общую модель любого метода скользящего среднего можно записать в следующем виде:

т. е. оцениваемое значение Yjj строится на основании взвешенной суммы п соседних наблюдений. Вид весовой функции изменяется от одной схемы скользящего среднего к другой. Например,

впрограмме построения изолиний использовано скользящее среднее с весами, равными обратным величинам расстояний то­ чек от Yij. Можно использовать столь же простую схему выбо­ рочного среднего, как схема сглаживания функций, изложенная

вгл. 5. Очевидно, возможны также и другие схемы взвешивания.

Большинство методов скользящего среднего так или иначе использует расстояния от оцениваемой точки до оценивающих точек. В программе построения изолиний измеряется расстояние до п ближайших точек и каждому приписываются соответствую­ щие веса. Методы, аналогичные одномерным сглаживающим процедурам, требуют, чтобы данные были расположены по сетке.

л.

Тогда пространственное соотношение между Yij и каждым зна­ чением Y внутри скользящего интервала оказывается известным. В этом случае веса остаются постоянными для эквивалентных точек Yk по мере того, как поверхность скользящего среднего

дает последовательные оценки значений Yij. В третьем методе определяются ряды областей или блоков, прилегающих к оцени­ ваемой точке. Все наблюдения в пределах каждого из них усред­

няются, затем средним по блокам Y приписываются веса и ис-

пользуются для получения оценки Yij. Если в каждом блоке содержится много наблюдений, то, совершая лишь незначитель­ ную ошибку, можно считать, что среднее значение соответствует центру блока. Так как центры блоков всегда расположены на фиксированном расстоянии от оцениваемой точки, то можно ис­ пользовать постоянные весовые функции. Этот метод имеет зна­ чительные преимущества в том случае, если оценки строятся на основании крайне нерегулярной сети контрольных значений. Мы детально остановимся на рассмотрении метода скользящего среднего третьего типа, так как это — один из наиболее перспек­ тивных методов, который широко использовался для оценки за­ пасов некоторых больших рудных месторождений Северной Аме­ рики.

Скользящие взвешенные средние, полученные по средним значениям блоков. Даже в том случае, если минерализирован­

меньшая масса породы, которая в действительности будет выб­ рана, имеет в каждом измерении длину 10 футов. В разработ­ ках, в которых используется метод взвешенного усреднения по блокам, наименьшая длина в каждом измерении, используемая на практике, составляет примерно 100 футов. Эта наименьшая практическая единица, используемая в разработках, меняется от одного месторождения к другому и, вероятно, является наибольшей при разработке тел вкрапленных руд и наимень­ шей в очень богатых гидротермальных жильных месторожде­ ниях.

К счастью, большие блоки менее подвержены большим изме­ нениям содержаний, чем малые пробы. Действительно, фунда­ ментальное допущение в методе скользящих взвешенных блоков состоит в том, что минимальный размер разработки так велик по сравнению с расстоянием, на котором наблюдается быстрое из­ менение содержаний, что дисперсия не изменяется при увеличе­ нии размера блоков. Поэтому наименьшие практические единицы отработки приходится комбинировать в последовательном по­ рядке для получения больших блоков. Если изменчивость в боль­ шинстве единиц оказывается много меньше, чем изменчивость практически наименьшего блока, то эти малые блоки будут иметь дисперсию, не превосходящую дисперсию больших комби­ нированных блоков. Теоретическая кривая зависимости диспер­ сии от объема выборки указана на фиг. 6.31; она иллюстрирует предположение, что дисперсия является устойчивой при превы­ шении минимального критического размера пробы.

Чтобы определить скользящее среднее для средних значений блоков, мы должны сначала определить веса, соответствующие блокам. Необходимо задать также размещение самих блоков, но оно является более или менее произвольным. Предположим, что мы решили воспользоваться планом скользящего среднего,

представленным на фиг. 6.32. Мы хотим получить оценку Y со­ держаний компонента в руде, которая будет добыта из блока 1 на основании разведочных проб, взятых в блоках 1—9. (Заме-

/ч

тим, что Y — оценка содержания, полученная для центра блока,

a Yi — среднее значение разведочных проб в том же блоке.) Задав уравнение, с помощью которого вычисляются оценки для

Y, мы будем передвигать схему опробования на неизвестную об­ ласть, получая при этом оценки содержания в последовательно­ сти примыкающих блоков до тех пор, пока не покроем всю пло­ щадь.

Уравнение скользящего среднего определяется по записям со­ держаний в руде, извлеченной из шахты в эксплуатируемой вы­ работке. Предположим, что мы поместили наш план скользя­ щего среднего на карту рудного тела, которое уже выработано. Используя полученные пробы и количественные анализы по каждому из блоков, мы сможем вычислить средние значения

для блоков, которым соответствуют наши переменные Yi, Y2,

. . Yg. Записи добычи дают количество полезного компонента, в действительности добытое из интересующего нас блока. Если

•

Фиг. 6.32. Схема скользящего среднего для оценки содержаний полезного

компонента в центре блока Y по средним для буровых скважин в блоках 1—9.

