книги / Статистика и анализ геологических данных

Если использовать уже созданную библиотеку подпрограмм, то написать программу вычисления дискриминантной функции совсем нетрудно. Программа 7.5 DISCRM как раз предназна­ чена для этого, и в ней использовано большинство подпрограмм, содержащихся в гл. 4. Мы применим программу DISCRM для решения следующей задачи.

Правительственная разведочная группа проводила поиски месторождений тяжелых металлов в густо заросших лесом го­ рах северной Швеции. Данные, собранные аэромагнитометром, оказались недостаточными, и поэтому было проведено геохими­ ческое исследование, основанное на анализах водных потоков. Было выбрано семь переменных и проведено две последователь­ ности измерений. Группа А состоит из измерений, сделанных в потоках, дренирующих площади, на которых имеются дейст­ вующие шахты и подтвержденные рудные тела. Группа В со­ стоит из аналогичных измерений на площадях, на которых ору­ денение не обнаружено. Данные по этим площадям приведены в табл. 7.10. Вычислите для них дискриминантную функцию для продуктивного и непродуктивного районов. Определите, явля­ ются ли различия между двумя группами значимыми, и иссле­ дуйте относительное влияние используемых переменных. Для удобства в этом примере предполагается, что изучаемые совокупности этих двух групп подчиняются многомерному нор­ мальному распределению. В табл. 7.10 проведен также ряд измерений, сделанных на площадях, относительно которых не известно, разведывались ли они когда-нибудь. Используя ди­ скриминантную функцию, можно ли рекомендовать какую-либо из этих площадей в качестве перспективной для разведки?

Анализ групп

Классификация — распределение объектов по более или ме­ нее однородным группам и установление соотношений между группами — важная особенность работы таксономистов, зани­ мающихся определением происхождения живых организмов на основании их характеристик и сходства. Таксономия — в высшей степени субъективная наука, в которой выводы определяются интуицией ученого, выработанной годами опыта. В этом отно­ шении таксономия очень сходна с многими разделами геологии. Ряд ученых, в том числе геологи, неудовлетворенные субъектив­ ностью и капризностью традиционных методов, разработали но­ вые способы классификации, которые находятся в соответствии с возможностями современных вычислительных машин. Эта группа исследователей называет себя численными таксономис-

тами, и им мы обязаны многими достижениями в численных ме­ тодах классификации.

В настоящее время численная таксономия является предме­ том ожесточенных споров среди биологов, очень напоминающих острые дебаты психологов вокруг вопросов факторного анализа, имевших место в 30—40-х годах нашего века. В этих обсужде­ ниях некоторые практики рьяно отстаивают методы численной таксономии, заявляя, что они позволяют понять происхождение групп организмов лучше, чем любой другой метод классифика­ ции. Конечно, доказательств они представить не могут, так как в настоящее время теоретическое обоснование анализа групп не является достаточно удовлетворительным, плохо исследованы статистические основы методов численной таксономии, нет со­ ответствующих критериев значимости. По-видимому, здесь дело обстоит так же, как и в случае факторного анализа. Однако уже многие методы численной таксономии нашли применение в гео­ логических исследованиях, в особенности при классификации ископаемых беспозвоночных и при изучении палеообстановок.

Предположим, что мы располагаем некоторым множеством объектов, которые желательно иерархически расклассифициро­ вать. В биологии эти объекты обычно называются «операцион­ ными таксономическими единицами» или ОТЕ. На каждом объ­ екте мы производим ряд измерений, которые составляют наше множество данных. Если мы имеем п объектов и измеряем m характеристик, то множество данных образует матрицу порядка nxm . Далее между каждой парой объектов вычисляется неко­ торая мера сходства или подобия. Коэффициенты сходства мо­ гут быть разными, как, например, коэффициент корреляции или стандартизованное m-мерное евклидово расстояние d\y Послед­ нее вычисляется по формуле

(7.33)

где Xik — значение k-й переменной на i-м объекте и Xjk— значе­ ние k-й переменной на j -м объекте. Естественно ожидать, что малое значение этого расстояния указывает на то, что объекты подобны или «близки друг другу», в то время как большое значение указывает на отсутствие подобия. Обычно матрица ис­ ходных данных до вычисления расстояний подвергается стан­ дартизации. Это позволяет учитывать каждую переменную с оди­ наковым весом. В противном случае расстояние определялось бы переменной, имеющей наибольшее значение. В некоторых случаях это даже желательно, однако неразумный выбор единиц измерения может иногда привести к нежелательным

же образом связаны D и Е. Это

первый шаг в построении дендрограммы, или «дерева», позво­ ляющего наглядно изобразить результаты разбивки на группы.

Далее матрица сходства должна быть вычислена снова, при­ чем сгруппированные элементы при этом считаются одним эле­ ментом. Существует несколько методов выполнения этой про­ цедуры. Мы будем использовать наиболее простой из них, со­ стоящий в том, что новые коэффициенты корреляции между всеми группами и объектами, не включенными в группы, вычис­ ляются заново с помощью простого усреднения. Например, но­ вый коэффициент корреляции между группой АВ и объектом С равен сумме коэффициентов корреляции элементов, входящих

как в АВ, так и в С, деленной на 2. В табл. 7.12 приведены ре­ зультаты этих вычислений. Наиболее высокие значения коэффи­ циентов корреляции в каждом столбце указаны жирным шриф­ том.

Процедура образования групп снова повторяется: находим пары с сильными связями и объединяем. На этом этапе объект

пока все группы не объединятся вместе. Окончательная матрица

(фиг. 7.6, в).

Построение групп является эффективным способом представ­ ления сложных соотношений между объектами. Однако процесс усреднения по элементам группы и их трактовка в качестве единственного нового объекта приводят к изменениям дендро­ граммы. Это изменение становится все более очевидным по мере роста уровня усредняемых и объединяемых групп. Можно оце­ нить степень этого изменения, исследуя матрицу, которая в так­ сономии носит название матрицы кофенетических значений. Это не что иное, как матрица коэффициентов корреляции дендро­ граммы. Например, коэффициенты корреляции между группами D, Е и F, с одной стороны, и А, В, С — с другой, в дендрограмме на фиг. 7.6 равны —0,59. Аналогично коэффициент корреляции между F и D, а также между F и Е равен 0,41. Наиболее силь­ ные связи отмечаются только между парами А и В, а также D и Е. В табл. 7.14 приведена полная матрица кофенетических значений, соответствующих дендрограмме. Мы можем получить наглядное представление о степени изменения в дендрограмме, сопоставив на графике каждый элемент исходной корреляцион­ ной матрицы с каждым элементом кофенетической матрицы (фиг. 7.7.). Если обе матрицы совпадут, то график этой зави-

Таблица 7.14

Матрица кофенетических коэффициентов корреляции, полученных из дендрограммы фиг. 7.6

симости будет представлен прямой линией. Отклонения от нее указывают на изменения в дендрограмме: если точка оказыва­ ется выше прямой, то корреляция, соответствующая дендро­ грамме, оказывается слишком высокой. Наоборот, если точка попадет в область под прямой, то усреднение коэффициентов корреляции приводит к более низкому значению корреляции по сравнению с истинным. Численную меру сходства между двумя матрицами можно найти в результате простого вычисле­ ния коэффициентов корреляции между одинаково расположен­