щие с движением часовой стрелки, за положительные. При вычисле нии статических моментов будем обходить все контуры по направ-
Фиг. 111. Поперечное сечение оболочки.
лению стрелок, показанных на фиг. 111. Статические моменты C(s) на каждом участке контура будут иметь следующие значения:
7-2 -^-о2х;
2 2
2-3 _^-82(л:-472);
х — координата.
Эпюра С (s) показана на фиг. 112.
Фиг. 112. Эпюра статического момента.
Теперь определим потоки касательных сил t?*1( ^2, д*03,
возникшие вследствие разрезов и относящиеся к первому сла
гаемому формулы (3.149). Для этой цели напишем уравнение
равновесия в |
моментах относительно начала осей координат |
(фиг. 112) и четыре уравнения совместности деформации: |
+ 4*^2 + |
+ <7о4“4 + С1 S |
J 8?1 (s)dsh ds = °;. |
|
i=l |
О |
2-5
(3.157)
*K+C- J C(s>
ш4е.
Здесь wi = со2=«з=а>4 — удвоенные площади поперечных сечений контуров; 9 —угол закручивания контура поперечного сечения..
Из совместного решения уравнений (3. 157) получается
(3.158)
<7о2=-<7о3-
Для рассматриваемой оболочки в сечении заделки z=0
?о! = 3,5 |
кг[см; <7q2=4 кг/см. |
Зная величины q*oi во |
всех контурах, а также интеграл C(s) |
(фиг. 112), вычислим по формуле (3. 155) поток касательных сил от перерезывающей силы. Суммарная эпюра ПКС показана на фиг. 113. Вычислим теперь поток касательных сил, возникающий вследствие
стеснения депланации. Этот поток находится по формуле (3. 156). Статический бимомент D(s) вычисляется по, формуле
D (s) = J 3?2 (s) ds.
О
uf/ JQ
Фиг. 113. Эпюра потока касательных сил от 'Перерезы вающей силы.
Исходная функция ср2($) показана на фиг. 91, б. На отдельных участках поперечного сечения оболочки значения для D(s) будут:
Фиг. 114. Эпюра статического бимомеига. |
|
|
Эпюра статического бимомента |
D (s) показана на |
фиг |
114 |
Поток касательных сил в разрезах |
q” q** и q** |
(фиг.' |
114) |
находим также из'уравнения моментов и четырех уравнений
совместности деформаций, которые в этом |
случае будут: |
4 |
.5 |
ds = 0; |
Л + ?02ш2 + + 9о>4 + с2 S |
f s?2 (s) |
i=l |
6 |
|
|
ds |
C2 f D(s) ds |
|
G8 |
~Gb |
1 |
2-5 |
2-3*4-5 |
|
|
+ c2 |
P(s)-^-=«20; |
(3.159) |
|
J |
|
Go |
|
|
1-6 |
|
|
|
|
|
|
|
D(s)^ |
3 |
1-6 |
7-10. |
6-7-10-1 |
|
ds
G6
10-7
Фиг. 115. Эпюра потока касательных сил, вызванного
’стеснением даплаващии.
Раскрывая эти уравнения при помощи формул (3. 150), (3. 152) и эпюры (Ьиг. 114, получим
,С=-С=0’9 кг'см>
(3.160)
9о2=-7о>-1 ^см. '
Эпюра потока касательных сил, вычисленных по формуле (3. 156), показана на фиг. 115. Полный поток касательных сил в четырехзам
кнутой оболочке с учетом бимоментных касательных усилий вычи сляется по формуле (3. 149). Эпюра суммарного потока изображена
Фиг. 116. Эпюра суммарного потока касательных сил.
на фиг. 116. В кружках показаны теоретические значения величин ПКС в соответствующих местах оболочки. В квадратиках заключены экспериментальные значения напряжений.
Определение касательных напряжений в четырехзамкнутой оболочке при кручении
Рассмотрим случай, когда на оболочку (см. фиг. 86) действует
сосредоточенный крутящий момент в виде пары сил. Нормальные бимоментные напряжения при этом вычисляются по формуле (3. 132). Касательные напряжения найдем из условия равновесия (3. 148). Разрешая это уравнение относительно^ и имея в виду формулу (3. 132), получим
ОI
Здесь коэффициенты aiiJc, Ь{, Ь2 выражены равенствами (3. 16). Функция (pift(s) представлена на фиг. 89, а.
Для краткости введем обозначения:
5(s) = j8<PIft(s)ds. |
(3.163) |
О |
|
|
Для вычисления центробежного момента инерции B(s) |
сделаем |
во всех контурах оболочки разрезы, |
показанные на фиг. 111. Отсчет |
центробежных моментов в каждом |
контуре будем вести |
согласно |
направлению стрелок. Выражения для интеграла (3. 163) на участ ках четырехзамкнутого контура будут:
1 — 2 — 8 АЛ2.
2 4
2 — 3
З'г—р)86
Эпюра B(s) показана на фиг. 117.
Фит. 117. Эпюра центробежного момента цри кручении.