мы обозначим его через Y, то сможем связать содержание в до­ бываемой руде с количественными анализами разработки с по­ мощью следующего линейного уравнения:

гим блокам, мы получим множество наблюдений Y. Это даст нам возможность решить (6.35) с помощью методов наименьших квадратов, почти в точности совпадающих с теми, которые ис­ пользовались для построения поверхностей тренда.

/N

Теперь мы имеем оценку Y содержания полезного компонента в центральном блоке, которая основана на средних пробах, взя­ тых из окружающих блоков. Наше прогнозирующее уравнение содержит постоянный член и девять весовых коэффициентов. Однако мы можем определить постоянную Ро как произведение новой постоянной на среднее по всем полученным пробам для всех блоков

Новая постоянная р' находится простым делением Ро на об­ щее среднее по всем пробам (под термином «общее среднее» мы

ж9 —

подразумеваем Y=^]Yi/9). Таким образом, уравнение регрессии

i- i

может быть записано так:

Все коэффициенты уравнения регрессии, включая постоянный член, можно теперь считать весовыми функциями. Приравнивая

Ро к P'Y/ получим регрессию, не зависящую от какого-либо

тренда, который имеется в данных, и уравнение будет приме­ нимо к другим площадям, даже несмотря на то, что среднее зна­ чение по этим новым площадям будет выше или ниже, чем в об­ ласти, для которой было построено уравнение.

Теперь можно использовать уравнение регрессии в качестве скользящего среднего для неотработанной части месторождения. Поместив схему на карту разработки, нужно будет только взять пробы в каждом из девяти блоков. Используя значения количе­ ственных анализов, можно вычислить значения для каждого

блока, которые затем станут У’ами в (6.37) и будут использо-

ваны для оценки значения Y. Затем эта схема применяется по­ следовательно к различным блокам в неразрабатываемой части месторождения, давая оценки содержаний для разведки и под­ счета запасов.

Успех применения метода зависит от двух условий. Во-пер­ вых, уравнение регрессии должно точно выражать содержание полезного компонента в уже освоенной части месторождения. Если качество аппроксимации с помощью линейной регрессион-

ной модели плохое, то скользящее среднее Y в применении к не­ разработанным частям месторождения будет малоэффективной оценкой для Y. Однако благодаря устойчивости дисперсий в пре­ делах больших блоков обыкновенно удается получить хорошую аппроксимацию. Плохой подбор указывает на изменчивость, мас­ штаб которой сравним с размерами самих блоков. Второе важное условие состоит в том, что распределениезначений в от­ работанной части месторождения очень сильно напоминает рас­ пределение в неотработанной части, хотя для оценок часто при­ ходится использовать уравнения, построенные по данным совер­

мере развития науки. Обычно же площадь, по которой строится прогнозное уравнение, выбирается от прогнозируемой настолько близко, насколько это возможно.

Как вы, вероятно, догадались, схемы взвешивания скользя­ щих блоков являются «изготовленными по заказу» рецептами для данного месторождения или даже для его части. Выбор схемы скользящего среднего определяется наличием сильного тренда значений, пространственным размещением и распределе­ нием горных выработок методом разработки, а также многими другими факторами. По этой причине мы даже не пытаемся на­ писать программу скользящего среднего общего назначения, хотя это относительно простая задача. Развитие этого метода и примеры его приложения к большим месторождениям даны Крайгом [22].

Крайгинг. Ниже излагается метод скользящего среднего, наз­ ванный крайгингом в честь его создателя южноафриканского геолога и статистика Д. Г. Крайга. Популяризация этого метода является заслугой французской геоматематической школы. Вна­ чале будут изложены необходимые статистические основы, а также введены необходимые термины и определения. Крайгинг позволяет не только оценить значения пространственно распреде­ ленных переменных, но также указать вероятную ошибку, при­ сущую этой оценке. Статистическая теория, из которой крайгинг

ведет свое происхождение, называется теорией регионализованных переменных, однако она имеет слишком много разветвлений для того, чтобы быть изложенной здесь. К сожалению, немногие американские геологи знакомы с основами этой науки, так как на английский язык переведено очень мало книг, посвященных этому вопросу. (Два обзора принадлежат Матерону [24] и Блезу и Карлье [3].) Короче говоря, переменная считается «регионализованной», если она изменяется от одной точки к другой явным образом непрерывно, но не может быть задана обычной функцией. Топографические и структурные поверхности, содер­ жания компонентов в рудном теле, а также пористость пород в пределах нефтеносной площади являются примерами регионализованных переменных.

