книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Постоянные интегрирования определяем из граничных условий. При z=0 (см. фиг. 86)

При z — l

U\ = U\=Q-

(3.96)

G (сц^1 + £12^2 + Г\У О = 0.

Раскрывая эти граничные условия и имея в виду равенство (3.47), получим окончательную формулу для нормальных напря­ жений

о (г, з) = — Т1------ (kle~^ -1) ?2. (3.97)

§ 27. Стесненное кручение четырехзамкнутой кессонной конструкции

Допустим, что кессонная конструкция (см. фиг. 86) закручи­ вается парой сил, приложенных к передней торцовой нервюре. Эта задача сводится к решению следующей системы дифференциаль­ ных уравнений:

Коэффициенты этих уравнений представлены формулами (3. 16). Введя в рассмотрение новую функцию fk(z), выразим через нее

искомые обобщенные перемещения U», U& и V\k.

k + k',

Здесь коэффициенты Llk, L2k, . . . L7k вычисляются по фор­ мулам:

4a22kC11k'’

^2k — b,2.^214 b22kcUk;

^Зк — 1а11кС2\к’

Система дифференциальных уравнений (3. 98) приводится к од­ ному уравнению шестого порядка относительно функции f(z);

Упругие характеристики г и s имеют следующие выражения:

Тогда выражения (3. 99) для искомых обобщенных перемещений в развернутом виде будут:

Л* [Аф2 (z) + А®4 (г)] ф

+ А* [А®2 (г) 4- Л4Ф4 (г) + Д5];

^2* = А*И2Ф2 (г) + АФ1(г)] +

е = [АФ2У(г) + A®1V (г)] -

[А®2 (г)+А®4 С^)] +

—/.75[Д2Ф2(г) 4- Л4Ф4 (г) + Д5г + Д6].

260

Производные от обобщенных перемещений (3. 107) примут сле­ дующие выражения:

U\k = Llh [Л2ФГ(2)+4фГ (г)] +

+^2* [^2Фг (2) + ^4Ф4 (z)]',

=L?ik [Л2ФГ (г) + Д4ФГ (г) ] Ч-

9' = л5ПД2ф^) + АФГ'(г)]-

-£а[Д2Ф2"(г)+Д4Ф: (г)] +

+^7й [^2ф2 (г)+АФ4(£)-!-Д5].

Вдальнейшем угол поворота Vu будем обозначать через 0. Формулами (3. 107) представлено общее решение рассматрива­

емой здесь задачи кручения четырехзамкнутой кессонной конструк­ ции с учетом депланации сечений.

Определение постоянных интегрирования

Недостающее граничное условие выразим через обобщенную по­ перечную силу Н на свободном торце. Исходя из понятия о вирту­

этой силе искомыми обобщенными перемещениями.

261

Раскрывая граничные условия (3. 109) и (3. 112) при помощи формул (3. 107) и (3. 108), получим систему алгебраических уравне­ ний относительно постоянных интегрирования:

8I2 = 7lft®4"(0) + A2feO4(0);

813==Z,ft;

S2i = £3X(0) + A4ft®;(0);

$22 = £з£®4 (0) + 7,4ft®4 (0); $23 = Z,4ft;

831=Л54Ф^ (0) -26йф; (0) + LlkФ2 (0);

8з2 = Z5AФ?' (0) - 764Ф4 (0) + Л76Ф4 (0);

) (3.114)

8зз = Ла!

+ С124 [^3*ф2 (Z) +74АФ2 (Z)] +

+гш [4Х (Z)-76^?(Z)4-77^(Z)]};

842~ {CYLk [Z-lfe®*4 (Z) -|-A2j6®4 (Z)] -f-

+C12fe [^3*®4 (Z) -f-Z,4ft®4 (Z) ] 4-

+rn* И54Ф4 (Z) 7бйФ4 (Z)4-Z7fcC>4 (Z)]};

S43 = G (^2kCUk + ^4kCl2k + Z7ftrlift).