Потоки касательных сил q^, q02k, qozk и Go4A в разрезах оболочки найдем из уравнений моментов и уравнений совместности дефор маций. Эти уравнения имеют вид
+ W>2+ <7оз/г®з + 7о4Л~ |
4 |
|
|
|
£ ф В (s) A ds = Н\ |
~ |
dS |
п |
С ds |
я |
Cd / |
|
ds г |
{7о1л(Т) |
Q(y>k |
I |
—https://studfile.net/ц |
I |
V |
s)------ Р |
и1Ау |
GS |
V02* |
J |
G6 |
|
J |
|
7 G5 ~ |
1 |
|
|
5-2 |
|
|
2-3-4-5 |
|
|
|
|
+Л |
|
|
Go |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
5-2 |
|
|
|
|
|
|
|
?02й(6 —-?01fe |
f — ~Л |
f |
5(S) —- |
Т02й^ G6 |
VOlfe |
j |
G8 |
|
j |
v |
|
' G8 |
2 |
|
6-2 |
|
|
1-2-5-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.164) |
|
С ds |
У0211 |
Г ds |
|
Г |
|
ds |
^03k ф GS |
j |
G8 |
^Oik |
J "O6 ~ |
|
3 |
|
1-6 |
|
|
7-10 |
|
|
|
|
~A |
f |
■B<S)'S |
|
|
|
|
|
6-7-10-1 |
|
|
|
|
|
|
„ X ds |
|
C ds . |
f |
|
, |
. ds . |
4o4k Ф |
#03* |
1 7T |
|
I |
£(s) ■ДГ'Ь |
J Go |
|
J |
Gt> |
|
J |
|
|
GS |
4 |
|
10-7 |
|
|
7-8-9-10 |
|
|
|
|
|
10-7 |
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения:
ЗдеСЬ (01 =£02—G>3 = ®4.
Разобьем матрицу (3. 166) на две матрицы таким образом, чтобы первая матрица давала решение задачи при чистом кручении без учета депланации, а решение второй матрицы — поток касательных усилий за счет стеснения депланации.
Эти матрицы будут иметь вид
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
н |
|
|
|
|
|
СО] |
X |
- Е |
0 |
0 |
“1 |
0 |
— Е |
X |
— Е |
0 |
“1 |
0 |
|
|
|
|
|
(3.167) |
0 |
— Е |
X |
— Е |
“1 |
0 |
0 |
0 |
_ С |
Л |
“1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
АК |
|
Ю1 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
— Е |
0 |
0 |
“1 |
AKi |
|
— Е |
X |
— Е |
0 |
“1 |
АК, |
<3-168) |
0 |
_ $ |
X |
— ; |
“1 |
AKi |
|
0 |
0 |
—■ Е |
X |
“1 |
АК\ |
|
Пусть оболочка имеет |
размеры, |
показанные на фиг. 93, |
а Я=16 000 кгсм. |
Решение матрицы |
(3. |
167) дает поток касатель |
ных сил, соответствующий чистому кручению этой оболочки:
#01/; |
#04* |
14,6 KZ[CM; |
ЯЯQZk= |
(3.169) |
кг'см. |
Эпюра касательных |
сил q^ |
изображена на фиг. 118. Решая |
матрицу (3. 168), найдем потоки касательных сил в разрезах обо лочки, связанные с бимоментными напряжениями:
Яои Яoik |
20,4 кг см, |
|
(3.170) |
С^С^-17’4 кг см-
Потоки касательных сил, возникающие за счет стеснения депла нации сечений, вычислим по формуле
(3.171)
О1
Эпюра этих потоков изображена на фиг. 119. Суммарный поток касательных сил от действия крутящего момента, вычисленный по формуле (3. 161), показан на фиг. 120.
Фиг. 118. Эпю.ра потока касательных сил отри чистом кручении
Сравнивая эпюры потоков касательных сил (см. фиг. 113 и 118),. построенные на основе элементарной теории изгиба и кручения, с эпюрами потоков (см. фиг. 115 и 119), полученными на основе бимоментной теории, видим, что бимоментные потоки касательных сил сильно влияют на напряженное состояние оболочки. При изгибе до полнительный поток, связанный с депланацией сечений, составляет
Фиг. 119. Эпюра потока касательных сил от деплан1ацйи.
30—ЗЭэ/о по отношению к потоку, полученному по элементарной те ории изгиба. При кручении бимоментный поток касательных сил составляет в верхней и нижней панелях примерно 140|Э/о по> отно шению к потоку, полученному на основе элементарной теории кру чения. Следует отметить, что относительная величина бимоментных
касательных напряжений при изгибе значительно больше бимомент ных нормальных напряжений. Поэтому при определении касательных
Фиг. 120. Эпюра суммарного потока касательных сил при «кручении.
напряжений в многозамкнутых кессонных конструкциях необходимо учитывать бимоментные касательные напряжения, связанные с делланацией сечений.
Глава XII
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХЗАМКНУТОЙ СТРЕЛОВИДНОЙ КЕССОННОЙ КОНСТРУКЦИИ
§ 30. Расчет на прочность четырехзамкнутой стреловидной оболочки
Рассмотрим жестко заделанную четырехзамкнутую стреловидную оболочку, обладающую жестким контуром поперечногосечения. Де формированное состояние оболочки будем аппроксимировать при помощи двух функций, одна из которых будет соответствовать за кону плоских сечений, а другая — депланации при кручении. Эти две функции могут только в первом приближении аппроксимировать деформированное состояние оболочки, а поэтому решение рассматри ваемой задачи будет сугубо приближенным.
Пусть на оболочку (фиг. 121) действуют поперечная сила и изги бающий и крутящий моменты, приложенные к передней нервюре, жесткой в своей плоскости и гибкой из плоскости. Под действием этих сил любая точка M(z, s'), расположенная на срединной поверх ности оболочки, получит продольные и поперечные перемещения. Представим искомые обобщенные перемещения точки XI (z, s) как из плоскости элементарной полоски, так и в плоскости ее в следующем виде:
«(г, s) = Ц (г) ?I (s) + U2 (г) ?2 ($); |
v (z, s) = V. (г) (з) + V, (г) Ф2 (з). /