Крайгинг был с успехом применен к задачам оценки запасов руд в некоторых из самых больших месторождений мира — зо­ лотых месторождениях Южной Африки. Одного этого факта было бы достаточно, чтобы признать его. Однако этот метод при­ меним не только к оценке месторождений, но и к исследованию многих типов пространственно распределенных данных.

Предположим, что мы собрали ряд проб в точках X регуляр­ ной сети и измерили некоторую регионализованную перемен­ ную Y. Если регионализованная переменная стационарна, то мы можем вычислить среднее этих значений и вычесть его из каж­ дого наблюдения, получив таким образом преобразование Y ’OB в отклонения от нулевого среднего; эти отклонения мы будем обозначать через Y(i). Возводя все значения Y(i) в квадрат, сум­ мируя их и поделив на число наблюдений, мы получим стати­ стику

Статистика К<о) эквивалентна дисперсии переменной Y, но выражена в символах, наиболее используемых в описаниях крайгинга, т. е.

K(0) = Gy.

Вполне понятно, что значение в данной точке некоторым об­ разом связано со значением в точках, расположенных на неко­ тором расстоянии. Кроме того, кажется законным допущение, что влияние более удаленных точек оказывается меньше, чем влияние близлежащих точек. Возможно также, что степень влия­ ния может зависеть от направления. Чтобы выразить эту зави­ симость, введем вектор расстояния h, имеющий вполне опреде­ ленную ориентацию. Степень зависимости между точками, лежащими на данном расстоянии и в направлении данного век­ тора, выражается ковариацией. Иными словами, мы можем

графически изобразить ковариацию между парами точек, распо­ ложенными на различных расстояниях в данном направлении.

Несмотря на то что ковариация существует для любых рас­ стояний вдоль вектора h, мы можем определить эти значения только между регулярно расположенными в пространстве выбо­ рочными точками. Например, если наши точки опробования рас­ положены с интервалом в 20 футов в каком-либо заданном на­ правлении, то мы можем вычислить ковариацию между точками, отстоящими на 20, 40 или 20 -n футов, но не можем вычислить ковариацию для промежуточных расстояний. Если А — расстоя­ ние между точками опробования в направлении данного век­ тора, то мы можем вычислить ковариацию для расстояний h = =A j, где j — целое положительное число. Ковариация на этом расстоянии Aj выражается формулой

Формула утверждает, что ковариации на расстояниях Aj вдоль вектора h равны среднему арифметическому смешанного произведения значений Y в точках Хщ и значений Y в других точках Xi+j. Эти другие точки расположены на расстоянии Aj. В этом случае п есть число пар точек, лежащих на расстоянии Aj в направлении вектора. Ковариация, определенная таким об­ разом, зависит от длины вектора h. Заметим, что при j= 0 урав­ нение (6.39) дает формулу для дисперсии, или

K ^ - j - J ^ o Y o + o ) .

Мы можем вычислить функцию, называемую полудисперсией, определяемую как половина дисперсии разности {Y(i+j)— Y(j)}, или

T(b) = T u j ) = 4 " var {Y(i+j> — Y <ub

или в форме, пригодной для вычислений:

Снова п — число пар точек, как и при определении величины K(h). Заметим, что у<ь> может быть вычислено только для рас­ стояний Aj, кратных пространственному интервалу между точ­ ками опробования в направлении данного вектора.

ожидать, что V(h) и К(о> будут примерно одинаковыми для малых значений h. Наоборот, по мере того, как вектор расстояния h становится большим, К<ь> будет уменьшаться, так как имеется прогрессивно растущая независимость между точками, лежа­ щими на увеличивающемся расстоянии h. Поэтому полудисперсия изменяется от нуля при h равном нулю до значения, равного дисперсии К(о) при некотором большом' значении h. Эти соотно­ шения представлены на вариограмме (фиг. 6.33), где указана зависимость статистики у (ю от h. Вариограмма используется для определения расстояния, превышение которого приводит к зави­ симым значениям.

е

Фиг. 6.33. Вариограмма, изображающая зависимость полудисперсии от век­ тора/ расстояния h.

жается к К(о), и поэтому мы можем определить некоторое малое число в, характеризующее допустимую близость аппроксимации К(о) с помощью Y(h). Последняя указана на фиг. 6.33. Расстоя­ ние, при котором Y(h) + е= К (0), называется рангом, и его можно охарактеризовать как расстояние, за пределами которого зна­ чения Y можно считать независимыми друг от друга. Ранг опре­ деляет максимальный допустимый интервал опробования в крайгинге. Если расстояние между точками опробования вдвое превышает ранг, то в середине интервала появится область, со­ вершенно независимая от двух граничных точек опробования, в которой нельзя производить оценку.

Если мы вычислим у(ь) при различных значениях h (на прак­ тике с интервалом, равным Aj), то, как правило, обнаружим, что точки располагаются около теоретической линии. К этим дан­ ным необходимо подобрать сглаживающую кривую, которая и