262

Ф’У(2) = а4е-аг; ф1у(0)=а4;

263

нормальных напряжений в четырехзамкнутой оболочке при кручении

еевнешним -сосредоточенным крутящим моментом:

о(г, s)— А2Е [Ь1аФ2У (г)-j-Ь2/гФ2 (г)] ?1й +

Значения производных от функций Ф(г) представлены в табл. 29. Анализ формулы (3. 119) показывает, что первое и третье слага­

Желая еще больше упростить решение задачи кручения четырех­ замкнутой кессонной конструкции, проводим его- с одной функцией депланации cpi^s), а функцию депланации <p2ifc(s) будем считать равной нулю. В этом случае система дифференциальных уравнений (3. 93) примет вид

(3.121)

=0.

Коэффициенты этих уравнений представлены формулами (3.16). Введем обозначения:

b^Gblik-\

b2=Gcllk;

а = Еаы;

bUk~ri1k- ]

Выразим через новую функцию T’(z) искомые обобщенные пере­ мещения

Vlk = E'(z)-,

e=^)+ff.(2). (ЗЛ23)

Общее дифференциальное уравнение относительно новой функ­ ции F(z) будет

где

(3.125)

264

Представим общее решение уравнения (3. 124) в виде

Перепишем формулы (3.123) в такой форме:

t/lfe = C2 +^С3е&г — kC4e~кг‘,

(b1C1+b1C^-\-b1C3e’“+ b4C4e^-

Таким образом, рассматриваемая задача сведена к интегралам (3. 127), определенным с точностью до четырех произвольных по­ стоянных Ci, С2, С3, С4.

Удовлетворяя граничным условиям при z=l, положим коэф­ фициент С3 при ekz равным нулю, т. е.

гHb2

4 k(b\-b\} ■

Упрощенная формула для определения бимоментных нормаль^ ных напряжений в четырехзамкнутой кессонной конструкции при кру­ чении примет вид

265

где

Л+1^2 + 5Д/7) ;

= 0(2^2 + 10^);

k=}/- ь"~ь^ ■ ? Eailkb!

(*)=•*(«) У (s).

Сравним графики нормальных напряжений в сечении заделки, построенные на основе расчета напряжений по, формулам (3. 120)

Фиг. 101. Распределение нормальных бимоментных .напряже­ ний в сечении заделки при кручении.

асплошной линией — по формуле (3. 132). Крестиками (см. фиг.

101)нанесены результаты эксперимента.

О влиянии некоторых геометрических размеров оболочки на распределение нормальных бимоментных напряжений при кручении

Установим, какое влияние оказывают некоторые геометрические характеристики поперечного сечения оболочки на величину бимо­ ментных напряжений. Для этой цели произведем расчет оболочки от

266

действия крутящего момента /7 = 16 000 кгсм при различных ее гео­ метрических размерах.

Оставляя все размеры оболочки (фиг. 93) постоянными, будем менять только толщину вертикальных стенок. Результаты расчетов представлены на фиг. 102. Анализ этих графиков показывает, что увеличение толщины одних только вертикальных стенок ведет к росту нормальных напряжений.

Фит. 102. Графики распределения бимоментных напряжений при раз­

личных S ь

На фиг. 10'3—106 нанесены результаты расчетов напряжений при изменении только толщины горизонтальных пластинок, при измене­ нии длин вертикальных d{ и горизонтальных d2 пластинок, а также при изменении площади поперечного сечения А/ поясов стенок обо­ лочки.

Из построенных графиков видно, что увеличение каждого из указанных выше размеров по отношению к другим размерам обо­ лочки приводит при заданной нагрузке к уменьшению и деформации сдвига и депланации сечений, а следовательно, к уменьшению би­ моментных напряжений.

267

Фиг. 103. Графики распределения бимоментных напряжений при различных о 2-

Фиг. 104. Графики распределения! бимоментных напряжений при раз­ личных d\.

268