книги / Статистика и анализ геологических данных

ширину хвостового щита. Части скелета, выбранные в качестве переменных, указаны на фиг. 7.12. После подходящей стан­ дартизации выполните анализ групп по данным измерений три­ лобитов и посмотрите, дают ли численные методы ту же класси­ фикацию, которая получается методами обычной таксономии. Вычислите и используйте в качестве мер сходства коэффициенты корреляции и расстояния. Какая из этих мер дает лучший ре­ зультат по сравнению с результатами, полученными методами обычной таксономии?

Факторный анализ

Цель факторного анализа — интерпретация структуры кова­ риационной матрицы многомерной совокупности. Этот метод основан на нахождении собственных значений и собственных векторов ковариационной матрицы. Математические операции, требуемые для этой цели, в точности такие же, какие были рас­ смотрены в гл. 4, однако для их использования в факторном анализе требуются некоторые усовершенствования.

В настоящее время факторный анализ принято считать глу­ боким и таинственным методом необыкновенной сложности.

Специалисты по факторному анализу строго подразделяются на две категории в зависимости от темы их занятий: одни занима­ ются обоснованием факторных моделей, а другие разрабатывают методы их реализации. Тем не менее сейчас это один из наиболее широко используемых многомерных методов, представляющийся экспериментаторам, имеющим дело с большими массивами дан­ ных, очень обнадеживающим, однако позволяющий пока полу­ чать лишь весьма неглубокое проникновение в структуру дан­ ных.

Таинственность, окружающую факторный анализ, отчасти можно объяснить сложностью языка, на котором он излага­ ется. Факторный анализ возник в экспериментальной психоло­ гии в 30—40-х годах нашего века, и многие используемые в нем термины имеют смысл лишь в пределах* этой специфической области. Первоначально цель факторного анализа заключалась в том, чтобы получить основные меры интеллекта на основании значений результатов психологических тестов и других крите­ риев умственных способностей. Вообще говоря, такие резуль­ таты нельзя считать истинной мерой развития интеллекта, однако они связаны с умственным развитием. Человек, нахо­ дящийся на более высокой ступени умственного развития, будет иметь более высокие показатели по всем (или большин­ ству) критериям, чем человек, считающийся умственно отсталым. Разница в значении критериев, однако, отражает не только раз­ личия в уровне развития интеллекта, но также различия в об­ разовании, культурном уровне, условиях, в которых проводится испытание индивидуума, и т. д. Несмотря на то что ни один из индивидуальных критериев не позволяет прямо измерить сте­ пень интеллигентности, психологи верят в то, что факторный анализ дает возможность на основании значений критерия дать характеристику умственного развития. Конечно, измерить сте­ пень интеллигентности на основании одного критерия нельзя, однако, используя множество несовершенных критериев, пред­ назначенных для оценки степени умственного развития, на ос­ новании факторной модели можно получить абстрактную или идеализированную схему оценки уровня интеллигентности. Воз­ можно, факторный анализ можно развить таким образом, чтобы он позволял оценить не только первоначальный уровень умст­ венного развития, но также и такие факторы, как математиче­ ские или лингвистические способности.

Вначале психологи-экспериментаторы считали факторный анализ мощным методом исследования. Однако факторная мо­ дель основывалась на нескольких необычных допущениях. Вопервых, точное число изучаемых факторов должно быть изве­ стно заранее. Это позволяло разделить изменчивость критерия на две части: на возникающую благодаря действию факторов

«интеллигентности» и на часть, свойственную данной задаче и другие источники изменчивости. Далее, фактор умственного раз­ вития имеет определенный смысл и не нуждается в различной интерпретации; например, в заданной модели первый главный фактор — степень умственного развития. Однако когда фактор­ ный анализ приходилось применять к другим задачам, то зара­ нее нельзя было дать какой-либо интерпретации вычисленным факторам. Действительно, вся концепция факторов умственного развития подвергалась критике в психологии, в особенности в той части, которая связана с жесткими требованиями раннего факторного анализа. Тем не менее методы и понятия, применяв­ шиеся ранее психологами-зкспериментаторами, продолжают процветать в факторном анализе даже применительно к совер­ шенно другим ситуациям и обстоятельствам. Например, фактор­ ный анализ сейчас широко применяется в биологических и гео­ логических исследованиях. В этих областях заранее невозможно задать число или смысл используемых факторов. Пытаясь ис­ пользовать факторный анализ в далеких от первоначальных об­ ластей его применения ситуациях, мы сталкиваемся и с другими трудностями, которые будут указаны ниже по мере изложения метода.

Стандартизация. Одна из тем, рассмотренных в гл. 3, имеет

в стандартную или безразмерную форму с помощью вычитания из каждого наблюдения соответствующего среднего арифметиче­ ского и деления разности на стандартное отклонение. После этого преобразования новые переменные имеют нулевое среднее значение и единичную дисперсию. Эта процедура очень удобна, если мы хотим сравнить распределение одной переменной с дру­ гой, когда они выражены в различных единицах измерения. Об­ разно говоря, это позволяет сравнить между собой яблоки и апельсины.

Факторный анализ имеет дело с интерпретацией структуры ковариационной матрицы, полученной по множеству многомер­ ных наблюдений. Измеренные переменные не всегда допускают прямое сравнение, поэтому целесообразно привести их к стан­ дартизированному виду. Однако, чтобы вычислить ковариацион­ ную матрицу, совсем не обязательно проводить полную стандар­ тизацию всех данных, так как ковариационная матрица стандартизированных переменных является нечем иным, как кор­ реляционной матрицей. Читатель может убедиться в этом, стан­ дартизировав некоторое множество данных и затем вычислив для него ковариационную и корреляционную матрицы. Эти мат­ рицы совпадут, и легко понять, почему это так. Стандартизация

состоит в преобразовании множества данных таким образом, чтобы оно имело нулевое среднее и единичную дисперсию (или стандартное отклонение). Если оба множества данных имеют единичные стандартные отклонения, знаменатель коэффициента корреляции также будет равен единице и коэффициенты корре­ ляции и ковариации совпадут. Поэтому мы можем считать кор­ реляционную матрицу просто ковариационной матрицей стан­ дартизированных переменных.

Стандартизация имеет огромное влияние на структуру ко­ вариационных матриц и, следовательно, на результаты фактор­ ного анализа. Во многих случаях мы не имеем никакой другой альтернативы, кроме стандартизации наших данных, так как необработанная (или нестандартизированцая) матрица ковариа­ ций содержит такое множество единиц измерения, что какаялибо логическая интерпретация кажется невозможной. Однако в других задачах единицы измерения бывают одинаковыми для всех переменных, и в этих случаях* стандартизация не является необходимой. Примером может служить изучение содержаний редких элементов, когда все измерения производятся в частях на миллион. Конечно, в том случае, когда наблюдения пред­ ставлены в процентах и составляют замкнутую систему, как это указывалось в гл. 3, мы имеем другие, более серьезные причины для беспокойства. В качестве другого примера мы могли бы рассмотреть вопрос о потреблении подземных вод в централь­ ных районах западных штатов США. В качестве переменных можно выбрать годовой расход воды различными потребите­ лями, такими, как ирригационные хозяйства, муниципалитеты, различные отрасли промышленности и т. д., для каждой админи­ стративной единицы штата. Мы можем вычислить ковариацион­ ную матрицу, в которой единицы измерения одни и те же для всех потребителей, т. е. (галлоны воды)2. В такой матрице каж­ дая переменная будет оказывать влияние на анализ, прямо про­ порциональное ее дисперсии. Если изменчивость потребления воды ирригаторами будет в десять раз превышать изменчивость любой другой переменной, то соответствующая переменная бу­ дет оказывать на анализ влияние, в десять раз превосходящее влияние любой другой характеристики. Интуитивно это пред­ ставляется обоснованным.

В некоторых примерах для дисперсий можно применять ло­ гические схемы взвешивания даже в тех случаях, когда диспер­ сии выражены в различных единицах. Например, петрографиче­ ским переменным при изучении проб руды можно приписать веса, являющиеся функциями экономической ценности ее состав­ ных частей. Однако большинство таких попыток приводит к про­ изволу при оценке важности переменных и потому нарушает объективность, которую желательно достичь в анализе. Возмо­

жно, более предпочтительным является взвешивание перемен­ ных в соответствии с их величиной, основанное на использова­ нии ковариационной матрицы, или приписывание им равных ве­ сов в случае, когда используется корреляционная матрица.

Ниже мы будем иметь дело главным образом с наборами двумерных данных, которым соответствует матрица ковариаций порядка 2x2. Ограничиваясь вначале рассмотрением таких про­ стых примеров, мы сможем графически пояснить смысл величин, с которыми оперирует факторный анализ. Позже мы расширим область наших исследований, включив в нее многомерные дан­ ные, в которых известны связи между всеми переменными, и рассмотрим задачи, типичные для современных исследований в геологии.

Метод главных компонент. В этом разделе мы рассмотрим две важные процедуры: метод главных компонент (МГК) и соб­ ственно факторный анализ. Главные компоненты — это не что иное, как собственные векторы ковариационной матрицы. Сами по себе они позволяют глубже проникнуть в структуру матрицы, но часто их можно интерпретировать и как факторы. Все совре­ менные схемы факторного анализа используют метод главных компонент в качестве отправного пункта для анализа. По этой

(фиг. 7.15). Ту же структуру можно записать в матричном виде:

Как указывалось в гл. 4, элементы матрицы порядка гпХш мо­ гут рассматриваться как точки, определяющие m-мерный эллип­ соид. Собственные векторы матрицы дают главные оси эллип­ соида, а собственные значения — длины этих осей. Очевидно, наша ковариационная матрица может трактоваться подобным же образом. Метод главных компонент сводится к нахождению этих осей и к измерению их длины.

Если мы измеряем m переменных на некотором множестве объектов, то для них можно вычислить матрицу ковариаций по­ рядка mXm. Найдем m ее собственных векторов и m собствен­ ных значений. Так как ковариационная матрица всегда симмет­ рична, то эти m собственных векторов будут ортогональными, т. е. углы между ними будут прямыми.

Вычислим собственные векторы и собственные значения на­ шей ковариационной матрицы и изобразим полученные векторы графически. Первый собственный вектор имеет координаты

0,66

1 =

0,75

что означает, что на каждые 0,66 единицы вдоль оси Xi линия отклоняется вниз на 0,75 единицы. Первое собственное значение равно 37,9 и является длиной первого вектора. Соответствующая линия указана на фиг. 7.16 и является первой главной осью эл­ липса, определяемого ковариационной матрицей. Второй собст­ венный вектор имеет координаты

Легко проверить, что он образует прямой угол с первым. Собственное значение, соответствующее этому вектору, или его длина, равно 6,5. Вторая главная ось также изображена на фиг. 7.16.

Определим суммарную дисперсию наших данных как сумму вкладов от индивидуальных дисперсий. Так как последние рас­ положены на диагонали ковариационной матрицы, то эта про­ цедура эквивалентна нахождению следа матрицы. В нашем примере суммарная дисперсия есть 20,3 + 24,1 = 4 4 ,4 . Вклад пе­ ременной Xi составляет 20,3/44,4, или около 46% суммарной дисперсии, а вклад Хг составляет примерно 54%. Как указыва­ лось в гл. 4, сумма собственных значений матрицы равна ее следу, поэтому сумма ее собственных значений также равна